人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标提高题学能测试试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标提高题学能测试试卷
一、选择题
1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当
BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
2．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，1BC =，3CE =，H 是
AF 的中点，那么CH 的长是( )
A ．2
B ．
52
C ．
332
D ．5
3．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①OG ＝
1
2
AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）
A ．①④
B ．①③④
C ．①②③
D ．②③④
4．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点
分别是正方形
对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH ；③线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4；④当点H 与点A 重合时，EF=25．其中正确的结论是（）
A ．①②③④
B ．①④
C ．①②④
D ．①③④
6．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（ ）
A ．14
B ．116
C ．132
D ．
164
7．如图，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，连接AM 、EM 、CM ，延长EM 交AB 于点F ，若AM =EM ，30E ∠=︒，则下列结论：①MF ME =；②BF DE =；③MC EF ⊥；④2BF MD BC +=，其中正确的
结论序号是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
8．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．24
B ．36
C ．72
D ．144
9．如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上（E 不与A 、B 重合），连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=
1
2
∠BCD ；②EF=CF ；③2BEC CEF S S ∆∆<；④∠DFE=4∠AEF A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②
D ．①②④
10．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠ADC ＝60°，AB ＝1
2
BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②·ABCD
A S A
B
C =；③OA ＝
OB ；④OE ＝
1
4
B C ．其中成立的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．
12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、
P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积
依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
-，顶点D坐标为13．如图，菱形ABCD的BC边在x轴上，顶点C坐标为(3,0)
(0,4)，点E在y轴上，线段//
EF x轴，且点F坐标为(8,6)，若菱形ABCD沿x轴左右运动，连接AE、DF，则运动过程中，四边形ADFE周长的最小值是_______．
∠的平分线交DC于点E，若P，Q分别是AD和AE上14．如图，正方形ABCD中，DAC
的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
15．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：
①可以得到无数个平行四边形EGFH；
②可以得到无数个矩形EGFH；
③可以得到无数个菱形EGFH；
④至少得到一个正方形EGFH．
所有正确结论的序号是__．
16．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．
17．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则
DF =_________．
19．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒
45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．
20．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝
1
2
AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．
三、解答题
21．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
22．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．
23．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．
（1）当t ＝1时，求BF 的长度；
（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值； （3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．
24．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且
16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B
点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点
Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：
（1）线段AD =_________cm ； （2）求证：PB PQ =；
（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？
25．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．
（1）求证：BP ＝CQ ； （2）若BP ＝
1
3
PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．
26．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点
,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.
（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；
（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.
27．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．
28．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：
（1）在图1中，连接BD ，且BE DF = ①求证：EF 与BD 互相平分； ②求证：222()2BE DF EF AB ++=；
（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222
()2BE DF EF AB ++=是否成
立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.
（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.
29．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ． （1）求证：AG AE =
（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM
30．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．
取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分； 第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．
【详解】
解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°
∴△ABD，△BCD为等边三角形，
∴∠A=∠BDC=60°，
∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，
∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，
∴△ABE≌△BFD，
∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，
∴∠BED+∠BFD=180°，
故①正确，③错误；
∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=60°，
故②正确
∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，
∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．
∵∠EBF=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE，
∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，
∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，
∴EB=23，
∴△DEF的周长最小值为4+23，
故④正确，
综上所述：①②④说法正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．
2．D
解析：D
【分析】
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】
如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=2，CF=32，∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，由勾股定理得，22
AF=AC CF=25
，
∵H是AF的中点，∴CH=1
2
AF=
1
2
×25=5.
故选D．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出
OG=12CD=12
AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出
△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是
△ABD 的中位线，得出OG ∥AB ，OG=
12
AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；③不正确；即可得出结果．
【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，
∴∠BAG ＝∠EDG ，△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ，
∵CD ＝DE ，
∴AB ＝DE ，
在△ABG 和△DEG 中，
BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABG ≌△DEG （AAS ），
∴AG ＝DG ，
∴OG 是△ACD 的中位线，
∴OG ＝
12CD ＝12
AB ， ∴①正确；
∵AB ∥CE ，AB ＝DE ， ∴四边形ABDE 是平行四边形，
∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°，
∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，
∴AB ＝BD ＝AD ，∠ODC ＝60°，
∴OD ＝AG ，四边形ABDE 是菱形，
④正确；
∴AD ⊥BE ，
由菱形的性质得：△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，
在△ABG 和△DCO 中，
OD AG ODC BAG 60AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ABG ≌△DCO （SAS ），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，∴②不正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG＝1
2 AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积＝1
4
△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，
∴S四边形ODGF＝S△ABF；
③不正确；
正确的是①④．
故选A．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.
