九年级数学下册第一章第三节《三角函数的有关计算》教案

课时课题：第一章第三节三角函数的有关计算第二课时
课型：新授课
教学目标：
（1）经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，能够运用计算器辅助解决含三角函数值以及角度计算的实际问题，进一步体会三角函数的意义；
（2）借助计算器解决含三角函数值计算的实际问题，提高解题效率，提高用现代工具解决实际问题的能力；
（3）发现实际问题中的边角关系，并运用三角函数定义解决有关计算问题，在解决简单的应用题基础上体会三角函数方法独特意义，感受三角函数值随角度变化而连续变化的过程．
教法及学法指导：
本节应用五环教学模式：创设情境—感知探究—合作交流—拓展应用—总结升华．通过
第1节的学习，学生已经会用计算器求出锐角的三角函数值了，本节课是要由三角函数值利用计算器求出锐角的大小，并学会解决实际生活中的相关问题．对于计算器多数学生很聪明不用交就会，因而就由他们去教部分还不会的同学，主要以学生的自主活动、主动探究为主． 根据新课程要求，在实际教学中，尽可能采取学生自主探索、合作交流，通过分析交流，总结规律及建立数学模型的经验．
课前准备：
教师准备：课件、计算器
学生准备：计算器、预习新课
教学过程： 一、创设情境
师：大家听说过“扛着竹竿过城门”的故事吗？
生：有一个鲁国人扛着一根长长的竹竿进城去卖．他横着、竖着
比划了半天，就是进不了城门．有个老头对他说：将竹竿从中间截成
两段不就可以毫不费力地进城了？于是他找来锯子，将竹竿锯成两段，
然后进了城门．可是，这个卖竹竿的人在城里转了一天，竹竿就是卖不出去．因为他没想到，锯短的竹竿虽然是扛进了城，但是由于其用途不大，无人问津，所以几乎成了废品． 生：这则寓言既讽刺了鲁国人的愚蠢可笑，
更嘲笑了那个自以为见多识广、喜欢乱出主意、好为人师的老头．正是类似这老头的一些人的瞎指点，使许多好事都办糟了． 师：如果是你的话，你会怎样建议这个人？
生：将竹竿按行进的方向进去就可以了．
生：如果竹竿不是很长，沿着对角线应该也可以的．
师：如果城门宽8米，高6米的话，竹竿有9米的话，可不可 A B C 6
8
10
以按你的建议进去？
生：可以．如图，根据勾股定理，可得对角线AB长为10米，只要不超过10米就可以进去了．
师：请根据三角函数的定义，分别说出A
∠的正切值、正弦值、余弦值．
生：
4
tan
3
A=，
4
sin
5
A=，
3
cos
5
A=．
师：那么A
∠是多少度呢？要解决这个问题，我们可以借助科学计算器．【设计意图】从讲笑话引入，让学生感到可笑的同时，切入直角三角形复习三角函数的定义，并求锐角的三角函数值，设置问题问学生能否知道锐角的值，对于这个问题待学完用科学计算器求锐角时再来解决，让学生带着不会的问题来学习会更有主动性．【实际效果】学生都在笑话这个鲁人，从中悟出了对待问题解决的思路很是关键．对于三角函数的定义学生很明确，由于起点较低，所以学生很容易入手．对于利用计算器求A
∠的度数，有些预习的学生能够说出，也可以用这些学生来讲解，调动大家的积极性．
二、感知探究
1．探究利用计算器由三角函数值求角度
师：请大家根据课本第19-20页和计算器说明书，求出A
∠的度数，看结果是否和课本上的一致？
再按
师：请大家总结已知三角函数值求锐角时，按键的大致顺序？
生：第一步：按“Shift”键或“2ndf”键；
第二步：按相应的三角函数键，即按下“sin,cos 或tan”键；
第三步：按已知的三角函数值；
第四步：按“=”键得到相应角度； 第五步：按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果．
【设计意图】相信学生完全可以通过自学、互助，求锐角的度数，因而由学生讲解调动其主动性，尤其让那些动手能力强的来做这项工作．然后再总结利用计算器由三角函数值求锐角的按键顺序，让学生学会及时总结规律，为进一步的学习与应用做好基础．
【实际效果】学生对动手操作很感兴趣，很快能求出相应的锐角的度数，但还欠缺总结归纳能力．由于部分学生的计算器型号不一样，更大地调动了学生的主动性，通过互助和阅读说明书，也学会了利用计算器求角的度数．
2．实践操作利用计算器由三角函数值求角度
师：根据下列条件求锐角θ的大小：（课本第22页第1题）
（1）tan 2.988 8θ=；
（2）sin 0.395 7θ=； （3）cos 0.785 0θ=；
（4）tan 0.897 2θ=； （5）1sin 2θ=； （6
）cos 2
