第三章 信息论基础知识
信息论基础课件3.1-3.2.2
信源 信道 信宿
噪声 图3.1.1 通信系统的简化模型
信源→ 每发一个符号提供平均信息量H(X) bit/信符 信源 每发一个符号提供平均信息量 信符 无噪信道→信宿可确切无误的接收信息 无噪信道 信宿可确切无误的接收信息 传递作用→ 传递作用 随机干扰作用 本章主要讨论在什么条件下， 本章主要讨论在什么条件下，通过信道的信息量 最大， 最大，即信道容量问题
的上凸函数， 因为 I ( X ; Y )是 p ( x i )的上凸函数，因此总能 找到一种 概率分布 p ( x i )(即某一种信源 )，使信道所能传送的 信息率为最大。 信息率为最大。我们就 信道容量。 信道容量。 称这个最大的信息传输 率为
信道容量： 信道容量： = max { I ( X ; Y )} C
x4 某信道的信道 0 .4
( 3 )" 收到 y 3的条件下推测输入 x 2 " 的概率 解： ) p( x 3 y 2 ) = p( x 3 ) p( y 2 / x 3 ) = 0.2 × 0.2 = 0.04 (1
(2) p( y 4 ) = p( x1 ) p( y 4 / x1 ) + p( x 2 ) p( y 4 / x 2 ) + p( x 3 ) p( y 4 / x 3 ) + p( x 4 ) p( y 4 / x 4 )
a1
b1 [P] = b2 M bs p( a 1 / b1 ) p( a / b ) 1 2 M p( a 1 / b s )
a2
L
ar
p( a r / b1 ) p( a r / b 2 ) M p( a r / b s )
7
信息论基础知识
信息论基础知识在当今这个信息爆炸的时代，信息论作为一门重要的学科，为我们理解、处理和传输信息提供了坚实的理论基础。
信息论并非是一个遥不可及的高深概念，而是与我们的日常生活和现代科技的发展息息相关。
接下来，让我们一同走进信息论的世界，揭开它神秘的面纱。
信息是什么？这似乎是一个简单却又难以精确回答的问题。
从最直观的角度来看，信息就是能够消除不确定性的东西。
比如，当我们不知道明天的天气如何，而天气预报告诉我们明天是晴天，这一消息就消除了我们对明天天气的不确定性，这就是信息。
那么信息论又是什么呢？信息论是一门研究信息的量化、存储、传输和处理的学科。
它由克劳德·香农在 20 世纪 40 年代创立，为现代通信、计算机科学、统计学等众多领域的发展奠定了基础。
在信息论中，有几个关键的概念是我们需要了解的。
首先是“熵”。
熵这个概念听起来可能有些抽象，但其实可以把它理解为信息的混乱程度或者不确定性。
比如说，一个完全随机的字符串，其中每个字符的出现都是完全不确定的，它的熵就很高；而一个有规律、可预测的字符串，其熵就相对较低。
信息的度量是信息论中的一个重要内容。
香农提出了用“比特”（bit）作为信息的基本度量单位。
一个比特可以表示两种可能的状态（0 或1）。
如果一个事件有8 种等可能的结果，那么要确定这个事件的结果，就需要 3 个比特的信息（因为 2³＝ 8）。
信息的传输是信息论关注的另一个重要方面。
在通信过程中，信号会受到各种噪声的干扰，导致信息的失真。
为了保证信息能够准确、可靠地传输，我们需要采用一些编码和纠错技术。
比如，在数字通信中，常常使用纠错码来检测和纠正传输过程中产生的错误。
信息压缩也是信息论的一个重要应用。
在数字化的时代，我们每天都会产生大量的数据，如图片、音频、视频等。
通过信息论的原理，可以对这些数据进行压缩，在不损失太多有用信息的前提下，减少数据的存储空间和传输带宽。
再来说说信息的存储。
信息论基础-第三章
信息论基础-第三章
3.3.2 离散平稳有记忆信源的熵(3)
定理 3.3.1：任意离散平稳信源，若 H1(X)
1） H(XN/X1 XN1)不随N而增加 2） H N (X ) H (X N /X 1 X N 1 ) 3） HN (X)不随N而增加 4） H(X) 存在，且 H (X ) N l i H m (X N /X 1 X N 1 )
信息论基础-第三章
3.3.1 离散平稳信源(3)
例 3.3.1 一平稳信源X的符号集A={0，1}，产生随机序列， 其中P(x1=0)=p, 求P(xn=1)（n >1）的概率。
解：
平稳性 P(xn0)p
P(xn1)1p
信息论基础-第三章
3.3.1 离散平稳信源(4)
例 3.3.1续 对同一信源，若P(x1=0，x2=1)=b 求P(x4=1/x3=0)。
信息论基础-第三章
3.3.2 离散平稳有记忆信源的熵(5)
2） 只要证明N个 HN (X)的和不小于 NH (XN/X 1 XN 1)
NN H (X )H (X 1 X N) H (X 1)H (X 2/X 1) H (X N/X 1 X N 1) NH (X N/X 1 X N 1)
H N ( X ) H ( X N /X 1 X N 1 )
平均符号熵不小于条件熵
信息论基础-第三章
3.3.2 离散平稳有记忆信源的熵(6)
3） 由于 NHN(X) H ( X 1 X N 1 ) H ( X N /X 1 X N 1 ) 根据平均符号熵的定义和2）的结果，有 N H N (X ) (N 1 )H N 1 (X ) H (X N /X 1 X N 1 ) (N 1 )H N 1 (X ) H N (X )