【详解】
由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即一个阴影部分的面积为
如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1），
∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
5．D
解析：D
①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，即可判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，即可判断出
③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，即可判断出④正确．
【详解】
①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
②∵四边形CFHE是菱形，
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
④如图，过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，2225
+=
MF ME
综上所述，结论正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
6．D
解析：D
易得第二个菱形的面积为（1
2
）2，第三个菱形的面积为（
1
2
）4，依此类推，第n个菱形
的面积为（1
2
）2n-2，把n=4代入即可．
【详解】
解：已知第一个菱形的面积为1；
则第二个菱形的面积为原来的（1
2
）2，
第三个菱形的面积为（1
2
）4，
依此类推，第n个菱形的面积为（1
2
）2n-2，
当n=4时，
则第4个菱形的面积为（1
2
）2×4-2=(
1
2
)6=
1
64
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
7．A
解析：A
【分析】
①证明△AFM是等边三角形，可判断；②③证明△CBF≌△CDE（ASA），可作判断；④设MN=x，分别表示BF、MD、BC的长，可作判断．
【详解】
解：①∵AM=EM，∠AEM=30°，∴∠MAE=∠AEM=30°，
∴∠AMF=∠MAE+∠AEM=60°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠FAD=90°，
∴∠FAM=90°-30°=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴FM=AM=EM，故①正确；
②连接CE、CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠CDM，AD=CD，
在△ADM 和△CDM 中，
∵ AD CD ADM CDM DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADM ≌△CDM （SAS ）， ∴AM=CM ，
∴FM=EM=CM ， ∴∠MFC=∠MCF ，∠MEC=∠ECM ，
∵∠ECF+∠CFE+∠FEC=180°， ∴∠ECF=90°，
∵∠BCD=90°， ∴∠DCE=∠BCF ，
在△CBF 和△CDE 中，
∵ 90CBF CDE BC CD BCF DCE ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝＝，
∴△CBF ≌△CDE （ASA ）， ∴BF=DE ； 故②正确；
③∵△CBF ≌△CDE ， ∴CF=CE ， ∵FM=EM ， ∴CM ⊥EF ， 故③正确；
④过M 作MN ⊥AD 于N ， 设MN=x ，则AM=AF=2x ，
3AN x =，DN=MN=x ， ∴331)x x x +=，
∴DE=BF=AB-AF=31)231)x x x -=，
∴22(31)26BF MD x x x +==，
∵BC=AD= 31)6x x ≠
， 故④错误； 所以本题正确的有①②③；
故选：A ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟记正方形的性质确定出△AFM 是等边三角形是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝1
2
EF＝
1
2
×8＝4，
由勾股定理得，AO22
AE OE
-22
54
-3，∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝1
2
BD•AC＝
1
2
×24×6＝72；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
解：①∵F 是AD 的中点，∴AF =FD ．
∵在▱ABCD 中，AD =2AB ，∴AF =FD =CD ，∴∠DFC =∠DCF ．
∵AD ∥BC ，∴∠DFC =∠FCB ，∴∠DCF =∠BCF ，∴∠DCF
=12
∠BCD ，故①正确； 延长EF ，交CD 延长线于M ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A =∠MDF ．
∵F 为AD 中点，∴AF =FD ．在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE =MF ，∠AEF =∠M ． ∵CE ⊥AB ，∴∠AEC =90°，∴∠AEC =∠ECD =90°．
∵FM =EF ，∴EF =CF ，故②正确；
③∵EF =FM ，∴S △EFC =S △CFM ．
∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC
故③正确；
④设∠FEC =x ，则
∠FCE =x ，∴∠DCF =∠DFC =90°﹣x ，∴∠EFC =180°﹣2x ，∴∠EFD =90°﹣x +180°﹣2x =270°﹣3x ．
∵∠AEF =90°﹣x ，∴∠DFE =3∠AEF ，故④错误．
故答案为B ．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF 是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
①先根据平行四边形的性质可得120,60,BAD ABC OA OC ∠=︒∠=︒=，再根据角平分线的定义可得60=︒∠BAE ，然后根据等边三角形的判定与性质可得AB AE BE ==，60AEB ∠=︒，又根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得
30ACE CAE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得；②由①已推得90BAC ∠=︒，再根据2ABCD ABC S S =即可得；③在Rt AOB 中，根据直角边小于斜边即可得；④在ABC
中，利用三角形中位线定理可得12
OE AB =，再根据12AB BC =即可得． 【详解】 四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，
120,60,BAD ABC OA OC ∴∠=︒∠=︒=，
AE ∵平分BAD ∠，
1602
BAE BAD ∴∠=∠=︒， ABE ∴是等边三角形，
,60AB AE BE AEB ∴==∠=︒， 12
AB BC =， AB AE BE CE ∴===，
ACE CAE ∴∠=∠，
60AEB ACE CAE ∠=∠+∠=︒，
30ACE CAE ∴∠=∠=︒，
90,30BAC BAE CAE CAD BAD BAC ∴∠=∠+∠=︒∠=∠-∠=︒，则结论①成立， AB AC ∴⊥，
122··2
ABCD ABC AB AC AB AC S S ==⨯=∴，则结论②成立， 在Rt AOB 中，OA 是直角边，OB 是斜边， OA OB ∴<，则结论③不成立，
,OA OC BE CE ==，
OE ∴是ABC 的中位线，
11112224
OE AB BC BC ∴==⨯=，则结论④成立， 综上，结论成立的个数是3个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．
二、填空题
11．
【解析】
分析：过O 点作OE ⊥CA 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接CO ，如图，易得四边形OECF 为矩形，由△AOP 为等腰直角三角形得到OA=OP ，∠AOP=90°，则可证明△OAE ≌△OPF ，所以AE=PF ，OE=OF ，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO 平分∠ACP ，从而可判断当P
从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明
CE=1
2
（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得
到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，
∵△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO平分∠ACP，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，
即AC-CE=CF-CP，
而CE=CF，
∴CE=1
2
（AC+CP），
∴2CE=
2
2
（AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1时，2
×（2+1）
32，
当AC=2，CP=CB=5时，OC=
2
2
×（2+5）=
72
2
，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=
2
2
-
32
2
2．
故答案为2
点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
12．4:9
【分析】
设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=
12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，
