2005年普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学文(一)(附答案)

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷
数 学 文史类(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率n P (k )=k
k
n P C (p —1)
k
n -
正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥则=
2
1cl ，其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长
球的表面积公式S =4πR 2，其中R 表示球的半径 球的体积公式V =33
4R π，其中R 表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合P ={02x 3x |x 2>+-}，Q ={0a x |x <-}如Q ⊆P ，则实数a 的取值范围是 A.(-∞，2] B.(-∞，1] C.(1，2] D.(2，+∞)
2.若B A ⌝⇔⌝，B C ⌝⇒⌝，则A 为C 的
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充也不必要条件 3.将函数y =sin (6
x π+
)(∈x R)的图象上所有的点向左平行移动4π
个单位长度，再把图像上
各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为 A.sin y =(12
52π
+x )(∈x R) B.sin y =(12
52x π+)(∈x R) C.sin y =(
12
2x π-)(∈x R)
D.sin y =(
24
52x π+)(∈x R) 4.如果M =(1-x)5-5(1-x)4+10(1-x)3-10(1-x)2+5(1-x)-1，那么M 等于 A.(x-2)5 B.(2-x)5 C.-x 5 D.x 5
5.对于一组数据i x (i =1，2，…，n)如果将它们改变为c x i -(i =1，2，…，n)，其中c 为不等于0的常数，则下面结论中正确的是
A.平均数与方差都不变
B.平均数变了而方差不变
C.平均数不变，方差变了
D.平均数与方差都变了
6.已知函数f(x)在R 上是增函数，A(0，-1)、B(3，1)是其图象上两点，那么|f(x+1)|<1的解集的补集为
A.(-1，2)
B.(1，4)
C.(-∞，-1]∪[4，+∞)
D.(-∞，-1]∪[2，+∞) 7.等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角，则BD 与平面ABC 所成角的正切值为 A.2 B.
22 C.1 D.3
3
8.ω是正实数，函数f(x)x sin 2ω在[-4
,3π
π]上递增，那么 A.0<ω≤
23 B.0<ω≤2 C.0<ω≤7
24
D.ω≥2 9.等差数列{a n }的首项a 1>0，前n 项的和S n ，若S m =S k (m ，k ∈N *
，且m ≠k)，则S n 取最大值
时 A.2
k
m n +=
B.m+k 为偶数，2
k m n +=；m+k 为奇数，21
k m n -+=
C.2
1
k m n -+=
D.m+k 为偶数，2
k m n +=
；m+k 为奇数，21
k m n ±+=
10.设a 、b 为两个非零向量，且a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则以下命题中与b a ⊥等价的个数
有
①a ·b =0 ②x 1x 2+y 1y 2 ③|a+b|=|a-b| ④a 2+b 2=(a-b)2
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 11.已知-1<a+b<3，且2<a-b<4，则2a+3b 的范围是 A.(213-
，2
17) B.(27-
，2
11
) C.(27-
，2
13
) D.(
29，2
13
) 12.设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆
2
2a x +
2
2b y =1(a>b>0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与
椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率为 A.23 B.36 C.22 D.3
2
普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷
数 学 文史类(一)
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题
中横线上)
13.若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_______. 14.已知函数y =f(x)的反函数f -1
(x)=8log sin
π(8
cos x 2π
-)，则f(x)=1方程的解是______. 15.对于实数x 、y ，定义新运算x*y =ax+by+1，其中以a 、b 是常数，等式右边是通常的加法
和乘法运算，若3*5=15，4*7=28，则1*1=_______.
16.设α、β表示平面，l 表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实：
①l ⊥α，②l ∥β③a ⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是____________.(要求写出所有真命题)
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知10件产品中有2件是次品.(1)任意取出4件产品作检验，求其中恰有1件是次品的概率.(2)为了保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取几件产品作检验？
18.(本小题满分12分)
三个互不相同的实数是等比数列{a n }中连续三项，又依次为某一等差数列中的第2项，第9项和第44项，这三个数的和为217. (1)求这三个数；
(2)记s n 为等比数列{a n }的前n 项和，且5156
a S 562n <<，求n 的值.
