数学初三讲义T5Bcssx7

科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第七周
第三章圆
一、主要知识介绍
＞R
点与圆的位置关系
点在圆内＜R
轴对称垂径定理及推论
基本性质
中心对称圆心角、弦、弦心距的关系圆周角定理及推论
二、本周学习导航
1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；
2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。

一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；
3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；
4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
三、重难点分析
垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.
（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；
（2）有关圆的证明题，常常与圆心角、弧、弦密不可分。

因此，认识它们之间的关系是非常必要的。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

通过此定理，可以很清楚地表明这些量之间的关系。

同时应注意，这里所说的弧必须同指“劣弧”或者同指“优弧” .
四、型例题与分析
【例1】在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm，BC=4cm，若以C为圆心，以3cm为半径作圆，
则点A在⊙C ，点B在⊙C ，斜边上的中点D
在⊙
C .
分析：AC=3cm = r ，AC在⊙C上；
BC=4cm > r ，BC在⊙C外；
，DC在⊙C内.
【例2】⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是。

分析：如图：当点P与点A或B重合时，OP最长；
当点P在AB的中点上时，OP最短.
故作OC⊥AB，垂足为C，则，
3
4
52
2
2
2=
-
=
-
=AC
OA
OC
∴3≤OP≤5
【例3】如图，△ABC为等边三角形，在AC边外侧作AD=BC，则∠BDC= .
分析：图中有AB=AC=AD，故点B、C、D在
以点A为圆心，AB为半径的圆上(如图所示)，
∴
30
2
1
=
∠
=
∠BAC
BDC
r
cm
AB
DC<
=
=
2
5
2
1
4
2
1
=
=AB
AC
【例4】[2002.河北] 如图.AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 弦，若AB=10cm,CD=8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）.
A.12cm
B.10cm
C.8cm
D.6cm
解：过O 作OM ⊥CD ，连结OC ，由垂径定理得CM=2
1
CD=4，由勾股定理得OM=3， 而AB 两点到CD 的距离和等于OM 的2倍 ∴选D
【例5】如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB=AC ，经过点A 的弦与 BC 和BC 分别相交于点D 和E. 求证：AB 2
=AD ·AE. 证明：
连结BE ，两三角形中已有一对公共角∠BAE ， 由AB=AC 可知 ∠1=∠C ， 而∠C=∠E(同弧所对的圆周角相等)， ∴ ∠1=∠E ， ∴ △ABD ～△AEB ， ∴ AB 2=AD ·AE
【例6】 [2002.陕西] 已知，如图. BC 为半圆O 的直径，F 是半圆上异于BC 的点，A ⌒
是BF 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BF 交AD 于点E . （1） 求证：BE •BF=BD •BC
（2） 试比较线段BD 与AE 的大小，并说明道理.
解： （1）连结FC ，则BF ⊥FC.
在△BDF 和△BCF 中，
∵∠BFC=∠EDB=90ο
， ∠ FBC=∠EBD ， ∴△BDE ∽△BFC ， ∴ BE ∶BC = BD ∶BF. 即 BF •BE=BD •BC.
（2） AE>BD , 连结AC 、AB 则∠BAC=90ο
.
⌒ ⌒
AF = AB, ∴∠ABF=∠ACB.
O
A
B C
A B
C
D O
又∵∠ACB+∠ABC=90ο， ∠BAD+∠ABD=90ο， ∴∠ACB=∠BAD ， ∠ABF=∠BAD ， ∴ AE=BE. 在Rt △EBD 中， BE>BD ， ∴AE>BD.
五、双基训练
A 组
一、选择题：
1. （03广西）下列结论中，正确的是（ ）
A. 长度相等的两条弧是等弧
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 圆是轴对称图形
D. 平分弦的直径垂直于弦 2. （03四川）下列说法中，正确的是（ ）
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内
B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半
D. 等弧所对的圆心角相等 3. （03北京）如右图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果BA =10，CD =8，那么AE 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. （03武汉）过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10cm ，最短的
弦长为8cm ，那么OM 的长为（ ）
A. 3cm
B. 6cm
C.
41cm
D. 9cm
5. （03武汉）已知圆心角∠BOC =100°，则圆周角∠BAC 的度
数是（ ） A. 100° B. 130° C. 50° D. 80°
6.（04绍兴）圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示, AB =8m, ∠CAD =30°,
则大棚高度CD 约为（ ） A. 2.0m B. 2.3m C. 4.6m D. 6.9m 7.在Rt △ABC 中，AB =6，BC =8，则这个三角形的外接圆直径是（ ）
A. 5
B. 10
C. 5或4
D. 10或8 8.（03安徽）一种花边是由右边的弓形组成的，的半径为5，弦AB =8，则
弓形的高CD 为（ ）
A. 2
B.
25 C. 3 D. 3
16 9.（05马尾区）圆环形路是有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁， 四家工厂都有足够的仓库供产品储存. 现要将所有产品集中到一家
工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1∶2∶3∶5.
O
C
D
E
甲
乙
丙
丁
若运费与路程、运的数量成正比例，为使选下的工厂仓库储存所有
产品时
总的运费最省，应选的工厂是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁 10.（05重庆）如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过P 点的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A. AB ⊥CD
B. ∠AOB =4∠ACD
C.
D. PO =PD
二、填空题：
1. （03天津）若圆的一条弦长为12cm ，其弦心距等于8cm ，则该圆的半径等于
___________cm.
2. （03黑龙江）如图，在⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE
⊥CD ，垂足分别为D 、E ，若AC =2cm ，则⊙O 的半径为__________cm.
3. （03长沙）如图，OA 是⊙O 的半径，弦CD ⊥AC 于点P ，已知OC =5，OP =3，则弦
CD =______________.
4. （04常德）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是AB 弧上的一点，连结BD 并延长至E ，
连结AD ，若AB =AC ，∠ADE =65°，则∠BOC =__________度.
O A
B
C D
E O
A
C D
P A
B
C
O
D
E
（2题图） （3题图） （4题图）
5. （04常州）如图，在⊙O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O
于D ，则BC =__________cm ，∠ABD =_____________度. 6. （05天津）如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB =10cm ，PB =4cm ，OP =5cm ，
则⊙O 的半径等于___________cm.
7. （03兰州）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =30°，BC =2cm ，则△OBC 的
面积是__________cm 2.
A
B
C
O
O
A
B
C
O
P A B
（5题图） （6题图） （7题图）
8. （03兰州）D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且OD =3cm ，过点D 所有弦中最小弦
AB =_________cm. 9. （03南通）弦AB 分圆为1∶5的两部分，则劣弧
所对的圆周角等于________度.
O A B
P
C
三、解答题：
1.（03兰州）请作出如图所示的破残圆片的圆心.
2.已知；如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.
求证：△OCD为等腰三角形.
3.（05河北）工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个
如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.
图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图。

