浙江温州中学高三数学第一学期期中考试 文 新人教A版【会员独享】

温州中学2010学年第一学期期中考试高三数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请将答案填入答题纸的相应位置，否则不给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 1．设集合U 是全集，若已给的Venn 图表示了集合A, B, U 之间 的关系，则阴影部分表示的集合是 （ ）
A ．()U C A
B B ．A B
C ．()U C A
B
D ．U C A
2．若集合}"4{""2"},4,2{},,3{2
====B A a B a A 是则的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知向量b a m m b a //),1,1(),2,1(若-+=-=，则实数m 的值为（ ） A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
4．下列直线方程中，与圆1)1()3(2
2
=-+-y x 相切的是（ ） A .0=-y x B.0=+y x C.0y = D.0=x
5.设βα、 是两个不重合的平面，m l ,为不重合的直线，则下列命题正确的（ ） A.若βαβα//,//,//m l ，则m l // B. 若，βαβα⊥⊥⊥m l ,,，则m l ⊥ C. 若βαβα////,//,//l l m m 则 D.若βαβα////,l ,则l m m ⊂⊂ 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若角sin ,
3sin 2a
A
C b C
π>
=
，则关于△ABC 的两个判断“①
一定锐角三角形 ②一定是等腰三角形”中（ ）
A ．①错误②正确
B ．①正确②错误
C ．①②都正确
D ．①②都错误
7．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，)(957a a S +=，则
=7
4
a a （ ） A .
31 B.72 C.2
1
D.1 8．将奇数1，3，5，7…排成五列（如右表），
按此表的排列规律，99所在的位置是 A ．第一列
B ．第二列
C ．第三列
D ．第四列
9．设曲线1(*)n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为
n x ，则
201012010220102009log log ......log x x x +++的值为（ ）
A ．2010log 2009-
B ．1-
C ．()2010log 20091-(
D ．1
10．对于实数x ，][x 称为取整函数或高斯函数，亦即][x 是不超过x 的最大整数。

例如：2]3.2[=。

在直角坐标平面内，若),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ，则 2
2y x +的范围是（ ）
A.]20,10[
B.)20,10[
C.)20,10[)5,1(⋃
D.)20,10[)5,1[⋃
二、填空题:（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填入答题纸的相应位置，否则不给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 11．=︒︒-︒︒55cos 205cos 55sin 65cos 12．不等式0)22ln(2
>--x x 的解集为 13．若某多面体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此多面体的体
积是
14．已知F 1，F 2是椭圆
221169
y x +=的两焦点，过点F 2的直线交椭圆
于A ，B 两点，在B AF 1∆ 中，若有两边之和是10，则第三边的
长度为
．
15．已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有
)()2(x f x f -=+，且当[)2,0∈x 时， 2()log (1)f x x =+，(2010)(2009)f f --的值为 ． 16．在直角坐标平面中，已知点)1,0(P ，)3,2(Q ，对平面上任意一点0B ，记1B 为0B 关于P 的对称点，2
B 为1B 关于Q 的对称点，3B 为2B 关于P 的对称点，4B 为3B 关于Q 的对称点，…，i B 为1-i B 关于P 的对称点，1+i B 为i B 关于Q 的对称点，2+i B 为1+i B 关于P 的对称点),1(N i i ∈≥…。

则100B B ＝
17．已知抛物线)0(22
>=p px y 与双曲线22221(0,0)y x a b a b
->>=有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，
且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为
温州中学2010学年第一学期期中考试
高三数学答题卷（文科）
一、选择题（每小题有且只有一个答案是正确的，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题：（本大题共7道小题，每小题4分，共28分）
俯视图
侧视图
正视图
1
11
2
…………………………
11________________ 12______________ 13________________ 14.______________ 15________________ 16_________________ 17________________
三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

请将答案填入答题纸．．．．．．．．．
的相应位置，否则不给分．．．．．．．．．．．
） 18．(本题满分14分)已知()cos223sin cos f x x x x =+． (1)求函数f(x)的最大值M ，最小正周期T ．
(2)若()8
5
f α=，求cos2α的值．
19．（本小题满分14分）已知数列.4,3,,}{422S S a n S a n n ==且项和为其前为等差数列 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证数列}2{n
a 是等比数列； （3）求使得n S S n n 的成立的22>+的集合。

20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AC ＝3．
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥平面ACE ；若存在，
求出
PE 的长；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分15分）
已知函数13)(3
-+=ax x x f ，R a ∈．
（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在1=x 处的切线与直线66+=x y 平行，求实数a 的值；
（Ⅱ）设函数6)()(-'=x f x g ，对任意的11<<-x ，都有0)(<x g 成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0≤a 时，请问：是否存在整数a 的值，使方程15)(=x f 有且只有一个实根？若存在，求出整
数a 的值；否则，请说明理由．
22．（本小题满分15分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 经过点（0，1），离心率.23=e （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设直线1+=my x 与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A’．试问：当m 变化时直线
B A '与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

数学试题（文科）
数学试题卷（文科）答题卷
一、选择题（每小题有且只有一个答案是正确的，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
A
B
C
B
C
B
C
B
C
二、填空题：（本大题共7道小题，每小题4分，共28分） 11_________
23__ 2__}13{-<>x x x 或____________ 13___33
2cm _____________ 14.______6________ 15_____-1___________ 16_（20，20）____________
17___1`
2+_____________ 三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