第三章 信息论基础知识(Part2)
信息论基础知识主要内容：信源的数学模型 信源编码定理 信源编码算法 信道容量 通信的容限第 1 页 2011-2-21引言一、信息论的研究范畴 信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究信息的获取、传输、存储和处理的一般规律的科学。
狭义信息论：通信的数学理论，主要研究信息的度量方 法，各种信源、信道的描述和信源、信道的编码定理。
实用信息论：信息传输和处理问题，也就是狭义信息 论方法在调制解调、编码译码以及检测理论等领域的应用。
广义信息论，包括信息论在自然和社会中的新的应用， 如模式识别、机器翻译、自学习自组织系统、心理学、生物 学、经济学、社会学等一切与信息问题有关的领域。
第 2 页 2011-2-21二、信息论回答的问题通信信道中，信息能够可靠传 输的最高速率是多少？噪声信道编码定理 噪声信道编码定理信息进行压缩后，依然可以从已压 缩信息中以无差错或低差错恢复的 最低速率是多少？香农信源编码理论 香农信源编码理论最佳系统的复杂度是多少？第 3 页2011-2-21三、香农的贡献香农(Claude Elwood Shannon,1916～2001年)， 美国数学家，信息论的创始人。
创造性的采用概率论的方法来研究通信中的问题，并且对 信息给予了科学的定量描述，第一次提出了信息熵的概念。
1948年，《通信的数学理论》(A mathematical theory of communication ) 以及1949年，《噪声下的通信》标志了信息论的创立。
1949年，《保密通信的信息理论》，用信息论的观点对信息保密问题做了 全面的论述，奠定了密码学的基础。
1959年，《保真度准则下的离散信源编码定理》，它是数据压缩的数学基 础，为信源编码的研究奠定了基础。
1961年发表“双路通信信道”，开拓了多用户信息理论（网络信息论）的研 究；第 4 页 2011-2-21四、信息论发展历史1924年 奈奎斯特(Nyquist,H.)总结了信号带宽和信息速率之 间的关系。
信息理论基础第三章课件
波形信源可以用随机过程来描述。
§3.2 离散单符号信源
模型：
X x1 p( x ) p( x ) 1
定义
假定信源每次输出的都是N长的符号序列(记为XN＝ X1X2…XN)，序列符号之间统计依赖，称该信源为 离散有记忆N次扩展信源。
信息熵：
H ( X N ) H X1 X 2
X N H ( X i | X i 1 )
注：1.这说明N维随机变量的联合熵等于X1的熵和各阶条 件熵之和。 2.熵率如何？有如下定理。
lim H X N | X N m X N m 1 lim H X m 1 | X1 X 2
N N
注：对于齐次遍历的马尔可夫信源，根据状态与符号序列 之间的关系，有
p( s j | si ) p( xim1 | xi1 xi2
于是，有：
xim ) p( xim1 | si )
H m 1 H X m 1 | X1 X 2 E ( I ( xim1 | xi1 xi2
qm qm q
Xm xim )) E ( I ( xim1 | si ))
i 1 im 1 1
p( si ) p( xim1 | si )log( p( xim1 | si ))
序列在任意时刻的概率分布完全相同，称该信源为 离散平稳信源。
注：1.平稳信源指的是各维概率分布与时间起点无关。 2.信息量该如何描述？
信息熵(平均符号熵的极限（熵率、极限熵）)：
定义 在随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求
信息论基础
信息论基础
信息论是一门研究信息传输和处理的科学。
它的基础理论主要有以下几个方面：
1. 信息的定义：在信息论中，信息被定义为能够消除不确定性的东西。
当我们获得一条消息时，我们之前关于该消息的不确定性会被消除或减少。
信息的量可以通过其发生的概率来表示，概率越小，信息量越大。
2. 熵：熵是一个表示不确定性的量。
在信息论中，熵被用来衡量一个随机变量的不确定性，即随机变量的平均信息量。
熵越大，表示随机变量的不确定性越高。
3. 信息的传输和编码：信息在传输过程中需要进行编码和解码。
编码是将消息转换为一种合适的信号形式，使其能够通过传输渠道传输。
解码则是将接收到的信号转换回原始消息。
4. 信道容量：信道容量是指一个信道能够传输的最大信息量。
它与信道的带宽、噪声水平等因素相关。
信道容量的
计算可以通过香浓定理来进行。
5. 信息压缩：信息压缩是指将信息表示为更为紧凑的形式，以减少存储或传输空间的使用。
信息压缩的目标是在保持
信息内容的同时，尽可能减少其表示所需的比特数。
信息论还有其他一些重要的概念和理论，如互信息、信道
编码定理等，这些都是信息论的基础。
信息论的研究不仅
在信息科学领域具有重要应用，还在通信、计算机科学、
统计学等领域发挥着重要作用。
信息论基础
信息论基础信息论是研究信息传输和处理的一门科学，它由克劳德·香农在1948年提出。
信息论基础围绕着信息的度量、传输和压缩展开，从而揭示了信息的本质和特性。
信息论的应用领域非常广泛，包括通信系统、数据压缩、密码学、语言学、神经科学等。
信息论的核心概念是信息熵。
信息熵是对不确定性的度量，表示在某个概率分布下，所获得的平均信息量。
如果事件发生的概率越均匀分布，则信息熵越大，表示信息的不确定性程度高。