已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD. 请你结合图1中的数据。

计算这种铁球的直径。

图1
图2
B组
一、开放探索题：
1.（03甘肃）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论：
______________________________. （任写一个）
2.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，
若OP的长为整数，则满足条件的点P有（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
3.（03武汉）△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，连
结AD，要使△ABD与△ACD相似，则△ABC的边AB与AC之
间应满足条件_____________________（填入一个即可）.
4.（03贵阳）如图，在⊙O中，AB为直径，若AB⊥MN于C，试
填写一个你认为正确的结论：_________________________.
5.（03新疆）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，
垂足是E，BF⊥CD，垂足是F. 求证：CE=DF. 小明同学是这样
证明的：
证明：∵
?CD
OM⊥
，∴CM=MD.
∵
?//
//BF
OM
AE
，
∴
?MF
ME=
.
∴MD
MF
CM
ME-
=
-，
即CE=DF.
横线及问号是老师给他的批注，老师还写了如下的评语：“你
的解题思路很清晰. 但证明过程欠完整，相信你思考一下，一
定能写出完整的证明过程.”请你帮助小明订正此题，好吗？
订正：
二、实验与操作：
6.如右图，AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交
于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交
AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，
下面结论不正确的是（）
A. B.
C. EF=GH
D.
7.（04宜昌）如右图，MN所在的直线垂直平分线段AB，
利用这样的工具，最少使用________次，就可以找到圆形工件的圆心.
O
P
A B
O
M N
C
A
O
A
B E
C
D D
A B
M
N
三、实际应用题：
8.（03海南）“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的、横跨南渡江的琼州大桥，
已于今年5月12日正式通车. 该桥的两边均有五个红色的圆拱（如图（1）），其中最高的圆拱跨度为110米，拱高为22米（如图（2）），那么这个圆拱所在圆的直径为_____________米.
答案： A组
一、选择题：
1C 2 D 3 A 4 A 5 C
6 B
7 D
8 A
9 D 10 D
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案10 28 100 8，45 7cm 38 30
三、解答题：
1. 略.
2. 证明：作OE⊥CD于E，则AE=EB.
又∵AC=BD，∴CE=DE.
又OE⊥CD，∴OC=OD.
∴△OCD为等腰三角形.
3. 解：连结OA、OE，设OE与AB交于点P.
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形ACDB是矩形.
∵CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径，
∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴P A=PB
∴PE=AC=16，∴P A=8.
∵AC=BD=4，∴PE=4.
在Rt△OAP中，由勾股定理得
222OP PA OA +=，即222)4(8-+=OA OA . 解得10=OA . ∴这种铁球的直径为20cm.
B 组
1. 写出符合条件的一个即可，如∠ABO =∠AOC ，∠AOC =2∠OBC 等.
2. D.
3. AB =AC 或AB ⊥AC .
4. CM =CN 或，.
5. 订正：
证明：过O 作OM ⊥CD ，垂足为M ，则有CM =MD . ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，∴AE ∥OM ∥BF . 又∵OA =OB ，∴ME =MF .
∴MD MF MC ME -=-，即CE =DF . 6. D 7. 2 8. 159.5.。