高中数学第一章解三角形1 1 2余弦定理素养评价检测含解析新人教A版必修5

余弦定理
(20分钟35分)
1.(2020·桂林高二检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=7,cos B=-,
则c= ( ) A.4 B.5 C.8 D.10
〖解析〗选B.a=3,b=7,cos B=-.
由余弦定理:b2=a2+c2-2cacos B.
即49=9+c2-6×c,得c=5划c=-8(舍去).
2.在△ABC中,已知AB=3,AC=2,BC=,则·等于( )
A.-
B.-
C.
D.
〖解析〗选D.由余弦定理得cos A==.
故·=||||cos A=3×2×=.
3.若a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2的值( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不确定
〖解析〗选C.由题意知,cos B==cos 120°=-,所以a2+c2-b2=-ac,
所以a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.
4.在锐角△ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围是( )
A.1<a<3
B.1<a<5
C.<a<
D.不确定
〖解析〗选C.若a,b,c可以构成三角形,则1<a<3,若a为最大边或与c相等,则b2+c2-a2>0,
即a2<5,所以2≤a<;若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,所以a>,故<a<2.综上
知,<a<.
〖补偿训练〗
在△ABC中,若a<b<c,且c2<a2+b2,则△ABC为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不存在
〖解析〗选B.因为c2<a2+b2,
所以∠C为锐角.
因为a<b<c,所以∠C为最大角,
所以△ABC为锐角三角形.
5.设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=,cos C=-,sin A=2sin B,则
b= .
〖解析〗因为sin A=2sin B,所以由正弦定理可得:a=2b,又因为c=,cos C=-,所以由余
弦定理c2=a2+b2-2abcos C,可得:6=a2+b2-2×a×b×=4b2+b2+×2b2,解得:b=1.
答案:1
6.在△ABC中,(1)已知a=5,b=3,C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,求第三边长c;
(2)若A=120°,a=7,b+c=8,求b,c.
〖解析〗(1)5x2+7x-6=0可化为(5x-3)(x+2)=0.
所以x1=,x2=-2(舍去).
所以cos C=.根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,
即c2=52+32-2×5×3×=16.
所以c=4,即第三边长c为4.
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc(1+cos A),所以49=64-2bc,即
bc=15,由解得或
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos
A=-,则= ( ) A.6 B.5 C.4 D.3
〖解析〗选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-=cos A=,
所以=-,所以=,所以=×4=6,故选A.
2.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,
则C的大小为( ) A. B. C. D.
〖解析〗选B.因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理,得cos C===,
因为0<C<π,所以C=.
3.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=∶4∶,则角C的大小为( )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
〖解析〗选A.因为sin A∶sin B∶sin C=∶4∶,
所以由正弦定理知a∶b∶c=∶4∶,
不妨设a=k,则b=4k,c=k,则由余弦定理可得cos
C===-,
因为0°<C<180°,所以C=150°.
4.在△ABC中,cos B=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
〖解析〗选A.因为cos B=,由余弦定理得
=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,
则△ABC为直角三角形.
5.(2020·阜阳高二检测)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
a2+c2=ac+b2,则cos A+sin C的取值范围为( ) A. B.
C. D.(,2)
〖解析〗选A.由a2+c2=ac+b2,结合余弦定理得cos B==,又B∈(0,π), 所以B=,C=-A,
故cos A+sin C=cos A+sin=cos A+sin
=cos A+sin A=sin,
因为三角形为锐角三角形,
则<A<,所以<A+<,
所以<sin<,
所以sin C+cos A的取值范围为.
〖误区警示〗解答本题容易忽视利用锐角三角形这一条件求角的范围.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ccos B=2a+b,则C=.
〖解析〗因为2ccos B=2a+b,
所以由余弦定理得2c×=2a+b,
整理得a2+b2-c2=-ab,
所以cos C==-,
又因为0°<C<180°,所以C=120°.
答案:120°
7.(2020·洛阳高二检测)在△ABC中,已知(a-c)(sin A+sin C)=(a-b)sin B,则角C= .
