2.1等式性质与不等式性质教学设计(两个课时)-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

课时教学设计
课题 2.1等式性质与不等式性质
授课时间：年月日课型：新授课课时：一课时
1.教学目标
知识与技能：能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；
过程与方法：通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；
情感态度与价值观：培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，提高学生数学运算和逻辑推理能力。

2.学习重点难点
教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；
教学难点：在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；
3.教学准备
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

4.学习活动设计
环节一：情景引入，温故知新
（一）情境导学
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速40km/ℎ;
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/ℎ,“限速40km/ℎ”就是v的大小不能超过40，于是0<v≤40；
对于（2），有题意得{f≥2.5%
p≥2.3%.
对于（3）设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a−b<c（你能写出其他可能情况吗？）以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式。

接着，就可以用不等式研究相应的问题了。

问题2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以销出8万本。

根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为(8−x−2.5
0.1
×0.2)x万元，于是不等关系“销
售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为(8−x−2.5
0.1
×0.2)≥20 （*）
求出不等式（*）的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围。

如何解不等式（*）呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质，为此，我们需要先研究不等式的性质。

实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质。

那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实:如果a−b是正数，那么a>b;如果a−b等于0，那么a=b；如果a−b是负数，那么a<b。

这个基本事实可以表示为;;;;;;a>b⇔a−b>0;
a=b⇔a−b=0;
a<b⇔a−b<0
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。

作差比较法是证明不等式的重要方法，它将比较实数的大小转化为判断差的符号。

（二）典型例题
例1：比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小
解：∵(x+2)(x+3)−(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)−(x2+5x+4)=2>0;
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4);
;这里我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式），这是解决不等式问题的常用方法。

巩固训练1：已知x＜y＜0，比较(x2+y2)(x－y)与(x2−y2)(x+y)的大小.
解：∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
∴(x2+y2)(x－y)－(x2−y2)(x+y)＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2+y2)(x－y)＞(x2−y2)(x+y)．
比较两个实数(或代数式)大小的步骤：
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
教师活动：
通过对问题1中4个问题的引入，让学生思考并从实际问题中抽象找出其中的不等关系，教师进行补充说明；通过对数轴上的点的比较大小，引导学生得出一个基本事实，作差比较法是证明不等式的重要方法，它将比较实数的大小转化为判断差的符号，总结解题思路；通过例1和巩固训练1的解题思路的分析让学生知道如何用作差比较法比较两个式子的大小；学生活动：
通过对问题1的独立思考，组内交流，并让一个组内的代表总结出组内结果并进行汇报，各组之间进行对比；通过让学生观察数轴上点的大小关系，加上引导得出一个基本事实，即作差比较法的基本思路的具体实施步骤；通过例1和巩固训练1让学生思考如何把作差比较法应用到本题当中，如何写出解答过程，通过与老师的讲解作对比分析自身的问题，并努力克服，通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系；
活动意图
通过生活中熟悉的情景，问题1和问题2引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系，培养学生数学建模的核心素养；通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力；例1和复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；通过巩固训练1练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。

环节二：
巩固练习：
1.用不等式或不等式组表示下列不等关系：p39 1.（详情看课本）
2.比较(x+7)(x+3)和(x+6)(x+4)的大小；
3.已知a>b,证明a>a+b
2>b;
4.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20;000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是() A.5x+4y<200;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;D.5x+4y≤200
5.若A=1
x2+3与B=1
x
+2,则A与B的大小关系是()
A.A>B;;;;;;
B.A<B;;;;
C.A≥B;;;;;;;
D.不确定
6.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56;000单位的维生素A和63;000;单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.
食物甲乙维生素A/（单位/kg）600700维生素B/（单位/kg）800400
7.比较x2+y2+1与2(x+y－1)的大小；
8.设a∈R且a≠0，比较a与1
a
的大小．
教师活动
通过对上述8道题目的审题思路和解答过程书写的训练，让学生巩固本节课所学习的知识点，等式性质与不等关系。

学生活动
通过让学生思考解答上述8道题目，让学生自主思考的过程中让学生找出学生在审题过程中中的瓶颈，并且注意观察老师的审题思路和书写解答过程，通过对比的方式找出学生自己的易错点；尤其是遇到一些实际问题时如何把文字语言转化成符号语言，进而利用所学习的数学知识解答出相关问题的答案。

活动意图说明
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识;学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。

注意总结自己在学习中的易错点.
5.作业设计
1. 习题
2.1 1,2,3,4题
2. 预习下节课内容
6.板书设计
2.1等式性质与不等关系
问题1：（1）（2）（3）（4）问题2：
基本事实：例1：巩固训练1：
作差比较法步骤：
巩固练习：1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8.
7.教学反思与改进优点：
不足：
改进措施：
课时教学设计
课题 2.1等式性质与不等式性质（2）
授课时间：年月日课型：新授课课时：一课时
1.教学目标
知识与技能：能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；
过程与方法：通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；
情感态度与价值观：培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，提高学生数学运算和逻辑推理能力。

2.学习重点难点
教学重点：掌握不等式性质及其应用；
教学难点：不等式性质的应用；
3.教学准备
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

