最新-2018高三数学 5-5第五讲解三角形及应用举例教师讲义手册课件全国版 文 新人教A版 精品

【例2】 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A ＋B)，试判断三角形的形状．
[分析] 利用正、余弦定理进行边角互化，转化为边 边关系或角角关系．
[解答] 方法一： 由 已 知 (a2 ＋ b2)sin(A － B) ＝ (a2 － b2)·sin(A ＋ B) ， 得 a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)] ∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA. 由正弦定理得 sin2AcosAsinB ＝ sin2BcosBsinA. 即 sin2A·sinAsinB ＝
4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途 径．
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理进 行边、角转换．
要注意由正弦定理
求B时，应对解的个数进行
讨论；已知a,b,A,求c时,除用正弦定理
外，也可
用余弦定理a2＝b2＋c2－2abcosA 求解．
sinA＝sin(180°－45°－C) 由正弦定理知
(2009·全国Ⅰ，17)在△ABC中，内角A、B、C的对边 长 分 别 为 a 、 b 、 c. 已 知 a2 － c2 ＝ 2b ， 且 sinAcosC ＝ 3cosAsinC，求b.
●基础知识
一、正弦定理
1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的
正弦的比相等，即
.(R为外接圆半
径)
2．正弦定理的三种变化 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(3)a b c＝sinA sinB sinC.
二、余弦定理 1．余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 即：a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝ a2＋c2－2accosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC ；
[误区分析] 在解答过程中易出现由sin2A＝sin2B只 得出2A＝2B，而漏掉2A＝π－2B的情况，导致此种错误的 原因是，没有熟练掌握三角函数的定义及诱导公式．
[拓展提升] 确定三角形的形状主要有两条途径：(1) 化边为角．(2)化角为边．具体有四种方法：①通过正弦 定理实现边角互化．②通过余弦定理实现边角互化．③通 过三角变换找出角之间的关系．④通过三角函数值的符号 的判断以及正 、余弦函数有界性的讨论．
【例3】 (2008·上海，17)如图，某住宅小区的平面 图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处， 小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为 120°，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA 走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该 扇形的半径OA的长(精确到1米)．
解法二：连结AC，作OH⊥AC，交AC于H. 由题意，得CD＝500(米)，AD＝300(米)，∠CDA＝ 120°. 在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD·cos120°＝ 5002＋3002＋2×500×300× ＝7002，∴AC＝700(米)，
cos∠CAD＝ AH＝350(米)，
(2007·广东)在△ABC中，若b2tanA＝a2tanB成立，则
三角形的形状为
()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：方法一：化角为边
∴a2b2＋a2c2－a4＝a2b2＋b2c2－b4， ∴a2c2－b2c2－(a4－b4)＝0， ∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0. ∴a＝b或a2＋b2＝c2，
sin2B·sinAsinB. ∵0<A<π，0<B<π， ∴sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝ ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二：同方法一可得 2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA， 由正、余弦定理得
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0. ∴a＝b或c2＝a2＋b2， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(2008·湖北八校5月)若△ABC中，sinB·sinC＝cos2
则△ABC的形状为
()
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
答案：C
又 由 A ＋ B ＋ C ＝ π⇒2sinB·sinC ＝ cos[π － (B ＋ C)] ＋ 1⇒cos(B－C)＝1.又－π<B<C<π，故B－C＝0，即B＝C， 故选C.
解 析 ： 在 △ACD 中 ， ∠DAC ＝ 30° ， ∠ADC ＝ 60° － ∠DAC＝30°，
所 以 CD ＝ AC ＝ 0.1. 又 ∠BCD ＝ 180° － 60° － 60° ＝ 60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. 在△ABC中，
故BD的距离约为0.33km.
()
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析：由题设知sin(A＋B)＋sin(A－B)＝sinC，且A＋
B＋C＝180°，所以sin(A－B)＝0.故A＝B.故选C.
