2015高考数学一轮课件：9.6 双曲线

题型分类
2．渐近线与离心率 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的
一条
渐近
线的
斜率
为
b a
＝
b2 a2
＝
c2－a2 a2
＝
e2－1.可以看出，双曲
线的渐近线和离心率的
实质都表示双曲线张口
的大小．
思想方法
练出高分 第七页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
求双曲线的标准方程
【例 1】 (1)(2011·山东)已知双曲 线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)和椭圆 1x62＋y92＝1 有相同的焦点，且双
曲线的离心率是椭圆离心率的
思维启迪
两倍，则双曲线的方程为 __x4_2－__y32_＝_1_．
解析 答案
探究提高
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共
又双曲线的离心率e＝
渐近线，且过点 M(2，－2)的双
曲线方程为__________．
a7，所以 a7＝247，
a2＋b2 a
＝
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十六页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型一
求双曲线的标准方程
【例 1】 (1)(2011·山东)已知双曲 思维启迪 解析 答案 探究提高
2．渐近线与离心率 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的
一条
渐近线的斜率为 Nhomakorabeab a
＝
b2 a2
＝
c2－a2 a2
＝
e2－1.可以看出，双曲
线的渐近线和离心率的
实质都表示双曲线张口
的大小．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第三页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2．双曲线的标准方程和几何性质
标 准 xa22－by22＝1
方 (a>0，b>0)
程
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
图 形
基础知识
题型分类
2．渐近线与离心率 xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的
一条
渐近
线的
斜
率为
b a
＝
b2 a2
＝
c2－a2 a2
＝
e2－1.可以看出，双曲
线的渐近线和离心率的
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
离心
c
率 e＝ a ，e∈(1，＋∞)，其
中 c＝ a2＋b2
线段 A1A2 叫做双曲线的
性
实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；
质
实虚 轴
线段 B1B2 叫做双曲线的
虚轴，它的长|B1B2|＝2b ；
a 叫做双曲线的半实轴
长，b 叫做双曲线的半虚
轴长
2．渐近线与离心率 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的
近线的双曲线方程为
x2 2
－y2＝k，
将点(2，－2)代入得k＝
22 2
－(－2)2
＝－2.
渐近线，且过点 M(2，－2)的双 曲线方程为__________．
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十七页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型一
探究提高
解 (1)由已知：c＝ 13 ，设椭圆
长、短半轴长分别为a、b，双曲
线半实、虚轴长分别为m、n， a－m＝4
则7·a13＝3·m13 ， 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴椭圆方程为4x92 ＋3y62 ＝1，双曲线 方程为x92－y42＝1.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十三页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
一条
渐近
线的
斜率
为
b a
＝
b2 a2
＝
c2－a2 a2
＝
e2－1.可以看出，双曲
线的渐近线和离心率的
实质都表示双曲线张口
的大小．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第六页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
a、b、c 的关系
基础知识
c2＝ a2＋b2
(c>a>0，c>b>0)
ax22－by22＝1或ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)． 由题意知，2b＝12，e＝ac＝54. ∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为6x42 －3y62 ＝1或6y42 －3x62 ＝1. (2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲
线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)和椭圆 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双
1x62＋y92＝1 有相同的焦点，且双 曲线的离心率是椭圆离心率的
(曲2)线设的与方双程曲为线x4x222－－y3y2＝2＝11. 有公共渐
两倍，则双曲线的方程为 ________． (2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共
答案
12 2 23 A
C
解析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第八页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型一
求双曲线的标准方程
【例 1】 (1)(2011·山东)已知双曲 线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)和椭圆 1x62＋y92＝1 有相同的焦点，且双
曲线的离心率是椭圆离心率的
(1)椭圆
x2 16
＋
y2 9
＝1的焦点坐标为
F1(－ 7 ，0)，F2( 7 ，0)，离心
曲线的离心率是椭圆离心率的 两倍，则双曲线的方程为 ________．
率为e＝
7 4
.由于双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1
与椭圆
x2 16
＋
y2 9
＝1有相同的焦点，
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共 因此a2＋b2＝7.