请将答案填入答题纸．．．．．．．．．
的相应位置，否则不给分．．．．．．．．．．．
） 18．(本题满分14分)已知()cos223sin cos f x x x x =+． (1)求函数f(x)的最大值M ，最小正周期T ．
(2)若()8
5
f α=，求cos2α的值．
18、（1）()cos23sin 2f x x x =+
2sin 2(2cos 2632,7x x M T πππ⎛⎫⎛
⎫=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭'
==或…… （2）()843sin 2,cos 256565f ππααα⎛⎫⎛
⎫'=+=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭得 (3)
cos 2cos 266cos 2cos sin 2sin 6666433
410
ππααππππαα⎡⎤
⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎣⎦⎛⎫
⎛⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭±'=
……
19．（本小题满分14分）已知数列.4,3,,}{422S S a n S a n n ==且项和为其前为等差数列 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证数列}2{n a
是等比数列；
（3）求使得n S S n n 的成立的22>+的集合。

19．解：（1）设数列d a a n 公差为的首项为,}{1由题意得：⎩⎨
⎧+=+⨯=+d
a d a d a 64)2(43
111
解得：122
,11-=∴==n a d a n
（2）依题42
22232121==---n n a a n n ， }2{n a
数列∴为首项为2，公比为4的等比数列
（3）由2
1,12,2,1n S n a d a n n =-===得
}
4,3,2,1{:4
,3,2,18)2(2)2(22222的集合为故n n n n n S S n n =∴<-⇒>+⇒>∴+
20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AC ＝3．
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由． 证明：（I ）,PA CD.PA ABCD ⊥⊥平面所以 ………………
1分
在,2,1,3ACD AD CD AC ∆===中，
所以2
2
2
AC CD AD += 故,ACD Rt AC CD ∆∆⊥是且 又PA
AC A =
所以CD ⊥平面PAC 。

（II ）答：在PD 上存在一点E ，使得NM//平面ACE 。

证明：取PD 中点E ，连结NE ，EC ，AE ， 因为N ，E 分别为PA ，PD 中点，
所以1
//
.2
NE AD 又在平行四边形ABCD 中，1
//
.2
CM AD 所以//,NE MC 即MCEN 是平行四边形。

所以NM//EC 。

又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN//平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得NM//平面ACE ，
此时1
2.2
PE PD =
= 21．（本小题满分15分）
已知函数13)(3
-+=ax x x f ，R a ∈．
（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在1=x 处的切线与直线66+=x y 平行，求实数a 的值；
（Ⅱ）设函数6)()(-'=x f x g ，对任意的11<<-x ，都有0)(<x g 成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0≤a 时，请问：是否存在整数a 的值，使方程15)(=x f 有且只有一个实根？若存在，求出整
数a 的值；否则，请说明理由．
21．解：（Ⅰ）a x x f 33)('2
+=
∴'(1)33=6f a =+ ∴=1a （Ⅱ）
2()336g x x a =+-
∴2
()336<0g x x a =+-在（-1,1）上恒成立．
∴2<2a x -+在（-1,1）上恒成立． 而22>1x -+在（-1, 1）上恒成立． ∴1a ≤ （Ⅲ）存在
理由如下：
方程15)(=x f 有且只有一个实根，
即为函数)(x f y =的图象与直线15=y 有且只有一个公共点．
由2
'()33f x x a =+
（1）若0=a ,则0)('≥x f ,)(x f ∴在实数集R 上单调递增 此时,函数)(x f y =的图象与直线15=y 有且只有一个公共点． （2）若0<a ，则))((3)('a x a x x f ---+= 列表如下：
x
(-,--)a ∞ --a [来源: ] (--,-)a a
-a
(-,)a +∞
'()f x + 0 - 0 + ()f x
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴(()15)(()15)>0f x f x -⋅-极小值极大值，得：33
[()8][()8]<0a a ---+ ∴3
0<()<8a -，解得4<<0a -
综上所述，4<0a -≤ 又Z a ∈，即 a 为-3、-2、-1、0
22．（本小题满分15分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 经过点（0，1），离心率.23=e （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设直线1+=my x 与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A’．试问：当m 变化时直线
B A '与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

22．解：（I ）依题意可得⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧+===,,23,1222c b a a
c b
解得.1,2==b a
所以椭圆C 的方程是.14
22
=+y x
（II ）由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+,1,14
2
2my x y x 得,44)1(22=++y my 即.032)4(2
2=-++my y m 且△>0恒成立．
记),(),,(2211y x B y x A ，则11'(,),A x y -
12122
223,.44
m y y y y m m +=-=-++且
∴',A B 的直线方程为21
1121
().y y y y x x x x ++=
-- 令y=0，得21
11
21x x x y x y y -=
++
又2121=()x x m y y --，11=1x my + ∴2121121
111212121
()2=1=1x x m y y y my y x y x my y y y y y y --=
+++++++
2
2
32()
41=31=424
m m x m m -
+=
++-+ 这说明，当m 变化时，直线B A '与x 轴交于点S （4，0）。