相反，如果事件发生的概率越集中，则信息熵越小，表示信息的不确定性程度低。
通过信息熵的概念，我们可以衡量信息的含量和重要性。
在信息论中，信息是通过消息来传递的，消息是对事件或数据的描述。
信息熵越大，需要的消息量就越多，信息的含量就越大。
在通信系统中，信息传输是其中一个重要的应用。
信息的传输需要考虑噪声和信号的问题。
噪声是指干扰信号的其他噪音，而信号是携带着信息的载体。
通过信息论的方法，我们可以优化信号的传输和编码方式，从而能够在尽可能少的传输成本和带宽的情况下，达到最高的信息传输效率。
数据压缩是信息论的另一个重要应用。
在现代社会中，我们产生的数据量越来越大，如何高效地存储和传输数据成为了一个迫切的问题。
信息论提供了一种压缩算法，能够在保证信息不丢失的情况下，通过减少冗余和重复数据，从而达到数据压缩的目的。
除了通信系统和数据压缩，信息论还在其他领域得到了广泛的应用。
在密码学中，信息论提供了安全性的度量，并通过信息熵来评估密码强度。
在语言学中，信息论用来研究语言的结构和信息流动。
在神经科学中，信息论提供了一种理解大脑信息处理和编码方式的框架。
总结起来，信息论基础是一门重要的科学，它揭示了信息的本质和特性，为各个领域提供了一种理解和优化信息传输、处理和压缩的方法。
通过对信息的度量和研究，我们能够更好地应用信息技术，提高通信效率、数据存储和传输效率，甚至能够理解和模拟人脑的信息处理过程。
信息论的发展必将在现代社会发挥重要的作用，为我们带来更加便利和高效的信息科技。
信息论基础复习提纲
第一章 绪论1、什么是信息？香农对于信息是如何定义的。
答：信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述(Information is a measure of one's freedom of choice when one selects a message )。
2、简述通信系统模型的组成及各部分的含义。
答：（1）、信源：信源是产生消息的源。
信源产生信息的速率---熵率。
（2）、编码器：编码器是将消息变成适合于信道传送的信号的设备。
包括信源编码器（提高传输效率）、信道编码器（提高传输可靠性）、调制器。
（3）、信道：信道是信息传输和存储的媒介。
（4）、译码器：译码是编码的逆变换，分为信道译码和信源译码。
（5）、信宿：信宿是消息的接收者（人或机器）。
3、简述香农信息论的核心及其特点。
答：（1）、香农信息论的核心：在通信系统中采用适当的编码后能够实现高效率和高可靠性的信息传输，并得出了信源编码定理和信道编码定理。
（2）、特点：①、以概率论、随机过程为基本研究工具。
②、研究的是通信系统的整个过程，而不是单个环节，并以编、译码器为重点。
③、关心的是最优系统的性能和怎样达到这个性能（并不具体设计系统）。
④、要求信源为随机过程，不研究信宿。
第二章 信息的度量2.1 自信息和互信息1、自信息（量）：（1）、定义：一个事件（消息）本身所包含的信息量，它是由事件的不确定性决定的。
某个消息i x 出现的不确定性的大小定义为自信息，用这个消息出现的概率的对数的负值来表示： （2）、性质：①、()i x I是()i x p 的严格递减函数。
当()()21x p x p <时()()21x I x I >概率越小，事件发生的不确定性越大，事件发生以后所包含的自信息量越大。
()()()i i i x p x p x I 1loglog =-=②、极限情况下，当()0=i x p 时()∞→i x I ；当()1=i x p 时，()0→i x I 。
信息论知识点
信息论知识点信息论是研究信息传递和处理的数学理论。
它由美国数学家克劳德·香农于1948年提出，是一门涉及通信、密码学、数据压缩等领域的重要学科。
本文将围绕信息论的几个核心概念展开讨论。
信息论研究的一个重要概念是信息熵。
信息熵是用来度量一个随机变量的不确定性的指标。
在信息论中，熵被定义为随机变量的不确定性的平均值。
熵越大，表示随机变量的不确定性越高，也就是信息量越大。
例如，一个硬币的正反面出现的概率相等，那么它的熵是最大的，因为我们无法确定它会出现哪一面。
信息熵的概念也可以用来分析数据压缩。
在数据压缩中，我们希望通过压缩算法减少数据的存储空间或传输带宽。
根据信息熵的定义，我们可以发现，如果一个数据源的熵越高，那么它的压缩效率就越低。
因为高熵数据源中的信息量较大，我们需要更多的编码来表示其中的不确定性。
相反，如果一个数据源的熵较低，那么它的压缩效率就会更高。
除了信息熵，信息论还研究了信道容量的概念。
信道容量是指在给定信道条件下，能够可靠传输的最大数据率。
这个概念对于通信系统的设计和优化非常重要。
根据香农的定理，信道容量与信噪比有关。
信噪比越高，信道容量就越大。
因此，提高信道容量的方法之一是增加信噪比，例如通过改进调制方式、使用更好的编码方案等。
信息论还研究了误差纠正编码的原理和方法。
在数字通信中，由于信道噪声或传输错误，接收到的信号可能会产生误码。
误差纠正编码通过在发送端添加冗余信息，使得接收端可以检测和纠正部分错误，从而提高通信系统的可靠性。
常见的误差纠正编码方法包括海明码、卷积码等。
信息论还涉及到密码学领域。
信息论提供了一种理论基础，用于分析和设计密码系统的安全性。
基于信息论的密码学研究主要关注信息论中的信息泄露和信息隐藏问题。
