3.2.1古典概型
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三、古典概率计算举例
例1 把C,C,E,E,I,N,S七个字母分别写 在七张同样的卡片上,并且将卡片放入同一盒中, 现从盒中任意一张一张地将卡片取出,并将其按 取到的顺序排成一列,假设排列结果恰好拼成一 个英文单词:
S C I E N C E
问:在多大程度上认为这样的结果 是奇怪的,甚至怀疑是一种魔术?
我们首先引入的计算概率的数学模
型,是在概率论的发展过程中最早出现
的研究对象,通常称为 古典概型.
一、古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果 e1, e2, …,eN , 假定从该试验的条件及实施方法上去分 析,我们找不到任何理由认为其中某一结果
例如ei,比任一其它结果,例如ej,更有优势, 则我们只好认为所有结果在试验中有同等可 能的出现机会,即1/N的出现机会.
错在“同样的4只配 成两双”算了两次.
正确的答案是:
5 28 10 P ( A) 210
表面上提法不同的问题实质上 属于同一类型: 有n个人,每个人都以相同的概率 1/N (N≥n)被分在 N 间房的每一间中,求指定的n 间房中各有一人的概率. 人 房
需要注意的是:
Ⅰ. 在应用古典概型时必须注意“等可能
性”的条件. “等可能性”是一种假设,在实际应用 中,我们需要根据实际情况去判断是否可以 认为各所有可能结果或基本事件是等可能的. 在实际应用中,往往只能“近似地”出现等 可能,“完全地”等可能是很难见到的.
在许多场合,由对称性和均衡性, 我们就可以认为所有可能结果是等可能 的并在此基础上计算事件的概率.
评分赌金问题
有一天,德梅尔和赌友保罗赌钱,他们事先每人拿
出6枚金币作为赌金,用扔硬币的方式进行赌博,一局中 若掷出正面,则德梅尔胜,否则保罗胜.约定谁先胜三局 谁就得到所有的12枚金币.已知他们在每局中取胜的可能 性是相同的.比赛开始后,保罗胜了一局,德梅尔胜了两 局.这时一件意外的事情中断了他们的赌博,后来他们也 不想再赌了,于是一起商量如何分12枚金币.
例: 掷两颗均匀骰子,求出现点数之和 是8的概率. 解: 掷一颗骰子,有6个等可能的结果,掷 两颗骰子,有6· 6=36个等可能结果,设x为 第一颗骰子掷出的点数,y为第二颗骰子掷 出的点数.A={x+y=8},只有(2,6),(3, 5),(4,4),(5,3),(6,2).
答案:P=5/36.
因为抽取时这些球是 完全平等的,我们没有理 由认为10个球中的某一个 会比另一个更容易取得 . 也就是说,10个球中的任 一个被取出的机会是相等 的,均为1/10.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
我们用 i 表示取到 i号球, i =1,2,…,10 . 则该试验的所有可能结果 S={1,2,…,10} , 且每个基本事件(或者 说所有可能结果)出现 的可能性相同 . 称这样一类随机试验 为古典概型.
Ⅲ.
许多表面上提法不同的问题实质上 属于同一类型:
有n个人,设每个人的生日是任一天的概 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 同的概率. 人
任一天
Ⅲ.
许多表面上提法不同的问题实质上 属于同一类型: 有n个旅客,乘火车途经N个车站,设每 个人在每站下车的概率为1/ N(N ≥ n) ,求指 定的n个站各有一人下车的概率.
旅客
车站
Ⅲ.
许多表面上提法不同的问题实质上 属于同一类型: 某城市每周发生7次车祸,假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 车祸 天 你还可以举出其他例子,留作课下练习.
“分球入箱”问题
设有n个球,每个都以相同的概率1/N(Nn) 落入N个箱子中的每一个中.球不编号,每个 箱子只容纳一个球,求事件A={某预先指定的n 个箱子中各有一球}的概率p. 以n=3, N=4为例计算.
试验结果 e1, e2, …,eN
你认为哪个 结果出现的 可能性大?
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
例如,一个袋子中装有
10个大小、形状完全相同
的球. 将球编号为1-10 . 把球搅匀,蒙上眼睛,从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
你知道怎样分吗?
至多再赛两局就可以比出两局就可比出结果.
Ⅱ.计算古典概率时,必须注意不要重复计数,
也不要遗漏. 例如:从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中 “至少有两只配成一双”(事件A)的概率是多少?
1 下面的算法错在哪里?
5 28 P ( A) 210
3
4
5
6
7
8
9 10
2
从5双中取1双有5种结果,从剩 下的 8只中取2只有28种结果
我们还可以将条件进行改变: 1. 球编号,每个箱子容纳的球数不限. 2. 球编号,每个箱子只容纳一个球. 3. 球不编号,每个箱子容纳的球数不限. 请同学们自己尝试完成.
“分球入箱”问题
n=3,N=4,即将3个球放入 4个箱子中,求事 件A={某预先指定的3个箱子中各放1球}的 概率p. 解:将3个球放入4个箱子中,因为每个箱 子只容纳1球,所以共有4种结果.
解:
1 p =0.25. 4
答对所包含的 基本事件个数
基本事件的总数
例3 袋中有大小、形状相同的红、黑球各 1个,现有放回地随机摸取3次,每次摸取 1个球.若摸到红球时得2分,摸到黑球时得 1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
解:一共有8种结果:(红红红),(红红 黑),(红黑红),(红黑黑),(黑红红), (黑红黑),(黑黑红),(黑黑黑). 记“3次摸球所得总分为5”为事件A,则A所 包含的基本事件为(红红黑),(红黑红), (黑红红). 3 所以P(A)= . 8
这样小概率的事件在一次抽卡的 试验中就发生了,人们有比较大的把握 怀疑这是魔术.
具体地说,可以 99.9%的把握怀疑这 是魔术.
例2 单选题是标准化考试中常用的题型,一 般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一 正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择 一个答案,问他答对的概率是多少?
果S由n个基本事件组成 , 事件A由k个基本事 件组成 . 则定义事件A的概率为:
A包含的基本事件数
P(A)=k/n= S中的基本事件总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法. .
思考
1. 怎样的一类随机试验称为古典概型? 2.如何计算古典概型中事件的概率?
为什么这样计算?
举例
解:七个字母的排列总数为 7×6×5×4×3×2 拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
22 4
故该结果出现的概率为:
4 1 p 0.00079 7 6 5 4 3 2 1260
这个概率很小,这里算出的概率有如下的 实际意义:如果多次重复这一抽卡试验,则我 们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .
如i =2
2
5 8 19 4 6 7 3 10
定义1 若随机试验满足下述两个条件: (1) 它的所有可能结果只有有限多个基本事件; (2) 每个基本事件出现的可能性相同. 称这种试验为有穷等可能随机试验 或古典概型.
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球}
P(A)=? P(A)=1/10 记 B={摸到红球} P(B)=?
2
1 2 3 4 5 6 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
P(B)=6/10
记 B={摸到红球}
P(B)=6/10
静态 动态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率”
当我们要求“摸到红 球”的概率时,只要找出
它在静态时相应的比例.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
定义2 设试验E是古典概型, 其所有可能结
1 p . 4
我们介绍了古典概型. 古典概型虽 然比较简单,但它有多方面的应用.
箱中摸球 随机取数 是常见的几种模型 . 分球入箱 分组分配
作业
课本130页练习