江西省南昌市新建一中2019-2020学年高二下学期开学考试数学(理)试题

灯的概率分别为 2 ， 3 ， 4 ． （1）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和均值．
（2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率．
20.《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节 目.节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让 选手经过名校最权威的脑力测试，120 分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试 成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各 100 名，然后对这 200 名学生进行脑 力测试.规定：分数不小于 120 分为“入围学生”，分数小于 120 分为“未入围学生”.已知 男生入围 24 人，女生未入围 80 人. （1）根据题意，填写下面的 2×2 列联表，并根据列联表判断是否有 90%以上的把握认为脑 力测试后是否为“入围学生”与性别有关；
2.三位女歌手与三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相邻，则不同的排法数为
A. 48
B. 72
C. 120
D. 144
3.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查 200 名高中
生是否爱好某项运动，利用 2×2 列联表，由计算可得 K2≈7.245，参照下表：得到的正确结
D. 0.28 0.82
( ) 6.
x2
−1
1 x
5
−
2
展开式的常数项为（）
A. 112
B. 48
C. -112
D. -48
7.已知 S = C217 + C227 + C237 +
+
C 27 27
，则
S
除以
9
所得的余数是
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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数学（理）试卷
一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分）
1.已知 x 与 y 之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则 y 与 x 的线性回归方程 y = b x + a 必过点( )
A.(1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2)
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________.
16.不等式 2x −1 − x − 3 m 有解，那么实数 m 的取值范围是_____
8.由 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成没有重复数字且能被 5 整除的 5 位数的个数是
（）
A. 144
B. 192
C. 216
D. 240
9. ( 2 + x)10 = a0 + a1x + a2 x2 + + a10 x10 ，则
(a0 + a2 + + a10 )2 − (a1 + a3 + + a9 )2 = （ ）
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( ) N , 2 ，其中 2 225 ， 为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区
间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题： ①估计每分钟跳绳 164 个以上的人数（四舍五入到整数） ②若在全年级所有学生中随机抽取 3 人，记每分钟跳绳在 179 个以上的人数为 Y，求 Y 的分 布列和数学期望与方差．
5.【详解】设 X 为击中目标的次数，则 X ~ B (10, 0.8) ，从而这名射手在 10 次射击中，恰
有 8 次击中目标的概率为 C180 0.88 (1− ) 0.8 10−8 = C180 0.88 0.22 ．选 A.
6.【详解】由于
( ) ( ) x2
−1
1 x
5
−
2
=
x2
A. 0
B.－1
C. 1
( )10
D. 2 −1
10.我校在模块考试中约有 1000 人参加考试，其数学考试成绩 ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分
150 分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的 ，则此次
数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为( )
A. 600
( ) （若随机变量 X 服从正态分布 N , 2 则 P( − X + ) = 0.6826) ，
P( − 2 X + 2 ) = 0.9554 ， P( − 3 X + 3 ) = 0.9974) ）
参考答案
1.A
2.【详解】由插空法得 A33A34 = 144 ．选 D.
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三、解答题（共 6 小题；共 70 分） 17.某县畜牧技术员张三和李四 9 年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提 供了该县某山羊养殖场年养殖数量 y（单位：万只）与相应年份 x（序号）的数据表和散点 图（如图所示），根据散点图，发现 y 与 x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养
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性别
入围人数
未入围人数
总计
男生
24
女生
80
总计
（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取 11 名学生，然后再从这 11 名学生中抽
取 3 名参加某期《最强大脑》，设抽到的 3 名学生中女生的人数为 X，求 X 的分布列及数学
期望.
附：
K
2
=
(a
+
n(ad − bc)2 b)(c+d)(a +c)
(b
+
d
)
，其中
n
=
a
+
b
+
c
+
d
.
( ) P K 2 k0 0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、 蓝、紫的小球各 2 个，分别对应 1 分、2 分、3 分、4 分、5 分、6 分.从袋中任取 3 个小球， 按 3 个小球中最大得分的 8 倍计分，计分在 20 分到 35 分之间即为中奖.每个小球被取出的
由 K 2 7.245 ，结合临界值表，即可直接得出结果.