〖解题指南〗先利用正弦定理角化边,再利用余弦定理表示出cos C,即可求出C的度数. 〖解析〗由正弦定理化简(a-c)(sin A+sin C)=
(a-b)sin B,得:(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得:a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cos C==,
因为C为三角形的内角,所以C=.
答案:
〖补偿训练〗
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的度数为.
〖解析〗由余弦定理,得2accos B·tan B=ac,整理,得sin B=,所以B=60°或120°.
答案:60°或120°
8.如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2, 点D在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于.
〖解析〗在△ABC中,由余弦定理易得
cos C===,
所以C=30°,B=30°.在△ABD中,由正弦定理得
=,所以=,所以AD=.
答案:
〖变式探究〗
将本题中的“∠ADC=45°”改为“B=45°”,“AB=AC=2,BC=2”改为“AD=10,AC=14,DC=6”,试求AB的长.
〖解析〗由余弦定理得,
cos ∠ADC===
-,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°,
在△ABD中,AD=10,B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理得=,
所以AB==
==5.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.
(1)求角C的度数;
(2)求AB的长.
〖解析〗(1)因为cos C=cos〖π-(A+B)〗=-cos(A+B)=-,且C∈(0,π),
所以C=.
(2)因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,
所以
所以AB2=b2+a2-2abcos 120°=(a+b)2-ab=10,
所以AB=.
〖补偿训练〗
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,cos B=,且·=-21,若a=7,求角C的大小. 〖解析〗因为·=||·||·cos (π-B)=-accos B=-ac=-21,
所以ac=35.又a=7,所以c=5,
因为cos B=,且B∈(0,π),
所以sin B==,
所以b2=49+25-2×7×5×=32,
所以b=4.
由正弦定理,得=,
所以sin C=.
又a>c,所以C∈,所以C=.
10.(2020·烟台高二检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=ccos A+asin C.
(1)求角C;
(2)若AC边上的高长为b,求cos B.
〖解析〗(1)因为b=ccos A+asin C,
由正弦定理得:sin B=sin Ccos A+sin Asin C,
所以sin (A+C)=sin Ccos A+sin Asin C,
即sin Acos C+cos Asin C=sin Ccos A+sin Asin C,
即sin Acos C=sin Asin C,
因为sin A≠0,所以tan C=1,
因为C∈(0,π),所以C=.
(2)由题意可得:b=asin =a,则b=a,
在△ABC中,由余弦定理可得:c2=a2+b2-ab=a2+a2-3a2=a2,
则c=a,由余弦定理可得cos B===-.
1.已知三角形两边长分别为1和,第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径为.
〖解析〗如图,AB=1,BD=1,BC=,
设AD=DC=x,
在△ABD中,cos∠ADB==,
在△BDC中,cos∠BDC==,
因为∠ADB与∠BDC互补,
所以cos∠ADB=-cos∠BDC,
所以=-,所以x=1,
所以∠A=60°,由=2R得R=1.
答案:1
2.在△ABC中,∠B=,b=, .
求BC边上的高.
①sin A=;②sin A=3sin C;③a-c=2这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
〖解题指南〗选择①,利用正弦定理求得a,利用余弦定理求得c,再计算BC边上的高.
选择②,利用正弦定理得出a=3c,由余弦定理求出c,再求BC边上的高.
选择③,利用余弦定理列方程求出c,再计算BC边上的高.
〖解析〗选择①,在△ABC中,由正弦定理得=,即=,解得a=2;
高中数学教学、学习精品资料由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得=22+c2-2×2×c ×,
化简得c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去);
所以BC边上的高h=csin B=3×=.
选择②,在△ABC中,由正弦定理得=,
又因为sin A=3sin C,所以=,即a=3c;
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
即=(3c)2+c2-2×3c×c ×,
化简得7c2=7,解得c=1或c=-1(舍去);
所以BC边上的高h=csin B=1×=.
选择③,在△ABC中,由a-c=2,得a=c+2;
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
即=(c+2)2+c2-2×(c+2)×c ×,
化简得c2+2c-3=0,解得c=1或c=-3(舍去);
所以BC边上的高h=csin B=1×=.
- 11 -。