西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案

北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷
高二数学
2024.7
本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在
试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =
（A ）8（B ）10（C ）12
（D ）14
（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为
（A ）奇函数
（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数
（D ）非奇非偶函数
（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，
则恰好有2个黄色乒乓球的概率是
（A ）
110
（B ）
310
（C ）
15
（D ）
35
（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =
（A ）4（B ）6（C ）2
（D ）6
±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =
（A ）518（B ）13（C ）
53
（D ）
536
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（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =
（A ）132
-（B ）164
-（C ）
132（D ）
164
（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则
（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)
f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)
f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为
（A ）1
(,][1,)
e -∞+∞ （B ）1
[,1]
e
（C ）1
(,]
e
-∞（D ）[1,)
+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式
m n m n a a ca +=+成立，则
（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024
n a >
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第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11
）函数1
()f x x
=
+___．（12）在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙两人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知
甲答对这道题的概率是
34，甲、乙两人都回答错误的概率是1
12
.假设甲、乙两人回答问题正确与否相互独立.那么乙答对这道题的概率为___．
（13）设随机变量ξ的分布列如下，其中123,,a a a 成等差数列，且123,,(0,1)a a a ∈.
则2a =___；符合条件的()E ξ的一个值为___．
（14）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =，48a =，且1210n n n a a a ++++=()n *∈N ．
则3a =___；使得2024n S ≥成立的n 的最小值为___．
（15）已知函数2
ln , 0,
()22,0,x x f x x ax x ->⎧=⎨-+-⎩
≤其中a ∈R .给出下列四个结论：①当0a >时，函数()f x 有极大值，无极小值；②若方程()f x a =存在三个根，则[2,1)a ∈--；
③当0a <时，函数()f x 的图象上存在关于原点对称的两个点；④当231
2
a --=
时，存在1212,()x x x x ≠使得函数()f x 的图象在点11(,())x f x 和点22(,())x f x 处的切线是同一条直线．其中所有正确结论的序号是___．
ξ
012
P
1
a 2a 3
a
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三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）
函数()e x
x
f x m =
+，其中m ∈R .（Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,3]上有两个零点，求m 的取值范围.
（17）（本小题13分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且对于任意n *∈N 都有11n n S a +=-成立．（Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{}n b 的首项14b S =-，公差2
1
a d a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值.（18）（本小题15分）
为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）：
甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40.
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．（Ⅰ）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有
1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数.
（Ⅱ）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X 为这3人中夏天
户外运动时长不少于35小时的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为21s 、乙单位职工户外运动时长的方差为
22s ，写出21s 与2
2s 的大小关系.（结论不要求证明）
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（19）（本小题14分）
为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为36m .已知水池底面的造价为600元/2m ，侧面的造价为
400元/2m .
（Ⅰ）把水池的造价S （单位：元）表示为水池底面边长x （单位：m ）的函数；（Ⅱ）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
（20）（本小题15分）
已知函数ln()()f a x x x -+=，其中0a >.
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 的极小值为0，求a 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的[0,)x ∈+∞，2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.
（21）（本小题15分）
设{}n a 和{}n b 均为各项互不相等的N 项数列，其中,{1,2,,}i i a b N ∈ ，1,2,,i N = .记数列12,,,N C c c c ：，其中k k k c a b =-，1,2,,k N = .
（Ⅰ）写出所有满足条件的数列{}n a 和{}n b ，使得数列1,1,0,2C --：；（Ⅱ）若2024N =，C 是公差不为0的等差数列，求证：i i a b +为定值；
（Ⅲ）若C 为各项互不相等的数列，记C 中最大的数为P ，最小的数为Q ，求P Q -的最
小值.
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高二数学答案及评分参考
2024.7
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.C 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C
7.B
8.D
9.A
10.D
二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11．[2,0)(0,)-+∞ 12.
23
13.