4.已知随机变量 X N (2,1) ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形 OABC 中随机投
掷 1 点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）
( ) 附：若随机变量 N , 2 ，则 P ( − + ) = 0.6826 ，
i =1
18.设函数 f ( x) = x − a + x − 4 (a 0) ．
（1）当 a = 1时，求不等式 f ( x) x 的解集；
（2）若 f ( x) 4 −1恒成立，求 a 的取值范围．
a
19.从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红
111
当个位数字是 5 时，共有 A41 A43 = 96 种情况； 因此，由 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成没有重复数字且能被 5 整除的 5 位数的个 数是120 + 96 = 216 个. 故选 C
论是（ ）
P（K 2 k0） 0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、 C. 在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
26
34
38
由表中数据得回归直线方程
y
=
b
x
+
a
中
b
=
−2
，据此预测当气温为
5℃时，用电量的度数
约为____.
14.袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只
球，则这 2 只球颜色不同的概率为
．
15.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次 投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3， 4 表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结 果.经随机模拟产生了 20 组随机数：
−1
C50
(1)5 x
−
2C51
(
1 x
)4
+ 4C52
( 1 )3 x
−
8C53
(
1 x
)2
+ 16C54
1 x
−
32
故展开式的常数项为 −8C53 + 32 = −48 ，故选：D。
7.【详解】
( ) S = C127 + C227 + C327 + L
+
C27 27
=
227
−1 = 89
[155,165)
[165,175)
[175,185) 185 以上
得分
16
17
18
19
20
年级组为了了解学生的体质，随机抽取了 100 名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下 样本频率直方图：
（1）现从这 100 名学生中，任意抽取 2 人，求两人得分之和小于 35 分的概率（结果用最简 分数表示）； （2）若该校高二年级 2000 名学生，所有学生的一分钟跳绳个数 X 近似服从正态分布
2
3
标的概率是 1 ，现在三人同时射击目标一次，则目标被击中的概率为（ ） 4
A． 3
B. 2
C． 4
4
3
5
二、填空题（共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分）
D． 7 10
13.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气
温.
气温（℃）
14
12
8
6
用电量（度） 22
9
( xi − x)( yi − y) = 12 ）；
i =1
附：对于一组数据 (u1, v1 ) ,(u2 , v2 ), , (un , vn ) ，其回归直线 v = u + 的斜率和截距的最
n
(ui − u)(vi − v)
小二乘估计分别为 ˆ = i=1 n
，ˆ = v − ˆu .
(ui − u)2
可能性都相等，用 表示取出的 3 个小球中最大得分，求：
（1）取出的 3 个小球颜色互不相同的概率；
（2）随机变量 的概率分布和数学期望；
（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.
22.为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳 比赛，计分规则如下：
每分钟跳绳个 数
[145,155)
殖场的个数 z（单位：个）关于 x 的回归方程 z = −2x + 30 .
年份序号 x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
年养殖山羊 y/万只
1.2
1.5
1.6
1.6
1.8
2.5
25
2.6 2.7
9
根据表中的数据和所给统计量，求 y 关于 x 的线性回归方程（参考统计量： ( xi − x)2 = 60 ， i =1
3.【详解】由 K 2 7.245 6.635 ，可得有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 故选 B
4.【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
P(0
X
1)
=
1 2
P(
− 2
X
+ 2
)−
P(
−
X
+
)
=
0.1359 ，
故所求的概率为 P = 1− 0.1359 = 0.93205 .故选 D. 2
B. 400
C. 300
D. 200
11.
如图，用 5 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，
则不同的涂法共有( )
A. 200 种
B. 160 种
C. 240 种
ห้องสมุดไป่ตู้
D. 180 种
12.甲射击一次命中目标的概率是 1 ，乙射击一次命中目标的概率是 1 ，丙射击一次命中目
P ( − 2 + 2 ) = 0.9544 .
A. 0.1359
B. 0.7282
C. 0.8641
D.
0.93205
5.某射击选手每次射击击中目标的概率是 0.8，这名选手在 10 次射击中，恰有 8 次击中目
标的概率为
A. C180 0.88 0.22
B. 0.88 0.22
C. C120 0.28 0.82
−1 =
9 −1 9 −1 = 99 C90 − 98 C19 + L
+ 9C89 − 2
，所以除以 9 的余数为 7．选 D.
8.【详解】因为由 0，1，2，3，4，5 组成的没有重复数字且能被 5 整除的 5 位数，个位数 字只能是 0 或 5，万位不能是 0；
当个位数字是 0 时，共有 A54 = 120 种可能；