上海市行知中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题word版含答案

上海市行知中学2014—2015学年度第一学期期中考试
高二年级 数学试卷
一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分)
1．若1
22
5
PP PP =-，设121PP PP λ=，则
λ的值为 。

2．已知{n a }是等比数列，则方程组124
568
a x a y a a x a y a +=⎧⎨
+=⎩的解的个数
是 。

3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，则行列式
sin tan 1cos αα
α
的值为 。

4．等边△ABC 边长为1，则A BB C B CC A C AA B ++= 。

5．向量x y ⎛⎫
⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫
⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫
⎪⎝⎭
，
则x y -= 。

6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值
是 。

7．如果131
lim 3(1)3
n n n x a +→∞=
++，那么a 的取值范围是 。

8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)n n n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为 。

9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008O B a O A a O C =+，且A ，B ，C 三点共线(不
过原点)，则2014S = 。

10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b
a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =， 上述命题中，真命题的个数是 。

11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为 。

12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是 。

13．记
12111...n
n a a a +++为数列{n a }的调和平均值，n S 为自然数列{n}的前n 项和，若n H 为
数列{n S }的调和平均值，则lim
n
x H n
→∞= 。

14．给出30行30列的数表A ：1
5913 (1175)
101520 (15091521)
27...183********...216............
...
...117150183216...
1074⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数l ，10，21，34，…，1074按顺序构成数列{n b }，存在正整数s 、t(1<s<t)使b 1，b s ，b t 成等差数列，则满足条件的一组(s ，t)的值是 。

二、选择题：(本题共4小题，每小题5分，满分20分) 15．如果lim(12)n
x x →∞
-存在，那么x 的取值范围是( )
(A) 0≤x <1 (B) 0< x <1 (C) 0≤x ≤1 (D) 0< x ≤1
16．已知m ，n 是夹角为60°的单位向量，则2a m n =+和32b m n =-+的夹角为( )
(A)30° (B)60° (C)90° (D)120°
17．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =，AE yAC =，xy≠0，则
11
x y
+的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
18．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分。

19．(本题满分l2分，共2小题，第(1)题满分6分，第(2)题满分6分
)
已知数列{n a }满足1a =1，且三阶行列式211
3
1220n n
n a n n n a n
++=+，其中*n N ∈， (1)求证：数列{
n
a n
}为等差数列； (2)求数列{n a }的通项．
20．(本题满分l4分，共2小题，第(1)题满分7分，第(2)题满分7分)
在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5％；设某人年初被A ，B 两家公司同时录取，试问：
(1)若该人分别在A 或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少；
(2)该人分别在A 或B 公司连续工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家工司，为什么?
21．(本题满分l4分，共2小题，第(1)题满分5分，第(2)题满分9分) 已知向量m =(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为34
π
，且1m n ⋅=-。

(1)求向量n ；
(2)若向量n 与q =（1，0)共线，向量2cos
,cos 2C p A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，其中A 、C 为△ABC 的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，求|n p +|的取值范围．
22．(本题满分l6分，共3小题，第(1)题满分4分，第(2)题满分6分，第(3)题满分6分) 已知非零向量列{n a }满足：111(,)a x y =，11111
(,)(,)2
n n n n n n n a x y x y x y --++==-+（*
2,n n N ≥∈），
(1)证明：数列{||n a }是等比数列； (2)向量1n a -与n a 的夹角；
(3)设1a =(1，2)，将1a ，2a ，3a …n a ，…中所有与1a 共线的向量按原来的顺序排成一列，记作1b ，2b ，3b …n b ，…，令n OB =1b +2b +3b +…+n b ，O 为坐标原点，求点n B 的坐标．
23．(本题满分l8分，共3小题，第(1)题满分4分，第(2)题满分6分，第(3)题满分8分)
已知数列{n a }的前n 项和为S n ，且满足1(3)a a a =≠，13n n n a S +=+，设*3,n n n b S n N =-∈． (1)求证：数列{n b }是等比数列；
(2)若*1,n n a a n N +≥∈，求实数a 的最小值；
(3)当a=4时，给出一个新数列{n e }，其中n e =3,1,2n
n b n =⎧⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为C n ，若
C n 可以写成t p (t ，p ∈N*且t>1，p>1)的形式，则称C n 为“指数型和”．问{C n }中的项是否存在
“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．。