4.学习活动设计
环节一：
（一）情景引入
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.
（二）预习课本，引入新课
阅读课本37-42页，思考并完成以下问题
1.不等式的基本性质是？
2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？
3.重要不等式是？
4.等式的基本性质？
5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？
（1）两个实数比较大小的方法
作差法{a−b>0⟺a>b
a−b=0⟺a=b
a−b<0⟺a<b
作商法
{
a
b
>1⟺a>b
a
b
=1⟺a=b
a
b
<1⟺a<b
不等式的基本性质
（2）你能回忆起等式的基本性质吗？性质1;;若a=b;,则;b=a;
性质2;;若a=b,b=c,;则a=c;
性质3;;若a=b,;则a±c=b±c;
性质4;;若a=b,;则ac=bc;
性质5;;若a=b,c≠0 ;,则a
c =b
c
;;
类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？（3）不等式的性质
类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：
性质1：如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么a>b；
性质2：如果a>b,b>c,那么a>c，即a>b,b>c⇒a>c 我们来证明性质2：
由两个实数大小关系的基本事实知
a>b⇒a−b>0b>c⇒b−c>0
}⇒(a −b )+(b −c )>0
类比等式的性质3-5，可以猜想不等式的如下性质： 性质3：如果a >b ,那么a +c >b +c
性质4：如果a >b,c >0,那么ac >bc ；如果a >b,c <0,那么ac <bc
这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向； 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质。

例如，利用性质2,3可以推出：
性质5：如果a >b,c >d ,那么a +c >b +d
事实上，由a >b 和性质3，得a +c >b +d ；由c >d,和性质3，得a +c >b +d ；再根据性质2得a +c >b +d ；
利用性质2和性质4可以推出：
性质6：如果a >b >0,c >d >0,那么ac >bd ； 性质7：如果a >b >0,那么a n >b n (n ∈N,n ≥2)
实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据。

例1： 判断下列命题是否正确: （1）a >b,c >b ⇒a >c ( )；（2）a >b,⇒ac 2>bc 2( )； （3）a >b,c >d ⇒ac >bd ( )；（4）a 2
c >b 2
c
,⇒a >b ( )；
（5）a >b,⇒a 2>b 2( )；（6）a >|b |,⇒a 2>b 2( )；
（7）a >b >0,c >d >0⇒a c
>b
d
( )；
跟踪训练1：
1、用不等号“>”或“<”填空：
（1）如果a >b ，c <d ，那么a −c ______ b −d ； （2）如果a >b >0，c <d <0，那么ac______bd ；
（3）如果a >b >0，那么1a 2 ______1
b 2 （4）如果a >b >
c >0，那么c
a _______ c
b ；
例2：已知a >b >0,c >0,求c a >c
b ；
证明：因为a >b >0，所以ab >0，1
ab >0，于是a ∙1ab >b ∙1ab ,即1b >1a .由c >0，得c a >c
b . 跟踪训练2：已知a >b ，证明a >a+b 2
>b ；
证明：a −
a+b 2
=
2a−(a+b )2
=
a−b 2
>0；
a+b 2
−b =
a+b−2b 2
=
a−b
2
>0 所以a >
a+b 2
>b .
教师活动：
通过情景导入让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察、研探；通过预习课本引导学生回答5个问题；由不等式的性质类比推出不等式的性质，通过例题1和跟踪训练1巩固不等式性质及应用；通过例2和跟踪训练2主要是讲解不等式的证明技巧和审题思路。

学生活动：
通过情景导入让学生自由发言，引导学生进一步观察、研探；通过让学生阅读课本，对课本上的内容有进一步的认识和思考，并要求学生回答5个问题，要求学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题；通过复习的等式的基本性质让学生类比出不等式的基本性质，通过例1和跟踪训练1的思考和解答，让学生找出自身存在的问题；通过让学生对例2和跟踪训练2思考和解答，在审题和讲解过程中让学生找出自身问题所在，巩固学习的知识点。

通过生活中熟悉的情景，问题1和问题2引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系，培养学生数学建模的核心素养；通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力；例1和复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；通过巩固训练1练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度；通过例2和跟踪训练2不等式证明过程的讲解，意在让学生理解审题过程，跟着老师学习写解答过程，在教育教学中培养学生的逻辑思维能力。

环节二：
巩固练习：
1．已知a<b<0，c<d<0，那么下列判断中正确的是( )
A.a－c<b－d
B.ac>bd
C.a
d <b
c
D.ad>bc
2．若a、b、c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是( ) A.a+b≥b－c B．ac≥bc
C.c 2
a−b
>0 D．(a－b)c2≥0
3.已知a>b,证明a>a+b
2>b;
4.给出下列结论：
①若ac>bc，则a>b；
②若a<b，则ac2>bc2；
③若1
a <1
b
<0，则a>b；
④若a>b,c>d，则a−c>b−d；
⑤若a>b,c>d，则ac>bd；
其中正确结论的序号是____________
4.已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范围：
①2a+b；②a−b；③a
b
；
教师活动
通过对上述5道题目的审题思路和解答过程书写的训练，让学生巩固本节课所学习的知识点，等式性质及应用，不等式的证明。

学生活动
通过让学生思考解答上述5道题目，让学生自主思考的过程中让学生找出学生在审题过程中中的瓶颈，并且注意观察老师的审题思路和书写解答过程，通过对比的方式找出学生自己的易错点；尤其是遇到一些实际问题时如何把文字语言转化成符号语言，进而利用所学习的数学知识解答出相关问题的答案。

活动意图说明
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识;学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。

注意总结自己在学习中的易错点.
1.;习题
2.1;;;;5,6,7,9,10题
2.;预习下节课内容
6.板书设计
2.1等式性质与不等关系
问题1：（1）（2）（3）（4）（5）
等式的性质：不等式的性质：
不等式的性质：性质1：性质2：性质3：性质4：性质5：性质6：性质7：例1：巩固训练1：
巩固练习：1. 2. 3. 4. 5.
7.教学反思与改进
优点：
不足：。