初高中数学衔接教材

初高中数学衔接教材

内容提要

第一章：数与式的运算和因式分解 1.1 数与式的运算

1.1.1绝对值 1.1.

2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.4.分式 1.2 分解因式

第二章：方程、函数、方程组、不等式组 2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程组不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 第三章：相似形、圆

3.1相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3.3 圆

3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对

值仍是零.即,0,

||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或⎪⎩⎪

⎨⎧≤-≥=）

（）（0a a 0a a a

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离.

例1 解不等式：13x x -+-＞4.

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1，∴x ＜0； ②若2x 1<≤，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4， ∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4. 又x ≥3，∴x ＞4.

综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4.

1

A 0 C |x －1|

|x －3|

图1．1－1

解法二： 如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|. 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4. 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧. x ＜0，或x ＞4. 练 习 1．填空：（1）若4-=x ，则x =_________；

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________； （3）若21=-c ，则c ＝________.

2．选择题：下列叙述正确的是（ ）

A 、若a b =，则a b =

B 、若a b >，则a b >

C 、若a b <，则a b <

D 、若a b =，则a b =±

3．化简：|x －5|－|2x －13|（6x 5<<）.

4、解答题：已知0)5(4232=++-+-c b a ，求 c b a ++的值.

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222

()2a b a a b b

±=±+. 【揭示乘法公式的几何意义】

从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形， 上述操作所能验证的等式是 ( ) A 、2

2

))((b a b a b a -=-+

Ｂ、2222)(b ab a b a +-=- Ｃ、2222)(b ab a b a ++=+ Ｄ、)(2b a a ab a +=+

完全平方公式： 1.将字母看作非负数；

2.平方式构造正方形，底数即为边长；

3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽.

222()2;a b a ab b +=+

+

【设计与创造】

请在下面正方形内设计一个方案，使之能解释公式：

ab b a b a 4)()(22+-=+

【利用图形探索】

2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个一模一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若•直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，斜边为c ，那么你能得到关于a 、b 、c 的什么等式？

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233

()()a b a a b b a b

+-+=+； （2）立方差公式 2233

()()a b a a b b a b

-++=-； （3）三数和平方公式 222

2()2()a b c a b c a b b c a

c ++=+++++； （4）两数和立方公式

33223

()33a b a a b a b b

+=+++； （5）两数差立方公式 332

23()33a b a a b a b b -=-+-. 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦

=242(1)(1)x x x -++=61x -.

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -.

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值.

解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=. 例3、试探索,)(3b a +,)(4b a +,)(5b a +,)(6b a +… … 练习：

1．填空：（1）221111

()9423

a b b a -=+（ ）；

（2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ).

2．选择题：（1）若21

2

x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）

A 、2m

B 、214m

C 、21

3

m D 、2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）

A 、总是正数

B 、总是负数

C 、可以是零

D 、可以是正数也可以是负数