θ=． 生：（1）7130'2''︒；（2）2318'35''︒；（3）3816'46''︒；（4）4153'54''︒．
生：（5）30︒；（6）45︒．我用完计算器才发现是特殊角． 师：大家再回头算一下，刚开始我们提出的问题：若4sin 5A =
，A ∠的度数？ 生：A ∠537'48''=︒．
【设计意图】巩固训练学生能够通过计算器熟练地由三角函数值求锐角的度数，后面两道题是特殊角的三角函数值，让学生感受到这些值是不需要使用计算器，直接口算即可．最后，解决上课开始提出的问题．
【实际效果】学生基本上都能够准确熟练地操作计算器，但部分学生对转化为度、分、秒的形式还没有掌握．后面两题利用计算器计算完之后才发现
是特殊角．
3．解决实际应用题
【例1】如图，工件上有一V 形槽，测得它的上口宽20 mm ，
深19.2mm ，求V 形角(∠ACB )的大小？(结果精确到1°)
师：结合图形分析已知条件，并说出如何求角大小？
生：由题意可得，ABC ∆是等腰三角形，作CD AB ⊥，可得Rt ACD ∆．
生：在Rt ACD ∆中，1102AD AB ==，19.2CD =，因而要选择tan AD ACD CD ∠=来求ACD ∠的大小，再乘以2就可以求出V 形角(∠ACB )的大小．
生：解：∵tan ∠ACD =
2
.1910=CD AD ≈0.5208， ∴∠ACD ≈27.5°， ∴∠ACB ＝2∠ACD ≈2×27.5°＝55°．
生：我也可以利用勾股定理求出AC 的长，利用cos CD ACD AC
∠=求出ACD ∠的大小，再乘以2也可以求出V 形角(∠ACB )的大小．
生：可以，但是不如上一种方法简单，绕着有点远了，能够用己知的两边选择相应的三角函数求出角就可以了．
【设计意图】这是一道实际应用问题，想知道V 形角的大小，而直接测量存在一定的困难， 因而通过测量长度通过三角函数值来求角的大小，是很实用的一种方法，要让学生体会到数学的实用价值．
【实际效果】由于给出了示意图，学生很容易找到直角
三角形，并利用三角函数值去求角的度数，除了课本上的方
法，学生还给出了不同的解法，把问题交给学生会得到更多
的方法，由学生分析每个方法的优劣．
【例2】如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿
瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线与皮肤的夹角？
师：这是作为医生在开刀之前必须要掌握的角度，请大家务必仔细认真，事关人命！ 生：根据图示很简单，知道：在Rt △ABC 中，AC ＝6.3 cm ，BC =9.8 cm ，选择tan B =
AC BC ，即可求出射线与皮肤的夹角．
解：如图，在Rt △ABC 中， AC ＝6.3 cm ，BC =9.8 cm ，
∴tan B =8
.93.6=BC AC ≈0.6429． ∴∠B ≈32°44′13″．
因此，射线与皮肤的夹角约为32°44′13″．
生：平时常听老师说：“生活处处有数学”，通过这道题，我的感触最深了，“数学不仅就在我身边，还与我的生命息息相关”！
【设计意图】这道实际应用题更加体现了本节课知识的实用性，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，可以充分使学生感受到建立直角三角形（数学模型）的重要性、计算的重要性和学习“直角三角形边角关系”的重要性．
【实际效果】学生对这个问题感到很新奇，对于所学基本的数学知识来解决神秘的医学问题特高兴，同时也让学生课下上网多了解这方面的知识．
三、交流提高
1．让学生以小组为单位交流例题心得．
师：通过这两道实际应用题，大家认为如何将生活中的数学问题，用所学知识来解决？ 生：首先要将实际问题化归为数学问题，即构造直角三角形．
生：然后根据条件边的情况，确定要用三个三角函数中的哪一个．然后将数据代入，利用计算器求出即可．
生：如果是特殊角的三角函数值，直接写出特殊角，就不用计算器了．
2．归纳解直角三角形的基本理论依据
师：在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，,A B C ∠∠∠,所对的边分别为,,a b c ．请大家总结一下边角之间有哪些关系？
生：边的关系：222a b c +=(勾股定理)；
生：角的关系：90A B ∠+∠=︒；
生：边角关系：sin A =c a ，cos A =c b ，tan A =b a ，sin B ＝c b ，cos B ＝c a ，tan B =a
