2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测(三十五)+数列求和+Word版含解析

课时跟踪检测(三十五) 数列求和
一、题点全面练
1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12
D ．－15
解析：选A a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15.
2．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80
D ．82
解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.
3．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018等于( ) A ．22 018－1 B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1
D ．3×21 008－2
解析：选B ∵a 1＝1，a 2＝2
a 1＝2，
又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，
∴a n ＋2
a n
＝2.
∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列， ∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018) ＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2
＝3×21 009－3.故选B.
4．(2019·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
(n ∈N *)，则T 2 018＝( )
A.4 034
2 018
B.2 0172 018
C.4 0362 019
D.2 0182 019
解析：选C 由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋1)2，所以1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1
S n ＝
2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n
n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1
＝4 0362 019，故选C. 5．已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 019项和为( )
A ．5
B ．－4
C ．0
D ．－2
解析：选B 由“凸数列”的定义及b 1＝1，b 2＝－2，得b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6
＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，∴数列{b n }是周期为6的周期数列，且b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，于是数列{b n }的前2 019项和等于b 1＋b 2＋b 3＝－4.
6．(2019·肇庆模拟)正项数列{a n }中，满足a 1＝1，a 2＝12，1
a n ＋1
＝
1a n ·1
a n ＋2
(n ∈N *)，那么a 1·a 3＋a 2·a 4＋a 3·a 5＋…＋a n ·a n ＋2＝________.
解析：由1
a n ＋1
＝
1a n ·1
a n ＋2
(n ∈N *)， 可得a 2n ＋1＝a n a n ＋2， ∴数列{a n }为等比数列．
∵a 1＝1，a 2＝12，∴q ＝12，∴a n ＝1
2n －1，
∴a n ·a n ＋2＝
1
2n －1·12n ＋1＝14n
，∴a 1·a 3＝14， ∴a 1·a 3＋a 2·a 4＋a 3·a 5＋…＋a n ·a n ＋2 ＝14⎝⎛
⎭⎫1－14n 1－14＝13
⎝⎛⎭⎫1－14n . 答案：1
3⎝⎛⎭
⎫1－14n
7．(2019·合肥模拟)数列{a n }满足：a 1＝1
3，且a n ＋1＝(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的前n
项和S n ＝________.
解析：a n ＋1＝(n ＋1)a n 3a n ＋n ，两边同时取倒数得1a n ＋1＝3a n ＋n (n ＋1)a n ＝3
n ＋1＋n (n ＋1)a n ，整理得
n ＋1a n ＋1
＝n a n ＋3，所以n ＋1a n ＋1－n a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 是以1
a 1＝3为首项，3为公差的等差数列，所以n a n ＝3n ，所以a n ＝1
3，所以数列{a n }是常数列，所以S n ＝n 3
.
答案：n
3
8．(2019·益阳、湘潭调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n
＝log 2a n ，则
1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1
b 2 018b 2 019
的值是________． 解析：由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n
＝2n
.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2
n
－2n －1＝2n －1，b
n ＝log 2a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，n ＝1，
n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝1＋1－12＋12－13＋…＋1
2 017－
12 018＝2－12 018＝4 035
2 018
. 答案：
4 035
2 018
9．(2019·广州调研)已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －
1a n ＝n 4(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝4n a n
2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .
解：(1)当n ＝1时，a 1＝1
4
.
因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n
4，①
所以
a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝
n －1
4
(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得4n －1a n ＝1
4
(n ≥2，n ∈N *)，
所以a n ＝1
4
n (n ≥2，n ∈N *)．
当n ＝1时也适合上式，故a n ＝1
4n (n ∈N *)．
(2)由(1)得b n ＝4n a n 2n ＋1＝1
2n ＋1
，
所以b n b n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n ＋1－12n ＋3，
故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3 ＝n
6n ＋9
. 10．(2019·石家庄质检)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋1
2
n . (1)设b n ＝a n
n ，求数列{b n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1
2n ，
又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝1
2n ，
由a 1＝1，得b 1＝1，
累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝121＋122＋…＋1
2n －
1， 即b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－12n －11－
12＝1－1
2n －1，
∴b n ＝2－1
2n －
1.