信息泄露是指在密码系统中，攻击者通过分析密文或其他辅助信息来获取明文信息的情况。
信息隐藏是指通过加密算法和密钥管理方法，使得除了合法的接收者之外的任何人无法获取明文信息的情况。
信息论基础与编码课后题答案(第三章)
3-1 设有一离散无记忆信源，其概率空间为12()0.60.4X x x P x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，信源发出符号通过一干扰信道，接收符号为12{,}Y y y =，信道传递矩阵为51661344P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求： （1） 信源X 中事件1x 和2x 分别含有的自信息量；（2） 收到消息j y （j ＝1，2）后，获得的关于i x （i ＝1，2）的信息量； （3） 信源X 和信宿Y 的信息熵；（4） 信道疑义度(/)H X Y 和噪声熵(/)H Y X ； （5） 接收到消息Y 后获得的平均互信息量(;)I X Y 。
解：（1）12()0.737,() 1.322I x bit I x bit ==（2）11(;)0.474I x y bit =，12(;) 1.263I x y bit =-，21(;) 1.263I x y bit =-，22(;)0.907I x y bit =（3）()(0.6,0.4)0.971/H X H bit symbol ==()(0.6,0.4)0.971/H Y H bit symbol ==（4）()(0.5,0.1,0.1,0.3) 1.685/H XY H bit symbol ==(/) 1.6850.9710.714/H X Y bit symbol =-= (/)0.714/H Y X bit symbol =（5）(;)0.9710.7140.257/I X Y bit symbol =-=3-2 设有扰离散信道的输入端是以等概率出现的A 、B 、C 、D 四个字母。
该信道的正确传输概率为0.5，错误传输概率平均分布在其他三个字母上。
验证在该信道上每个字母传输的平均信息量为0.21比特。
证明：信道传输矩阵为：11112666111162661111662611116662P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，信源信宿概率分布为：1111()(){,,,}4444P X P Y ==， H(Y/X)=1.79（bit/符号），I(X;Y)=H(Y)- H(Y/X)=2-1.79=0.21（bit/符号）3-3 已知信源X 包含两种消息：12,x x ，且12()() 1/2P x P x ==，信道是有扰的，信宿收到的消息集合Y 包含12,y y 。
信息论基础详细ppt课件
1928年，哈特莱(Hartley)首先提出了用对数度量信
息的概念。一个消息所含有的信息量用它的可能值
香农
的个数的对数来表示。
(香农)信息： 信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。 可运用研究随机事件的数学工具——概率来测度不确定性大小。 在信息论中，我们把消息用随机事件表示，而发出这些消息的信 源则用随机变量来表示。
2.1 自信息和互信息
2.1.1 自信息
随机事件的自信息量 I (xi ) 是该事件发生概率 p(xi ) 的函数，并且应该满 足以下公理化条件：
1. I (xi )是 p(xi )的严格递减函数。当 p(x1)p(x2) 时，I(x1)I(x2)，概率 越小，事件发生的不确定性越大，事件发生后所包含的自信息量越大
事件 x i 的概率为p(xi ) ，则它的自信息定义为：
I(xi)d eflogp(xi)logp(1xi)
从图2.1种可以看到上述信息量的定义正 是满足上述公理性条件的函数形式。I (xi ) 代表两种含义：当事件发生以前，等于 事件发生的不确定性的大小；当事件发 生以后，表示事件所含有或所能提供的 信息量。
2．极限情况下当 p(xi )=0时，I(xi)；当 p(xi ) =1时，I (xi ) =0。
3．另外，从直观概念上讲，由两个相对独立的不同的消息所提供的 信息量应等于它们分别提供的信息量之和。 可以证明，满足以上公理化条件的函数形式是对数形式。
定义2.1 随机事件的自信息量定义为该事件发生概率的对数的负值。
我们把某个消息 x i 出现的不确定性的大小，定义为自信息，用这
个消息出现的概率的对数的负值来表示：I(xi)lop(g xi)
自信息同时表示这个消息所包含的信息量，也就是最大能够给予 收信者的信息量。如果消息能够正确传送，收信者就能够获得这 么大小的信息量。
信息论基础第3章
则该信源称为离散平稳信源。 对于平稳信源来说，其条件概率也与时间起点 无关。
12
3.3 离散平稳信源
(m+1)维离散平稳信源
如果离散平稳信源某时刻发出什么符号只与 前面发出的m个符号有关联，而与更早些时 刻发出的符号无关联，则该信源称为(m+1) 维离散平稳信源。
P (x i +m | x 1 x i +m-1 ) = P (x i +m | x i x i +m-1 )
信息论基础
第3章 离散信源和熵
通信与信息工程学院 雷维嘉