19.(本小题满分12分)
如图，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD =2，DD 1=AB =1，P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，点P 到直线AD 1的距离为
4
66
. (1)求证：AC ∥平面BPQ ；
(2)求二面角B-PQ-D 的大小.
20.(本小题满分12分)
设某物体从午夜0:00开始，一天中的温度T 是时间t 的函数，已知T(t)=at 3+bt 2
+ct+d(a ≠0)，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，t =0表示12:00，取正值表示12:00以后，若测得该物体在8:00的温度为8℃，12:00的温度为60℃，13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度在8:00与16:00有相同的变化率.
(1)写出该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；
(2)该物体在10:00到14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=1
mx n x 2x 3log 2
22
+++(m ，∈n R).
(1)若m ∈N *，x ∈R ，且f(x)的值域为[1，2]，求m ，n 的值；
(2)若n =-1，且f(x)的值域R ，求m 的取值范围.
22.(本小题满分14分)
已知点P(-3，0)，点R 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线RQ 上，且RM PR ∙=0，
2
3
-=，
(1)当R 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；
(2)若曲线C 的准线交x 轴于点N ，过N 的直线交曲线C 于A 、B 两点，又AB 的中垂线交x 轴于点E ，求点E 的横坐标x 0的取值范围；
(3)试问(2)中所给的△ABE 能否为正三角形？若能，求出的x 0值；若不能，说明理由.
参 考 答 案
仿真试题(一)
一、选择题 1.B
2.A A ⇔B ，B ⇒C ，∴A ⇒C.
3.B
4.C
5.B
6.D ∵|f(x+1)|≥1时，x+1≤0或x+1≥3， ∴x ≤-1或x ≥2.
7.B 过D 作DH ⊥AC 于H ，则∠DBH 即为所求，tanDBH =
2
2
BD DH =. 8.A
4ω24T π=
≥3π，∴0＜ω≤2
3
. 9.D S n =f(n)是关于n 的二次函数，又S m =S k ， ∴f(n)应关于直线n =2
k
m +对称. 10.D
11.D ∵2a+3b =
25(a+b)-2
1
(a-b)， ∴2
13
3b ＜2a ＜29+-或运用线性规划方法.
12.B ∵︒
+︒=
︒+︒+==︒=︒cos15sin15a
2sin7515sin |PF ||PF |1c 2sin75|PF |sin15|PF |2121，∴3660
s i n 21
e 2a 2c =︒==. 二、填空题
13.60°
14.x =2 只要将x =1代入f -1
(x)即可. 15.-11 111b a 1*125
b 37
a 2817
b 4a 1515b 3a -=++=⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧=++=++.
16.①②⇒③，①③⇒②. 三、解答题
17.解：(1)158
=C C C 4101238. 5分
(2)设抽取n 件产品作检验，则0.6＞C C C n
10
2
2
2-n 8， 8分
()()()！
n -10 ！n ！
10·
53＞！n 10 ！2-n ！8，得n(n-1)＞54. ∴n ≥8，即至少应抽取8件产品才能满足题意. 12分 18.解：(1)设这三个数为a+d ，a+8d ，a+43d(d ≠0)，则a+d+(a+8d)+(a+43d)=217， 即3a+52d =217. 2分
又(a+8d)2
=(a+d)(a+43d)，
即3d 2
=4ad ，∵d ≠0，∴3d =4a. 4分 由①②得a =3，d =4，∴所求三数为7，35，175. 6分
(2)由(1)知等比数列的公比为5，故S n =()1515a n 1--，于是由5156
＜a S ＜562n ，得
5
156
＜5415＜56n ⨯-. 10分 ∴52
＜5n
＜54
.由于n 为整数，∴n =3. 12分 19.(1)连结CD 1，
∵P 、Q 分别是CC 1、CD 1的中点. ∴CD 1∥PQ.
故CD 1∥平面BPQ.
又D 1Q =AB =1，D 1Q ∥AB ，
得平行四边形ABQD 1.故AD 1∥平面BPQ. ∴平面ACD 1∥平面BPQ.
∴AC ∥平面BPQ. 4分 (2)设DD 1中点为E ，连PE ，则PE ∥CD ， ∵CD ⊥AD ，CD ⊥DD 1，∴CD ⊥平面ADD 1. ∴PE ⊥平面ADD 1.
