离散人口模型

离散人口增长预测模型
1 模型假设
1）假设不考虑迁徙等社会因素的影响；
2）假设女性比和死亡率与时间无关；
3）假设生育模式只与年龄有关。

2 模型建立
按照Leslie 模型的基本思路，将考虑年龄结构和生育模式的连续型人口模型离散化，即可得到离散形式的人口模型[1]。

用)(t x i 表示第t 年i 岁（指满i 岁但达不到1+i 岁）的总人数，
1-n 0,1,2,...,i 0,1,2,...t ==；(设n 为最高年龄)，)(t b i 表示第t 年i 岁女性生育率
（每位女性平均生育的婴儿数），育龄区间为[1i ,2i ].用i k 表示i 岁人口的女性比。

于是第t 年出生的婴儿数为
)()()(2
1t x k t b t f i i i i i i ∑==
引入生育模式i h ，将)(t b i 分解为
1,)()(2
1==∑=i i i i i i h h t t b β
其中，生育模式的具体形式可取连续型人口模型给出的Γ分布。

有：
)()()(21t x k h t t f i i i i i i ∑==β， ∑==2
1)()(i i i i t b t β
)(t β是第t 年所有育龄女性平均生育的婴儿数。

若女性在整个育龄期内保持生育率不变，则)(t β就是第t 年1i 岁的每位女性一生平均生育的婴儿数，即总和生育率（简称生育率）或生育胎次，是控制人口数量的主要参数。

记i 岁人口的死亡率为i d ，存活率为1,...,2,1,0,1-=-=n i d s i i ，则
1,...,2,1,1,...,2,1,0),()1(1-=-==++n i n i t x s t x i i i
而)1(1+t x 是第t 年出生的婴儿中存活下来的数量，即)(0t f s （这里)()(0t x t f =）。

于是
i i i i i i i i k h s r t x r t t x 01),()()1(2
1==+∑=β
引入按年龄分组的人口分布向量
,...2,1,0,)](),...,(),([)(21==t t x t x t x t x T n
为了清楚地表明)(t β的作用，将L 矩阵分解成两个矩阵，记
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0...00............00...000...000...00121n s s s A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0...00...00...0..................0...00...00...00...0...0...01in i r r B 则模型（），（）式可表示为
)()()()1(t Bx t t Ax t x β+=+
由上述模型可知，此模型可以通过一个初始状态量和四个变量进行求解，分别为人口的初始分布)0(x 、当前的存活率i s 、女性比i k 、生育模式i h ，以及总和生育率)(t β。

故，只需给定这些值，便可通过此模型来预测未来的人口数量和年龄结构。

3 对生育模式i h 的研究
生育模式i h 的直接含义是，当时刻为t 时年龄为i 的女性的生育加权因子，一般记为),(t i h 。

在稳定环境下可以近似地认为它与t 无关，即)(),(i h t i h =。

)(i h 表示在哪些年龄生育率高，哪些年龄生育率低。

下面给出了)(i h 的示意图。

图 生育模式)(i h 示意图 以上示意图表明，在c i i =附近时，生育率较高。

作理论分析时，)(i h 一般采用的一种形式，是借用概率论中的Γ分布，有：
111,)
()()(1r r e i i i h i i >Γ-=---αθαθα 并取22n ==αθ，，这时有 21-+=n r r c
可以看出，提高1r 意味着晚婚，而增加n 意味着晚育。

作实际应用时，可以通过人口统计资料得知当前实行的生育模式),(t i h ，从而进行对未来的人口数量和年龄结构的预测。

单独二胎政策影响模型
1 模型思路
由统计资料可以得到人口的初始分布)0(x 及当前的存活率i s 、女性比i k ，然后保持现有生育模式i h ，就可以设定不同的总和生育率)(t β，来预测未来的人口数量和年龄结构。

设定不符合生育二胎政策的女性占同年龄段女性比例为i q （简称不符比），进而定量研究实施单独二胎政策对人口数量和结构的影响。

2 模型假设
由于政策实施的不确定性，数据的可测量性等一些实际问题的复杂因素，本模型只考虑理想状态下的情况，即符合二胎政策的女性生育二胎，不符合的生育一胎，不考虑不生和超生等其它情况，其余情况有待后续研究继续改进。

这样假
设，对后续对i q 的探究也很有裨益。

3 模型建立
1）对于没有实施单独二胎政策的地区，)(t β为1，故其离散人口增长预测模型为：
)()()1(t x B A t x +=+
2）对于实施了单独二胎政策的地区，需要分作两种情况进行讨论。

①当女性符合生育一胎政策时，)(t β为1。

设其占同年龄段所有女性比例为i q ，故其离散人口增长预测模型为：
)()()1(t x B A q t x i +=+
②当女性符合生育二胎政策时，)(t β为2，则其占同年龄段所有女性比例为（1-i q ），故其离散人口增长预测模型为：
)()2)(1()1(t x B A q t x i +-=+
③综上所述，对于实施了单独二胎的地区，其离散人口增长预测模型为：
)()2()1(t x B q B A t x i -+=+
3）对比实施了和没有实施单独二胎的地区，可得到单独二胎政策对人口数量的影响，设)1(+∆t x 为某实施了单独二胎政策的地区在)1(+t 年的人口比没有实施的地区多增长的人口数量，其模型为：
)()1()1(t Bx q t x i -=+∆
经过审慎推理，发现二胎政策的影响和矩阵A 无关，即和各阶段存活率i
s （0s 除外）无关。

此模型可以通过一个初始状态量和四个变量进行求解，分别为人口的初始分布)0(x 、当前的婴儿存活率0s 、女性比i k 、生育模式i h ，以及总和生育率)(t β。

由于通过统计资料可以得到)0(x 、0s 、i k 、和i h ，以及不符比i q （留待后续进一步探究），故可用以上模型进行定量分析，实施单独二胎政策对未来人口数量和年龄结构的影响。

4 不符比i q 的探究
1）文中假设符合二胎政策的女性生育二胎，不符合的生育一胎，故非独生女性与非独生男性结合后只能生育一胎，其后代为独生子女；非独生女性与独生男性结合，独生女性与非独生男性结合，独生女性与独生男性结合这三种情况均可生育二胎，其后代为非独生子女。

若单独二孩的政策长久不变，则不符比i q 会一个周期一个周期（一个周期为一代，一代人的时间可以用平均寿命来代替）地按照此种规律变化。

另外，如果国家生育政策得以严格执行，不发生产前鉴别性别从而违法取舍的情况，则生男生女概率一样，即非独生女性占所有同年龄段女性的比例，和非独生男性占所有同年龄段男性的比例相同。

我们把不同年龄段的不符比i q 当做一个整体q 进行研究，把不同代的不符比设为n q 。

2）设第n 代时，非独生女性占所有同年龄段女性的比例为n a ，独生女性占所有同年龄段女性的比例为n b ，即非独生男性占所有同年龄段男性的比例为n a ，独生男性占所有同年龄段男性的比例为n b 。

已知在第n 代时，不符比为n q ，故有下列关系式：
2n
n a q =
由上述关系式表明，不符比n q 只于非独生女性占所有同年龄段女性的比例n a 有关。

3）按照此种规律，根据第n 代时的n a 和n b 求第）（1+n 代时的比例1+n a 和
1+n b ，其结果如下：
22121n
n n a a a --=+ 4）由人口统计资料，可以查得实行单独二胎时的不符比，即为第一代不符
比1q 。

结合式子2n n a q =，2
2121n n n a a a --=+，可求出1+n q 。