∴m=MC ，，
∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，
∵四边形HMPN 是正方形，
∴GF ⊥BC
∵∠ACB ＝45︒，
∴△FGC 是等腰直角三角形，
∴FG=CF=
12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98
m 2， ∴12:S S =
12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
13．18
【分析】
由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．
【详解】
在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，
CD ，
∵ABCD 是菱形，
∴AD ＝CD ＝5，
∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，
∴EF ＝8，
作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，
则E 1（0，2），F 1（3，6），
则E 1F 1即为所求线段和的最小值，
在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=5
2(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．
【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大． 14．2【分析】
作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．
【详解】
∵AE 是DAC ∠的角平分线，
∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '
由轴对称可以得到PQ P Q '=，
∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，
如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4， ∴4DP '=，
由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，
在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=
+=+==
故答案是：2
【点睛】
+取最小值的状态，本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ
并将它转换成DP'去求解．
15．①③④
【分析】
由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，
∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，
∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，
故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF ＝90°；
∠BOG +∠BOF ＝∠COF +∠BOF ＝90°，
∴∠BOG ＝∠COF ；
在△BOG 和△COF 中，
∵BOG COF BO CO GBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△BOG ≌△COF （ASA ）；
∴OG ＝OF ，
同理可得：EO ＝OH ，
∴GH ＝EF ；
∴四边形EGFH 是正方形，
∵点E 是AB 上的一个动点，
∴至少得到一个正方形EGFH ，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．
16．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠
AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
17．6
【分析】
过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到 AB ∥CD ，推出PE=12
PD ，由此得到当PB+PE 最小时2PB+ PD 有最小值，此时P 、B 、E 三点在同一条直线上，利用∠DAB ＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE 的最小值=
12AB=3，得到2PB+ PD 的最小值等于6.
【详解】
过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠EDC=∠DAB ＝30°，
∴PE=12
PD ， ∵2PB+ PD=2（PB+
12PD ）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE 最小时2PB+ PD 有最小值，此时P 、B 、E 三点在同一条直线上，
∵∠DAB ＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE 的最小值=12
AB=3， ∴2PB+ PD 的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
18．4
【分析】
证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【详解】
解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，22
BC=
∴BE=1
2
2
BC=，DF=2DE，
在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt△EMD中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30
度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
19．（-，0）
【分析】
先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．
【详解】
∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，
∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），
∴OD ==
将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，
旋转1次后坐标是（0，），
旋转2次后坐标是（-2,2），
旋转3次后坐标是（-，0），
旋转4次后坐标是（-2，-2），
旋转5次后坐标是（0，-
旋转6次后坐标是（2，-2），
旋转7次后坐标是（,0），
旋转8次后坐标是（2,2）
旋转9次后坐标是（0，
由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，
∵201982523÷=，
∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）
故答案为：（-0）．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．
20 【分析】
根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝
，再根据BE ＝2OB EC ． 【详解】
设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．
在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，
由勾股定理得：BC ＝13， ∵点D 是BC 的中点， ∴AD ＝DC ＝DB ＝
13， ∵12•BC •AH ＝12
•AB •AC ， ∴AH ＝61313
， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，
∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分线段BE ，
∵12AD •BO ＝12
BD •AH ， ∴OB ＝61313
， ∴BE ＝2OB ＝
121313
， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，
∴∠DEB+∠DEC=12
×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)(
)13-=513． 故答案为：513． 【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据
平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ CF ∥ED ，
∴ ∠FCG ＝∠EDG ，
∵ G 是CD 的中点，
∴ CG ＝DG ，
在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），
∴ FG ＝EG ，
∵ CG ＝DG ，
∴ 四边形CEDF 是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，
理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM ，
在△MBA 和△EDC 中，
BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MBA ≌△EDC(SAS)，
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF 是平行四边形，
∴四边形CEDF 是矩形；
②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，
∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，
∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，。