实质都表示双曲线张口
的大小．
思想方法
练出高分 第四页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
范 围
x≥a 或 x≤－a，
y∈R
x∈xx或R≤≥y，∈－ya≥yRa≤或，a－a
对称 对称轴：坐标轴
性 性
对称中心： 原点
质
顶点
A1(－a,0)， A1(0，－a)，
探究提高
(2)不妨设F1、F2分别为左、右
焦点，P是第一象限的一个交
点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－
|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2 13，
∴cos∠F1PF2＝ 动 画 展 示
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1||PF2|
A2(a,0)
A2(0，a)
渐近 线
y＝±bax
y＝±abx
2．渐近线与离心率 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的
一条
渐近
线的
斜率
为
b a
＝
b2 a2
＝
c2－a2 a2
＝
e2－1.可以看出，双曲
线的渐近线和离心率的
实质都表示双曲线张口
的大小．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第五页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
思维启迪
解析
探究提高
(1)分别设出椭圆方程为
x2 a2
＋
y2 b2
＝1
(a>b>0)，双曲线方程
为mx22－ny22＝1 (m>0，n>0)．
(2)由已知条件分别求出a、
b、m、n的值．
(3)利用椭圆与双曲线定义及
余弦定理求出cos∠F1PF2.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十二页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型二
双曲线的几何性质
【例2】 中心在原点，焦点在x轴上
的一椭圆与一双曲线有共同的焦点
F1，F2，且|F1F2|＝2 13 ，椭圆的 长半轴长与双曲线半实轴长之差为
4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求
cos∠F1PF2的值．
思维启迪
解析
思维启迪
解析
探究提高
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十一页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型二
双曲线的几何性质
【例2】 中心在原点，焦点在x轴上 的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|＝2 13 ，椭圆的 长半轴长与双曲线半实轴长之差为
4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求 cos∠F1PF2的值．
数学 R A（理）
§9.6 双曲线
第九章 解析几何
第一页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、 F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的 绝对值为常数 2a (2a<2c)，则 点 P 的轨迹叫 双曲线 .这两 个定点叫双曲线的 焦点 ，两 焦点间的距离叫 焦距 ．
1．双曲线的定义用代数式 表 示为 ||MF1|－ |MF2||＝ 2a，其中 2a<|F1F2|，这 里要注意两点： (1)距离之差的绝对值． (2)2a<|F1F2|. 这两点与椭圆的定义有 本质的不同．
第二页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}， |F1F2|＝2c，其中 a、c 为常数且 a>0，c>0： (1)当 a<c 时，P 点的轨迹是双 曲线； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是 两条射线 ； (3)当 a>c 时，P 点不存在．
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共
渐近线，且过点 M(2，－2)的双
曲线方程为__________．
思维启迪 解析 答案 探究提高
求双曲线的标准方程的基本方法是待
定系数法．具体过程是先定形，再定
量，即先确定双曲线标准方程的形
式，然后再根据a，b，c，e及渐近线
之间的关系，求出a，b的值．如果已
又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为1y424－2x52 ＝1.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型二
双曲线的几何性质
【例2】 中心在原点，焦点在x轴上 的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|＝2 13 ，椭圆的 长半轴长与双曲线半实轴长之差为 4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求 cos∠F1PF2的值．
＝102＋2×42－10×2 4132＝45.
曲线方程为__________．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十五页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型一
求双曲线的标准方程
【例 1】 (1)(2011·山东)已知双曲 思维启迪 解析 答案 探究提高
线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)和椭圆 1x62＋y92＝1 有相同的焦点，且双
题型分类·深度剖析
题型二
双曲线的几何性质
【例2】 中心在原点，焦点在x轴上
的一椭圆与一双曲线有共同的焦点
F1，F2，且|F1F2|＝2 13 ，椭圆的 长半轴长与双曲线半实轴长之差为
4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求
cos∠F1PF2的值．
思维启迪
解析
知双曲线的渐近线方程，求双曲线的
标准方程，可利用有公共渐近线的双
曲线方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝λ
(λ≠0)，再由条
件求出λ的值即可．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十九页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
变式训练1 求适合下 解 (1)设双曲线的标准方程为
列条件的双曲线的标 准方程： (1)虚轴长为12，离心 率为54； (2)焦距为26，且经过 点M(0,12)．
思维启迪
两倍，则双曲线的方程为
________．
解析 答案
探究提高
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共
渐近线，且过点 M(2，－2)的双
曲线方程为__________．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十四页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型一
求双曲线的标准方程
【例 1】 (1)(2011·山东)已知双曲 线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)和椭圆 1x62＋y92＝1 有相同的焦点，且双 曲线的离心率是椭圆离心率的
渐近线，且过点 M(2，－2)的双 曲线方程为___y2_2－__x42_＝_1__．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十八页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型一
求双曲线的标准方程
【例 1】 (1)(2011·山东)已知双曲 线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)和椭圆 1x62＋y92＝1 有相同的焦点，且双 曲线的离心率是椭圆离心率的 两倍，则双曲线的方程为 ________．
两倍，则双曲线的方程为
________．
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共
思维启迪 解析 答案 探究提高
设双曲线方程为xa22－by22＝1，求双 曲线方程，即求a、b，为此需要 关于a、b的两个方程，由题意易 得关于a、b的两个方程；也可 根据双曲线的定义直接确定a、 b、c.
渐近线，且过点 M(2，－2)的双