(2)由(1)可知a n ＝2n －n
2n －
1，
设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，
则T n ＝120＋221＋3
22＋…＋n 2n －1，①
12T n ＝121＋222＋3
23＋…＋n 2
n ，② ①－②得12T n ＝120＋121＋122＋…＋1
2n －1－n 2n
＝1－12n
1－12－n
2n ＝2－n ＋22n ，
∴T n ＝4－n ＋2
2n －
1.
易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)＋n ＋2
2n －
1－4.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋
1n 2＝( ) A.n (n ＋1)2
B ．－
n (n ＋1)
2
C ．(－1)n
＋1
n (n ＋1)
2
D ．以上均不正确
解析：选C 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n
2
(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －1
2[3＋2(n －1)－1]2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上可得，原式＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2
.
2．已知函数f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n 2，n 为奇数，
－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝
( )
A ．－2 017
B ．－2 018
C ．2 017
D ．2 018
解析：选D 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，则a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1，所以a 1＋a 3
＋a 5＋…＋a 2 017＝－(3＋7＋11＋…＋4 035)．当n 为偶数时，n ＋1为奇数，则a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018＝5＋9＋13＋…＋4 037.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋…＋(4 037－4 035)＝2×1 009＝2 018，故选D.
3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则数列{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2
B ．n 2－6n ＋18
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n ＞3)
D.⎩⎪⎨⎪
⎧
6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n (n ＞3)
解析：选C 由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴当n ≤3时，a n ＜0，T n ＝(－a 1)＋(－a 2)＋(－a 3)＝－S n ＝6n －n 2.
当n ＞3时，a n ＞0，T n ＝(－a 1)＋(－a 2)＋(－a 3)＋a 4＋…＋a n ＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.
∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
6n －n 2
(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n ＞3).
(二)难点专练——适情自主选
4．已知数列{a n }为等差数列且公差d ≠0，{a n }的部分项组成等比数列{b n }，其中b n ＝ak n ，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，
(1)求k n ；
(2)若a 1＝2，求{a n k n }的前n 项和S n .
解：(1)由k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，知a 1(a 1＋16d )＝(a 1＋4d )2，得a 1＝2d . 从而a k ＝(k ＋1)d ，则ak n ＋1ak n ＝(k n ＋1＋1)d (k n ＋1)d ＝ak 2
ak 1
＝3，
即(k n ＋1＋1)＝3(k n ＋1)，所以数列{k n ＋1}是首项为k 1＋1＝2，公比为3的等比数列，所以k n ＋1＝2·3n －1，所以k n ＝2·3n －1－1.
(2)由a 1＝2，得d ＝1，
则a n ＝n ＋1，a n k n ＝2(n ＋1)·3n －1－(n ＋1)， 所以
S n ＝2[2＋3·3＋…＋(n ＋1)3n －1]－
n (n ＋3)
2
， 令T n ＝2＋3·3＋…＋(n ＋1)3n －1， 则3T n ＝2·3＋3·32＋…＋(n ＋1)3n ，
两式相减，得－2T n ＝2＋3＋32＋…＋3n －1－(n ＋1)3n ＝1＋3n －1
2－(n ＋1)3n .
所以T n ＝－3n ＋14＋(n ＋1)3n 2＝(2n ＋1)3n －1
4，
S n ＝(2n ＋1)3n －(n 2＋3n ＋1)
2
.
5．在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝tan a n tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n
＋2，①
T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②
由①×②并利用t i ·t n ＋3－i ＝100(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝100
n ＋2，所以a n ＝lg T n ＝n ＋2. (2)由题意和(1)中计算结果，知b n ＝tan(n ＋2)tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，由tan 1＝tan [(k ＋1)－k ] ＝
tan (k ＋1)－tan k
1＋tan (k ＋1)tan k ， 得tan(k ＋1)tan k ＝tan (k ＋1)－tan k
tan 1－1，
所以S n ＝∑k ＝1
n
b k ＝∑k ＝3
n ＋2
tan(k ＋1)tan k
＝∑k ＝
3
n ＋2
⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan (k ＋1)－tan k tan 1－1
＝tan (n ＋3)－tan 3
tan 1
－n .。