本章内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
离散信源的分类 离散信源的N次扩展信源 离散平稳信源 马尔可夫信源 信源的相关性和剩余度
2
3.1 离散信源的分类
按照离散信源输出的是一个消息符号还是消息 符号序列，可分为单符号离散信源和多符号离 散信源。 按输出符号之间依赖关系分类，多符号离散信 源可分为无记忆信源和有记忆信源。 按照信源输出的符号序列的统计特性是否随时 间变化，多符号离散信源可分为平稳信源和非 平稳信源。
P (x 1 = 1) = 1/ 2, P (x 1 = 2) = 1/ 4, P (x 1 = 3) = 1/ 4
信源输出符号只与前一个符号有关，其条件概率 P (xl +1 | xl ) (l = 1,2, )具有时间推移不变性，如下表 所示。试问该信源是否为二维离散平稳信源？
xl xl+1 1 2 3
3.2 离散信源的N次扩展信源
6
N次扩展信源的数学模型
设单符号离散信源的数学模型为
é X ù é a ù a a 1 2 q ê ú=ê ú êP (x )ú êP (a ) P (a ) P (a )ú 1 2 q ú êë úû êë û
信息理论知识点
信息理论知识点信息理论是研究信息传输、信息存储和信息处理等问题的一门重要学科，是现代通信领域的基础理论之一。
信息理论的基本原理和方法在通信系统、数据处理和保密通信等领域有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍信息理论的一些基本知识点，帮助读者更好地理解这一重要学科。
信息量：在信息理论中，信息量是用来衡量信息的多少的概念。
信息量的大小与信息的不确定性有关，信息量越大，信息的不确定性就越高。
信息量的单位通常用比特（bit）来表示，一个比特可以表示两种可能性中的一种。
如果一条消息有8种可能的情况，那么它需要3比特来表示。
信息熵：信息熵是用来衡量信息的不确定性的概念。
信息熵越高，信息的不确定性就越大。
信息熵的计算公式是H(X)=-Σp(x)log₂p(x)，其中p(x)表示事件x发生的概率。
信息熵的单位通常是比特（bit），它反映了信息的平均不确定性。
信道容量：信道容量是指信道传输信息的最大速率。
在信息论中，信道容量是一个关键的概念，它决定了信息传输的最大效率。
信道容量的计算方法是C=B×log₂(1+S/N)，其中B表示信道的带宽，S表示信号功率，N表示噪声功率。
信道容量越大，表示信道传输信息的能力越强。
编码理论：编码理论是信息理论中的一个重要分支，它研究如何将信息以更高效的方式表示和传输。
编码理论的目标是设计出一种编码方案，使得信息传输更加可靠和高效。
在通信系统中，编码理论被广泛应用于纠错编码和数据压缩等方面。
信息论在现代通信技术和数据处理中扮演着重要的角色，它不仅为我们提供了理论基础，也为实际应用提供了参考。
通过学习信息理论的知识点，我们能够更好地理解信息的本质和传输过程，从而更好地应用于实际的通信系统和数据处理中。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
信息论基础__信息论
def
图2.1 自信息量
自信息量的单位与所用对数的底有关。 （1）常取对数的底为2，信息量的单位为比特(bit，binary unit)。当
p( xi )=1/2时，I ( xi ) =1比特，即概率等于1/2的事件具有1比特的自信
息量。 （2）若取自然对数（对数以e为底），自信息量的单位为奈特（nat， natural unit）。 1奈特= log 2 e 比特=1.443比特
2.1.1 自信息
随机事件的自信息量 I ( xi ) 是该事件发生概率 p( xi ) 的函数，并且应该满
足以下公理化条件：
1. I ( xi ) p( xi )的严格递减函数。当 p( x1 ) p( x2 ) 时，I ( x1 ) I ( x2 ) ，概率 是 越小，事件发生的不确定性越大，事件发生后所包含的自信息量越大
H ( X ) pi log pi H ( p1 , p2 ,, pq ) H (p)
i 1 q
熵函数 H (p)具有以下性质： 1.对称性：
H ( p1 , p2 ,, pq ) H ( p2 , p1 ,, pq )= = H ( pq , p1,, pq 1 )
对称性说明熵函数仅与信源的总体统计特性有关。
2. 确定性： H (1, 0) H (1, 0, 0) H (1, 0, 0, 0) H (1, 0, ,0) 0 在概率矢量中，只要有一个分量为1，其它分量必为0，它们对熵的 贡献均为0，因此熵等于0。也就是说确定信源的不确定度为0。 3. 非负性： H (p) H ( p1 , p2 ,, pq ) 0 对确定信源，等号成立。信源熵是自信息的数学期望，自信息是非 负值，所以信源熵必定是非负的。 4. 扩展性： lim H q 1 ( p1 , p2 ,, pq ， ) H q ( p1 , p2 , , pq ) 0 这个性质的含义是增加一个基本不会出现的小概率事件，信源的熵 保持不变。 5. 连续性： lim H ( p1 , p2 ,, pq 1 ， pq ) H ( p1 , p2 , , pq ) 0 即信源概率空间中概率分量的微小波动，不会引起熵的变化。
信息理论基础知识点总结