13；1（答案不唯一，15
()(,)33
E ξ∈即可）14.5-；605
15.②③④
注：第13，14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得
3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16．（本小题13分）
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ．
……………1分且1()e x
x
f x -'=
，……………3分由()0f x '=，得1x =.
……………4分
随着x 的变化，()f x ，()f x '的变化情况如下：
x (,1)
-∞1
(1,)
+∞()
f x '+0
-
()
f x ↗
极大值
↘
……………6分所以()f x 的单调增区间为(,1)-∞，单调减区间为(1,)+∞．
……………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，
(0)f m =，1(1)e f m =
+，33
(3)e
f m =+.……………9分
因为函数()f x 在区间[0,3]上有两个零点，所以1(1)0e f m =
+>，33
(3)0e
f m =+≤，……………12分
解得313e e m -<-≤.即m 的取值范围是313(,]e e
--.
……………13分
17．（本小题13分）
解：（Ⅰ）由题意，得232,4a a ==.
……………2分
因为11n n S a +=-，
①所以当2n ≥时，11n n S a -=-，
②
由①②两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=(2)n ≥，
……………4分
又因为2
1
2a a =，所以
*1
2()n n
a n a +=∈N ．即{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，…………5分所以12n n a -=．
……………7分（Ⅱ）由题意，得1415b S =-=-，2d =.
……………9分则1(1)2
n n n T nb d
-=+⨯……………11分
216n n =-2(8)64n =--，
……………12分所以当8n =时，n T 取到最小值64-.
……………13分
18．（本小题15分）
解：（Ⅰ）样本中有9名乙单位职工，其中有2人的户外运动时长不足20小时.
………1分
所以乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工的概率约为
2
9
．…………2分故乙单位约有2
1800=4009
⨯名职工参加此次体检.
……………3分
（Ⅱ）从甲单位中随机选出1人，其夏天户外运动时长不少于35小时的概率为
51102=；从乙单位中随机选出1人，其夏天户外运动时长不少于35小时的概率为31
93
=.
……………5分
由题设，X 的可能取值为0,1,2,3．……………6分
且0
22111(0)C (1(1236P X ==-⨯-=
；10
222
111115(1)C (1)(1)C (1)2232312P X ==-⨯⨯-+-⨯=；221
22
111111(2)C ()(1)C (1)232233P X ==⨯-+-⨯⨯=；222
111(3)C ()2312
P X ==⨯=.
……………10分
所以X 的分布列为：
X 0123
P
16
51213112……………11分
X 的数学期望15114
()01236123123
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．
……………12分（Ⅲ）2212
s s >．……………15分
19．（本小题14分）
解：（Ⅰ）由题意,得水池的底面积为2x ，侧面积为2624
4x x x
⨯
=（单位：2m ）．………2分所以水池的造价29600
600S x x
=+
,其中0x >（单位：元）.……………5分（Ⅱ）对函数29600()600S x x x =+求导，得28
()1200()S x x x
'=-．
……………7分令()0S x '=，解得2x =．
……………9分
由()0S x '>，解得2x >；故()S x 在区间(2,)+∞上单调递增；由()0S x '<，解得2x <；故()S x 在区间(0,2)上单调递减.所以当2x =时，()S x 取得最小值(2)7200S =．……………12分因此，当水池底面的边长为2m 时，水池的总造价最低．
……………14分
20．（本小题15分）
解：（Ⅰ）由ln(2)()f x x x =-+，得1
()12
f x x '=-
+．……………2分
则(1)1f -=-，(1)0f '-=，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为1y =-.
……………4分（Ⅱ）函数的定义域为(,)a -+∞，
……………5分且1
()x a f x x a
+-'=
+.……………6分由()0f x '=，得1x a a =->-.