过E 作EF ⊥AD 1于F ，连PF ，则PF ⊥AD 1，PF 为点P 至直线AD 1的距离. 6分 PF =
466，PE =2，∴EF =4
2. 又D 1E =
2
1
，D 1D =1，∴AD =1. 8分 取CD 中点G ，连BG ，
由AB ∥DG ，AB =DG ，得GB ∥AD.
∵AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，∴AD ⊥平面DCC 1D 1，则BG ⊥平面DCC 1D 1. 过G 作GH ⊥PQ 于H ，连BH ，则BH ⊥PQ ，
故∠BHG 是二面角B-PQ-D 的平面角. 10分 由△GHQ ∽△QC 1P ，得GH =
5
2
.又BG =1，得tanBHG =25.
∴二面角为B-PQ-D 大小为arctan
2
5
. 12分
20.解：(1)T ′=3at 2
+2bt+c ，而T ′(4)=T ′(-4)，
故48a+8b+c =48a-8b+c ， 2分 又由条件可得
()()()⎪⎩⎪⎨
⎧====⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+-=++=+++==+-+-===60.d -3c 0b 4-T 60d ，，，1a c b 8a 48c b 8a 4858
d c b a 1T 8d c 4b 16a 640T 4分 ∴T(t)=t 3
-3t+60，(-12≤t ≤12). 6分
(2)T ′(t)=3t 2-3=3(t 2
-1)，
当t ∈[-2，-1)∪(1，2]时，T ′(t)＞0； 9分 当t ∈(-1，1)时，T ′(t)＜0.
∴t ∈(-2，-1)和t ∈(1，2)时，T(t)为增函数； t ∈(-1，1)时，T(t)为减函数. 又T(2)=T(-1)=64，
说明在上午10：00与下午14：00这段时间内，该物体温度最高，最高温度是62℃.
12分
21.解：(1)设1
mx n x 23x y 2
2+++=，由已知得2≤y ≤4，myx 2+y =3x 2
+2x+n ，即(3-my)x 2
+2x+n-y =0，
Δ4-4(n-y)(3-my)≥0，
即my 2
-(3+mn)y+3n-1≤0.
∵2≤y ≤4，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+8m
1n 36
m mn 3解得m =1，n =3. 5分
(2)①m =0时，f(x)∈R. 6分
②m ≠0时，要使f(x)∈R ，只需1m x n
x 23x 22+++值域包含(0，+∞).
设1
mx 1x 2x 3y 2
2+-+=，即(3-my)x 2
+2x-1-y =0. -Δ=my 2
-(3-m)y-4≤0. 9分 要使值域包含(0，+∞)，只需m ＜0时， 0m 4
y m m 3y 2
=---
，有两个负根或⎩⎨⎧=0，
Δ0，m ＜
即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
≥∆0＞m
4-0，＜m
m
-30，或⇒⎩⎨⎧，0＜Δ，0m ＜
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥+- m 3m 0 0＜，＜，m 16
)m m 3(2或⎪⎩⎪⎨⎧+.
m 0m m -30＜，＜m 16)(2 ∴m ≤-9或-1≤m ＜0或-9＜m ＜-1. 11分 综上所述m ≤0. 12分 22.解：(1)设点M 的坐标为(x ，y)，
则由MQ 23RM -
=得，R(0，2
y -). 又由0·=，得(3，2
y
-)·(x ，23y )=0，
即y 2
=4x. 4分
(2)由(1)知点N(-1，0)，设AB ：y =k(x+1).
由()⎩⎨⎧+==，
1x k y x ，4y 2得k 2x 2+2(k 2-2)x+k 2
=0.
由Δ＞0得0≠k 2
＜1. 6分
又AB 的中点(2
2k k -2，k
2
)， AB 的中垂线方程为)k
k 2x (k 1k 2y 2
2
---=-， 8分 令y =0得3＞1k
2
x 20+=
，所以x 0＞3. 10分 (3)若△ABE 为正三角形， 则E 到AB 的距离等于
|AB |2
3
， 2
3±
=k ⇒k k -14•k +123=|k |k +12222
2. 12分 此时3
11
x 0=. 14分。