信息理论基础知识点总结1.信息量信息量是表示信息的多少的一个概念。
在信息理论中，通常使用二进制对数函数来表示信息的量，这个函数被称为信息自由度函数。
它的表达式是I(x)=-log2P(x)，其中x是一种情况，P(x)是x发生的概率。
信息量的单位是比特（bit），它表示传递或存储信息的最小单位。
当一种情况的概率越大，它所携带的信息量就越小；反之，概率越小的情况所携带的信息量就越大。
信息量的概念在通信、数据压缩和密码学等领域有着广泛的应用。
2.信息熵信息熵是表示信息不确定度的一个概念。
在信息理论中，熵被用来度量信息源的不确定性，它的值越大，信息源的不确定性就越大。
信息熵的表达式是H(X)=-∑p(x)log2p(x)，其中X 是一个随机变量，p(x)是X的取值x的概率。
信息熵的单位也是比特（bit）。
当信息源的分布是均匀的时候，信息熵达到最大值；当某种情况的概率接近于0或1时，信息熵达到最小值。
信息熵的概念在数据压缩、信道编码和密码学等领域有着重要的作用。
3.信道信道是信息传递的媒介，它可以是有线的、无线的或者光纤的。
在信息理论中，通常使用信道容量来度量信道的传输能力，它的单位是比特每秒（bps）。
信道容量取决于信噪比和带宽，信噪比越大、带宽越宽，信道容量就越大。
在通信系统中，通过对信道进行编码和调制可以提高信道的传输能力，从而提高通信的可靠性和效率。
信息理论还研究了最大化信道容量的编码方法和调制方法，以及如何在有损信道中进行纠错和恢复等问题。
4.编码编码是将信息转换成特定形式的过程，它可以是数字编码、字符编码或者图像编码等形式。
在信息理论中，编码的目的是为了提高信息的传输效率和可靠性。
信息理论研究了各种类型的编码方法，包括线性编码、循环编码、卷积编码和码分多址等方法。
在通信系统中，通过使用合适的编码方法，可以提高信道的传输效率和抗干扰能力，从而提高通信的质量和可靠性。
综上所述，信息量、信息熵、信道和编码是信息理论的基础知识点。
信息论-基础理论与应用第三版(傅祖芸)-第三章PPT课件
单符号离散信道的相关概率关系
（1）联合概率
Hale Waihona Puke P ( a ib j) P ( a i) P ( b j/a i) P ( b j) P ( a i/b j)
其中
P (b j / ai ) 前向概率，描述信道的噪声特性 P ( a i ) 输入符号的先验概率 P (ai / b j ) 后向概率（后验概率）
X ,Y
p ( x ) X ,Y
p(x | y)
p ( xy ) log p ( x | y ) p ( xy ) log p ( y | x )
X ,Y
p ( x ) X ,Y
p(y)
p ( xy )
p ( xy ) log
X ,Y
p(x) p(y)
I(X;Y)是I (x ; y)的统计平均，可以证明I(X;Y)≥0 。 若I(X;Y)
r
P(ai)P(bj |ai)
i1
(其中P(bj)0,i 1,2,...r,; j 1,2,...s,)
且
含义：
r
P(ai / bj ) 1
i 1
输出端收到的某符号，必是输入端某一符号输入所致。
3.2 信道疑义度与平均互信息
研究离散单符号信道的信息传输问题。
一、信道疑义度
先验熵：即信道输入信源X的熵
X,Y
p(x)p(y)
I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY)
其中：
H ( X |Y ) ＝ p ( x ) ly o1 g ;H ( Y |X ) ＝ p ( x ) ly o1 g
X ,Y
p ( x |y )
X ,Y
p ( y |x )
第三章_信息论基础知识
激光
而生物技术、空间技术和海洋技术 则是新材料、新能源和信息技术共
同派生出来的三门新技术。
新能源
至于光导纤维通信和计算机技术则 是信息技术的具体分支.
10
新技术的关系结构
第三章 信息论基础知识 3、信息技术与传统技术
中原工学院
机电学院
信息技术在当代整个技术体系中，担负着对传统技术进行补充、改造和更 新的使命。例如，在改造传统工业方面，实现生产过程的自动化。
第三章 信息论基础知识
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2、信息技术与新技术革命
信息技术向人类提供各种有用的知识，是现代技术的智慧和灵魂。在新的 技术革命中扮演主要的角色.
通信 传感 信息 计算机
微电子技术是由新材料技术和信息 技术派生出来的一门新技术; 激光技术是新能源技术和信息技术 派生出来的新技术;
微电子
空间 海洋 生物 新材料
自动化防空体系 自动化轧钢系统
4
第三章 信息论基础知识 3、信息的基本性质
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（1）可以识别 通过人的感官、各种探测工具。 （2）可以转换 例如，电信号、代码 语言、文字、图像等 （3）可以存储 （4）可以传输 此外，还具有可共享性和永不枯竭性。即信息经过传播可以成为全人类的 财富；信息作为事物运动的状态和方式，是永不枯竭的，只要事物在运动， 就有信息存在。
三、信息科学
1、信息科学
★ 信息科学以信息为主要研究对象；传统科学以物质和能量为研究对象。