……………7分
随着x 的变化，()f x ，()f x '的变化情况如下：
所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)a -+∞，单调递减区间为(,1)a a --．故当1x a =-时，()f x 有极小值(1)10f a a -=-=，即1a =.……………9分
（Ⅲ）设22()()ln(1)g x kx f x kx x x =-=-++，[0,)x ∈+∞．
则()0g x ≥在[0,)+∞上恒成立，即min ()0g x ≥.……………10分由(1)1ln 20g k =-+≥，得1ln 20k ->≥.……………11分求导，得1(221)()2111
x kx k g x kx x x +-'=-+=++.……………12分
①当11202k x k -=
>，即1
2
k <时，随着x 的变化，()g x ，()g x '的变化情况如下：
x 1(0,)x 1x 1(,)x +∞()
g x '-
+()
g x ↘
极小值
↗
所以()g x 在区间1(0,)x 上单调递减，所以1()(0)0g x g <=，与题意不符.……………13分
②当11202k x k -=
≤，即1
2
k ≥时，由[0,)x ∈+∞得()0g x '≥（当0x =时取等号），即()g x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以()g x 在区间[0,)+∞上的最小值为(0)0g =，符合题意.
x (,1)
a a --1a -(1,)
a -+∞()
f x '-
+()
f x ↘
极小值
↗
……………8分
综上，k 的最小值为
12
.……………15分
21．（本小题15分）
解：（Ⅰ）满足条件的答案有4组：分别为
{}1,2,4,3,{}2,3,4,1n n a b ：：；{}2,1,4,3,{}3,2,4,1n n a b ：：；
{}2,3,1,4,{}3,4,1,2n n a b ：：；
{}3,2,1,4,{}4,3,1,2n n a b ：：．………3分
（Ⅱ）记等差数列C 的公差为(0)d d ≠，
由,{1,2,,2024}i i a b ∈ ，k k k c a b =-，1,2,,2024k = ，得20232023i c -≤≤，则2024140464046c c --≤≤.……………5分由20241c c -=2023d ，得{2,1,1,2}d ∈--.
……………6分
因为,{1,2,,2024}i i a b ∈ ，且{}n a 和{}n b 均为各项互不相等的2024项数列，所以2024
2024
2024
1
1
1
0i i i i i i c a b ====-=∑∑∑，
……………7分
所以20241202412024()
02
i i c c c =+=
=∑，即1202410121013=0c c c c ++=.
所以公差10131012=2d c c -=±.
……………8分
不妨设公差2d =，则2023,2021,,2021,2023C -- ：.
而2023±只能由1和2024得到，去除两端的数后2021±只能由2和2023得到……以此类推，于是i i a b +总为定值2025.……………10分
（Ⅲ）由题意，数列C 中有N 个不同的整数，
所以P Q -的值大于或等于1N -，当且仅当数列C 为N 个连续整数时取得等号.当N 为偶数时，若存在数列C ，使得1P Q N -=-，则111
(1)
2
N
i i N c c N c =++-=
∑.
由N 为偶数，知111c c N ++-为奇数，则1
N
i i c =∑不可能为0.
这与1
1
1
0N
N
N
i i i i i i c a b ====-=∑∑∑矛盾，
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学答案及评分参考第6页（共6页）所以当N 为偶数时，P Q N -≥.……………12分
且当N 为偶数时，如果数列{}1,2,3,1,1,2,,1,2222
n N N N N a N N -++- ：，；数列{}2,4,6,,2,,1,3,,3,1n b N N N N --- ：；那么数列1,2,3,,1,,,1,,2,12222N N N N C ----+-- ：
；此时满足=P Q N -.
……………13分
当N 为奇数时，如果数列1111{}1,2,3,1,,1,2,,2,1,2222
n N N N N a N N N -----++-- ：，；数列{}2,4,6,,3,1,1,3,,4,2,n b N N N N N ---- ：；那么数列11111,2,,1,,,1,,2,1,02222
N N N N C -------+-- ：
；此时=1P Q N --.综上，当N 为偶数时，P Q -最小值为N ；当N 为奇数时，P Q -最小值为1N -.
……………15分。