b ． 【设计意图】总结这些边角关系，为解直角三角形奠定基础，完善学生的知识结构，有利于学生系统全面了解直角三角形的边角关系，最终解决综合应用题．
【实际效果】对于边角关系，学生只想到了刚刚学到的三角函数关系，把最基础的边的关系和角的关系给漏掉了，经总结后学生的知识得到了系统归纳．
四、拓展应用
师：同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图是某公园新增设的
一台滑梯，该滑梯高度2AC =米，滑梯 3.8AB =米．若规定
ABC ∠不超过30︒时属于安全滑梯，请说明这架滑梯是否符合
要求．
生：在Rt ABC ∆中，己知2AC =， 3.8AB =，选择三角
函数正弦求出ABC ∠的度数，只要不超过30︒就安全了．
解：在Rt ABC ∆中，2AC =， 3.8AB =，
∴sin B =20.52633.8
AC AB ==， ∴∠B ≈31°45′20″>30︒，
∴这架滑梯不符号要求．
生：由“直角三角形中30︒所对的直角边生于斜边的一半”可得
当ABC ∠=30︒时，滑梯高度2AC =米，滑梯AB 应该为4米，
为了安全，ABC ∠不超过30︒，所以滑梯 3.8AB =<4米，
∴这架滑梯不符号要求．
师：那请大家思考：若要符合要求，滑梯AB 应该再加长多少？
生：由第二种方法，可知至少要加长0.2米．
【设计意图】这是一道距离学生很近也很熟悉的实际应用题，也涉及到安全问题，让学生用所学知识来检验，是“学有用的数学”最好的体现．
【实际效果】学生很感兴趣，有的说这个周末就去公园去检测一下里面的滑梯是否安全，极大地调动了学生的积极性．
五、总结升华
生：我看课本自己就学会了利用计算器由三角函数值求锐角的度数．
生：我是通过看说明书学会的．
生：对于一些特殊角的三角函数值，我们还是多记点，不需要借助计算器了．
生：通过例2，我深切感到了数学的应用价值．
生：我们系统地总结了三角形的边角关系，为解决应用题奠定了基础．
……
【设计意图】让学生小组交流，总结本节课的收获与感想，教师适当点拨与肯定．鼓励学生大胆发表见解，让学生不仅总结知识，更重要的是要通过本节课总结情感体验上的收获，进一步认识数学的应用价值，对学生的触动很大．
【实际效果】学生在这一环节能大胆发言，畅谈自己的收获与疑问，脸上露出了获取知识的喜悦．学生通过回顾本节课的学习过程，体会到“学有用的数学，学有价值的数学”，越发感到数学的亲切！
六、当堂反馈
1．根据下列条件求锐角θ的大小：
（1）sin 0.8290θ＝；（2）cos 0.8780θ＝；（3）tan 2.8266θ＝．
【考查知识点】利用计算器由三角函数值求锐角
2．在ABC ∆中，A ∠，B ∠均为锐角，且有2|tan (2sin 0B A +=，试判断ABC
∆的形状．
【考查知识点】非负数的性质、特殊角的三角函数值
3．一辆汽车沿着一山坡行驶了1000米，其铅直高度上升了50米．求
山坡与水平面所成锐角的大小．
【考查知识点】由正弦值求角度
4.．一梯子斜靠在一面墙上．已知梯长4m ，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m ，求梯子与地面所成的锐角？
【考查知识点】构造直角三角形、由余弦值求角度
七、作业设置
1．【基础】课本第22页“知识技能”第1题．
【考查知识点】利用计算器由三角函数值求锐角
2．【提升】课本第22页“问题解决”第3题．
【考查知识点】比例尺、利用计算器由三角函数值求锐角
3．【拓展】课本第22页“联系拓广”第4题．
【考查知识点】利用计算器由三角函数值求锐角、探究规律
4．【链接中考】（2012·济宁）在ABC ∆中，若A ∠，
B ∠
满足21|cos |(sin 022
A A -+-=，则C ∠=．
【考查知识点】非负数的性质、特殊角的三角函数值
教学反思：
本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的建模能力及转化思想．将现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁．
注意改进的方面：为了满足不同层次同学们的需要，布置作业时采用必做题与选做题相结合的方法，对成绩一般的同学只需完成必做题即可，而对学有余力的同学则要求必须同时
完成必做题和选做题．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．。