★ 信息科学——是研究如何认识和利用信息的科学。认识信息方面：探讨 信息的本质，建立信息问题的完整数学描述方法和定量度量方法，探明信息 的产生、识别、提取、变换、传递、检测、存储、检索、处理和分析。利用 信息方面：研究利用信息进行有效控制和组织最优系统的一般原理和方法。
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2、定义 几个较为典型和著名的关于“信息”的定义： 几个较为典型和著名的关于“信息”的定义：
第三章 信息论基础知识
青岛大学机电工程学院
美国科学家维纳(N.Wiener)在1948 年出版的奠基性著作 （1 ）美国科学家维纳 在 1948年出版的奠基性著作 控制论-- 动物和机器中的通信与控制问题》 一书中指出： --动物和机器中的通信与控制问题 《 控制论 -- 动物和机器中的通信与控制问题 》 一书中指出 ： “ 信息就是信息， 不是物质， 也不是能量。 ” 后来， 他又在 信息就是信息 ， 不是物质 ， 也不是能量 。 后来 ， 人有人的用处》一书中，提出新的看法“ 《 人有人的用处 》 一书中 ， 提出新的看法 “ 信息就是人和外界 互相作用的过程中互相交换的内容的名称。 互相作用的过程中互相交换的内容的名称。” 美国科学家山农( （ 2 ） 美国科学家山农 (C.E.Shanon) 在 1948 年 “ 通信的数学理 ) 1948年 一文中，把信息定义为熵的减少。换言之，他把信息定义为： 定义为熵的减少 论”一文中，把信息定义为熵的减少。换言之，他把信息定义为： 能够用来消除不定性的东西。 因为熵是不定性的度量 熵是不定性的度量。 “能够用来消除不定性的东西。”因为熵是不定性的度量。 意大利学者郎格( 年出版的《 （3）意大利学者郎格(G.Longo)在1975年出版的《信息论：新 ) 1975年出版的 信息论： 趋势和未决问题》一书中定义为： 事物之间的差异， 趋势和未决问题》一书中定义为：“事物之间的差异，而不是事 物本身” 物本身”。 一般地讲，从纯客观的角度，信息定义为： 一般地讲，从纯客观的角度，信息定义为： 方式。 事物 运动 的 状态 和 方式。
第三章 信息论基础知识
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第一节
一、信息的定义 1、泛说
信息与信息技术
信息就是消息” 有一定道理。但并不确切。确切地说： “信息就是消息”？ 有一定道理。但并不确切。确切地说：信息是消息的 内核，消息是信息的外壳，消息与信息并不是一回事。 内核，消息是信息的外壳，消息与信息并不是一回事。一则消息可能包含丰 富的信息，也可能只包含很少信息。 富的信息，也可能只包含很少信息。 “信息就是情报”？ 不错，在一定条件下，信息就是情报。但从一般情形 信息就是情报” 不错，在一定条件下，信息就是情报。 来讲，二者不能等同。情报只是信息中的一个类，而不是全体。 来讲，二者不能等同。情报只是信息中的一个类，而不是全体。 “信息就是知识”？ 这也要有条件。反过来讲，知识是一种信息，这是对 信息就是知识” 这也要有条件。反过来讲，知识是一种信息， 但知识也是信息的一部分，而不是全体。 的，但知识也是信息的一部分，而不是全体。 信息也不等同于信号。信号是消息的载体，消息蕴含在信号中。 信息也不等同于信号。信号是消息的载体，消息蕴含在信号中。 目前，人们对于信息的研究还没达到完全揭示其本质的程度。 目前，人们对于信息的研究还没达到完全揭示其本质的程度。 没达到完全揭示其本质的程度
第三章 信息论基础知识
青岛大学机电工程学院
补充知识：声音是人们生活中不可缺少的要素。通过语言，人们交流思想和感情，优美的音 乐使人们获得艺术的享受，工程技术人员还把声学系统应用在工业生产和军事技术中，成为颇为 重要的信息之一。自从潜水艇问世以来，随之而来的就是水面的舰船如何发现潜艇的位置以防偷 袭；而潜艇沉入水中后，也须准确测定敌船方位和距离以利攻击。因此，在第一次世界大战期间， 在海洋上，水面与水中敌对双方的斗争采用了各种手段。海军工程师们也利用声学系统作为一个 重要的侦察手段。首先采用的是水听器，也称噪声测向仪，通过听测敌舰航行中所发出的噪声来 发现敌舰。只要周围水域中有敌舰在航行，机器与螺旋桨推进器便发出噪声，通过水听器就能听 到，能及时发现敌人。但那时的水听器很不完善，一般只能收到本身舰只的噪声，要侦听敌舰， 必须减慢舰只航行速度甚至完全停车才能分辨潜艇的噪音，这样很不利于战斗行动。不久，法国 科学家郎之万（1872～1946）研究成功利用超声波反射的性质来探测水下舰艇。用一个超声波发 生器，向水中发出超声波后，如果遇到目标便反射回来，由接收器收到。根据接收回波的时间间 隔和方位，便可测出目标的方位和距离，这就是所谓的声纳系统。人造声纳系统的发明及在侦察 敌方潜水艇方面获得的突出成果，曾使人们为之惊叹不已。岂不知远在地球上出现人类之前，蝙 蝠、海豚早已对“回声定位”声纳系统应用自如了。 生物在漫长的年代里就是生活在被声音包围的自然界中，它们利用声音寻食，逃避敌害和求 偶繁殖。因此，声音是生物赖以生存的一种重要信息。意大利人斯帕兰赞尼很早以前就发现蝙蝠 能在完全黑暗中任意飞行，既能躲避障碍物也能捕食在飞行中的昆虫，但是堵塞蝙蝠的双耳后， 它们在黑暗中就寸步难行了。面对这些事实，帕兰赞尼提出了一个使人们难以接受的结论：蝙蝠 能用耳朵“看东西”。第一次世界大战结束后，1920年哈台认为蝙蝠发出声音信号的频率超出人 耳的听觉范围。并提出蝙蝠对目标的定位方法与第一次世界大战时郎之万发明的用超声波回波定 位的方法相同。遗憾的是，哈台的提示并未引起人们的重视，而工程师们对于蝙蝠具有“回声定 位”的技术是难以相信的。直到1983年采用了电子测量器，才完完全全证实蝙蝠就是以发出超声 波来定位的。但是这对于早期雷达和声纳的发明已经不能有所帮助了。