答案：C
5．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么a2－ac
＋c2－b2的值
()
A．大于0
B．小于0
●回归教材
1．(教材P1443题改编)已知△ABC中，a＝
B＝60°，那么角A等于
()
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
答案：C
2 ． 在 三 角 形 ABC 中 ， AB ＝ 5 ， AC ＝ 3 ， BC ＝ 7 ， 则
∠BAC的大小为
()
答案：A
3．在△ABC中，下列等式总能成立的是 ()
2．余弦定理的变式
cosA＝
；
cosB＝
；
cosC＝
.
三、三角形面积公式
常用的三角形面积公式有：S△＝ aha(ha表示a边上的 高)；
S△＝ absinC＝
＝
S△＝ r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
四、三角形中的边角关系 1．内角和定理：A＋B＋C＝π . 2．三角形中任意两边之和 大于第三边 ，任意两边之 差小于三边 ． 3．边角不等关系：A＞B⇔a＞b ⇔sinA＞sinB； A＜B⇔a＜b ⇔ sinA＜sinB .
总结评述：欲判断三角形的形状，必须深入研究边与 边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合 勾股定理？还要研究角与角的大小等：是否两角相等？是 否三个角相等？有无直角？有无钝角？解这类题的思想方 法是：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代 换、转化，逐步作为纯粹的边与边的关系或角与角的关 系，通过运算求出边或角的大小，从而作出正确判断．
cos∠HAO＝
在直角△HAO中，
答：该扇形的半径OA的长约为445米．
(2009·辽宁，17)如图所示，A、B、C、D都在同一 个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的 塔顶．船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、 30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝ 0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等， 然后求BD的距离(计算结果精确到0.01km，
解析：由余弦定理得 a2－c2＝b2－2bccosA. 又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.① 又sinAcosC＝3cosAsinC， sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC， sin(A＋C)＝4cosAsinC， sinB＝4sinCcosA. 由正弦定理得sinB＝ sinC， 故b＝4ccosA.② 由①、②解得b＝4.
A．acosC＝ccosA B．bsinC＝csinA C．absinC＝bcsinB D．asinC＝csinA
解析：由正弦定理知 选D.
答案：D
⇒asinC＝csinA，故
4 ． ( 教 材 P1636 题 改 编 ) 在 △ABC 中 ， 若 2cosBsinA ＝
sinC，则△ABC的形状一定是
1．正、余弦定理是本节的重点，利用三角形内角 和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角 形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问 题．
2．应熟练掌握和运用内角和定理，A＋B＋C＝π， 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以
减少角的种数．
3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、 余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA， 可以进行化简或证明．在运算过程中，要注意算法简练， 算式工整，计算准确．
[解析] 解法一：设该扇形的半径为r米．由题意，得
CD＝500(米)，DA＝300(米)，∠CDO＝60°.
在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos60°＝OC2，
即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)× ＝r2，解得r
＝
≈445(米)．
答：该扇形的半径OA的长约为445米．
三、不注意角的范围易出错 4．判断下列三角形的形状 (1)sin2A＝sin2B (2)cos2A＝cos2B (3)tan2A＝tan2B (4)sinA＝cosB 你一定会出错！不信试一试．
答案：(1)A＝B或A＋B＝90° 等腰或直角三角形 (2)A＝B等腰三角形 (3)A＝B或|A－B|＝90° 等腰或钝角三角形 (4)A＋B＝90°或A－B＝90° 直角或钝角三角形．
●易错知识 一、不讨论造成失误 1．在△ABC中，已知a＝xcm，b＝2cm，B＝45°， 如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的范围是 ________．
2．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的 取值范围是________．
答案：2＜a＜8
二、正余弦定理应用失误 3．在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥BC，垂足为 D，且AD＝BC＝a，则 的最大值为________．
C．等于0
D．不确定
∴a2＋c2－ac－b2＝0.故选C. 答案：C
【 例 1 】 (2006· 全 国 Ⅱ) 已 知 △ABC 中 ， ∠B ＝ 45°，AC
(1)求BC边的长； (2)记AB的中点为D，求中线CD的长．
[分析] 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理
和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，