第三章 信息论基础知识
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第三章 信息论基础知识
科学技术发展的三大支柱——能源、材料、信息。 ——能源 ★ 科学技术发展的三大支柱——能源、材料、信息。 信息论——是信息科学的理论基础， ——是信息科学的理论基础 ★ 信息论——是信息科学的理论基础，是运用数理统计方法 研究信息的获取、变换、传输与处理的新兴学科 的新兴学科。 研究信息的获取、变换、传输与处理的新兴学科。 ★ 本章主要内容 1）信息与信息技术 2）信息论与广义通信系统 3）信息的定量描述——信源模型与信息熵 信息的定量描述——信源模型与信息熵 —— 4）连续信源及最大熵定理 5）信息与熵的守恒定律
三、信息科学 1、信息科学
信息科学以信息为主要研究对象 传统科学以物质和能量为研究对象 以信息为主要研究对象； 以物质和能量为研究对象。 ★ 信息科学以信息为主要研究对象；传统科学以物质和能量为研究对象。 信息科学——是研究如何认识 利用信息的科学 认识信息方面： ——是研究如何认识和 的科学。 ★ 信息科学——是研究如何认识和利用信息的科学。认识信息方面：探讨 信息的本质，建立信息问题的完整数学描述方法和定量度量方法， 信息的本质，建立信息问题的完整数学描述方法和定量度量方法，探明信息 的产生、识别、提取、变换、传递、检测、存储、检索、处理和分析。 的产生、识别、提取、变换、传递、检测、存储、检索、处理和分析。利用 信息方面：研究利用信息进行有效控制和组织最优系统的一般原理和方法。 信息方面：研究利用信息进行有效控制和组织最优系统的一般原理和方法。 信息科学的主体结构应是信息论、控制论、系统论三者的结合 的主体结构应是信息论 三者的结合； ★ 信息科学的主体结构应是信息论、控制论、系统论三者的结合；而人工 智能则是三者的综合利用 则是三者的综合利用。 智能则是三者的综合利用。
第三章 信息论基础知识 2、信息科学的方法论
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信息科学的方法论，包括1）信息分析综合法；2 ）行为功能模拟法；3 ） 信息科学的方法论， 包括1 信息分析综合法； 行为功能模拟法； 系统整体优化法。有时也称为信息方法、功能准则和系统准则。 系统整体优化法。有时也称为信息方法、功能准则和系统准则。 信息方法 信息的观点出发 的观点出发， （1）信息分析综合法 从信息的观点出发，抓住对象的信息特征和联系来 分析对象，理解和揭示它的工作机制。例如， 蝙蝠→警戒雷达系统； 分析对象，理解和揭示它的工作机制。例如，由蝙蝠→警戒雷达系统；青蛙 识别活动目标→活动目标雷达系统；人脑部分思维→人工智能系统，等等。 识别活动目标→活动目标雷达系统；人脑部分思维→人工智能系统，等等。 就是在信息综合时，要从行为的观点出发， 行为的观点出发 （2）功能模拟法 就是在信息综合时，要从行为的观点出发，以行为的相 似性为基础，从功能上模拟事物与环境的相互作用方式。 似性为基础，从功能上模拟事物与环境的相互作用方式。 在进行信息分析和综合时遵循的原则 追求功能上的相似， 遵循的原则： 在进行信息分析和综合时遵循的原则：追求功能上的相似，而绝少追求结 构上的相似。 构上的相似。 （3）系统整体优化法 就是在信息综合时，要从系统的观点出发，从整体 就是在信息综合时，要从系统的观点出发， 系统的观点出发 与部分之间、整体与外部环境之间的相互联系中综合地考察对象，进行合理 与部分之间、整体与外部环境之间的相互联系中综合地考察对象， 的组织，从而达到最优地解决问题的目的。 的组织，从而达到最优地解决问题的目的。 信息分析综合法主要源于信息论；行为功能模拟法主要来自控制论；系统 信息分析综合法主要源于信息论； 行为功能模拟法主要来自控制论； 主要源于信息论 主要来自控制论 整体优化法则以系统工程、系统论为主要背景。 整体优化法则以系统工程、系统论为主要背景。 则以系统工程 为主要背景
广义的 广义的 相对稳定 运动变化
事物运动的两个基本侧面
第三章 信息论基础知识 二、信息的作用 1、信息是一种资源
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正像物质和能源是人类生存和发展所必需的资源一样 信息也 是人类生存和发展所必需的资源一样， 正像物质和能源是人类生存和发展所必需的资源一样，信息也 物质 是一种不可缺少的资源。物质→各种材料 能源→各种动力 各种材料； 各种动力； 是一种不可缺少的资源。物质 各种材料；能源 各种动力；信 无穷无尽的知识和智慧。 息→无穷无尽的知识和智慧。 无穷无尽的知识和智慧 2、物质、能量、信息三者的关系 物质、能量、 物质使系统具有形体；能量使系统具有力量；信息使系统具有 使系统具有力量 物质使系统具有形体；能量使系统具有力量；信息使系统具有 使系统具有形体 灵魂” “灵魂”。
自动化防空体系 自动化轧钢系统