高三数学上学期第三次月考试题文3
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普宁市第二中学2017届高三级上学期·第三次月考
文科数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。
2.用2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑;答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;不准使用铅笔或涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卷的整洁。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若集合{}
0≥=x x B ,且A B A = ,则集合A 可能是( )
A.{
}2,1 B.{}
1≤x x C.{}1,0,1- D.R 2.复数i
i
z +=
1的共轭复数在复平面上对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量,a b 满足()5a a b ⋅+=
,且2a = ,1b = ,则向量a 与b
夹角的余弦值为( ) A.
23 B.23- C.21 D.2
1
- 4.执行如图所示的程序框图,如输入的a 值为1,则输出的k 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
5.在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日.”由此推断,该女子到第十日时,大约已经完成三十日织布总量的( ) A .33% B .49% C .62% D .88%
6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )
A.
32π B.3π C.92π D.9
16π
7.为了得到x y 2cos =,只需要将)3
2sin(π
+=x y 作如下变换( )
A.向右平移3
π
个单位 B.向右平移6
π
个单位 C.向左平移12
π
个单位 D.向右平移
12
π
个单位
8.若A 为不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥≤200
x y y x 表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,则直线a y x =+扫过
A 中的那部分区域的面积为( ) A.1 B.
32 C.34 D.74
9.已知,A B 是球O 的球面上两点,60AOB ∠=︒,C 为该球面上的动点,若三棱锥O ABC -体积
的最大值为O 的体积为( )
A .81π
B .128π
C .144π
D .288π
10. 焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(122
22>>b a b
y a x =+,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个
三角形,该三角形内切圆的半径为
3
b
,则椭圆的离心率为( ) A.41 B.31 C.21 D.3
2
则关于x 的方程(),()f x a a R =∈实根个
11.已知函数
数不可能为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
()52
log 1,(1)
()(2)2,(1x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩<)
12.函数()sin(2)(,0)2
f x A x A π
θθ=+≤
>部分图像如图所示,且0)()(==b f a f ,对不同的
[]
b a x x ,,21∈,若)()(21x f x f =,有3)(21=+x x f ,则( )
A.)(x f 在)12,125(ππ-
上是减函数 B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D.)(x f 在)6
5,3(π
π上是增函数
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数3)3()(2+-+=x b ax x f ,],2[2a a x -∈是偶函数,则=+b a . 14.已知11
5
:
≥+x p ,)0(012:22><-+-m m x x q ,若p 是q 的必要不充分条件,
则实数m 的取值范围是. 15.己知03a <<,那么
a
a -+391的最小值是. 16.设函数2()3f x x ax a =-++,()2g x ax a =-.若∃0R x ∈,使得0()0f x <与0()0g x <同时成立,则实数a 的取值范围是.
三、解答题(本小题共6小题,共70分,写出文字说明,证明过程或步骤)
17.(本小题满分12分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a , b ,c ,且满足(2a ﹣c )cosB =bcosC (1)求角B 的大小; (2)设向量,求
的最大值.
18.(本小题满分12分)
在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,已知c
b
a C A B -=-2cos cos 2cos
(1) 求
a
b
的值; (2) 若角A 是钝角,且3=c ,求b 的取值范围.
19.(本小题满分12分)
设p :函数()f x =a x x --33
在12x ⎡∈-
⎢⎣内有零点; q :,0>a 函数()g x =x a x ln 2-在区间)2
,0(a
内是减函数.
若p 和q 有且只有一个为真命题,求实数a 的取值范围.
20.(本小题满分12分)
在平面四边形ACBD (图①)中,ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ,设
2=AB , 30=∠BAD , 45=∠BAC ,将ABC ∆沿AB 折起,构成如图②所示的三棱锥
ABC C -'.
(Ⅰ)当2'=
D C 时,求证:平面⊥AB C '平面DAB ;
(Ⅱ)当BD AC ⊥'时,求三棱锥ABD C -'的高.
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线x -3y =4相切. (1)求圆O 的方程;
(2)圆O 与x 轴相交于A ,B 两点,圆O 内的动点P 使|PA |,|PO |,|PB |成等比数列,求PA →·PB →
的取值范围.
A D
C
B
①
D
'
C B
A
②
22.(本小题满分12分)
设函数()ln a
f x x x x
=
+, 32()3g x x x =-- (1)讨论函数()
()f x h x x
=
的单调性; (2)如果对任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.
普宁市第二中学2017届高三级上学期·第三次月考 文科数学参考答案 1-12 ADCBB DCDDC DB
13、4 14、(0,2] 15、 16 (7,+∞)
17.解:(1)∵(2a ﹣c )cosB=bcosC , ∴(2sinA ﹣sinC )cosB=sinBcosC , ∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC , ∴2sinAcosB=sinA .(3分) 又在△ABC 中,A ,B∈(0,π), 所以,则
(6分)
(2)∵=6sinA+cos2A=﹣2sin 2
A+6sinA+1,
∴.(8分)
又,所以
,所以sinA∈(0,1].(10分) 所以当
时,的最大值为5.(12分)
18.解:(1)由正弦定理C B C A A C B C cos sin cos sin 2cos sin 2cos sin -=-
)cos sin cos (sin 2cos sin cos sin C A A C C B B C +=+∴()()C A C B +=+∴sin 2sin
π=++C B A B A sin 2sin =∴2=∴
b
a
…………………….5分 (2) 由余弦定理018391849329cos 2
2222<-=-+=⋅-+=
b
b b b b b a b A 3>∴b ① ……8分 a
c b >+ b b 23>+∴3<∴b ②……….10分
由①②得b 的范围是
(
)
3,3 ………………………………12分
19. 解:函数f(x)=a x x --33在x 内有零点等价于a 在函数y =x x 33
- (x [3,2
1
-
])的值域内.∴p :]8
11
,
2[-∈a . (4分) 函数g(x)=x a x ln 2
-在区间(0,)2
a 内是减函数.∴q :]2,0(∈a (8分)
当p 真q 假时,a []2,0-,当p 假q 真时,]2,8
11
(
∈a .
综上,a 的取值范围为[]2,0-⋃]2,8
11
((12分) 20.解:(1
)当C D '=
AB 的中点O ,连,C O DO ',
在Rt ACB ∆,Rt ADB ∆,2AB =,则1C O DO '==
,又C D '=
∴222C O DO C D ''+=,即C O OD '⊥,…………………………………………2分
又C O AB '⊥ ,AB OD O = ,,AB OD ⊂平面ABD ,C O '∴⊥平面ABD , 又C O '⊂ 平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB . ……………………5分
(2)当AC BD '⊥时,由已知AC BC ''⊥,∴AC '⊥平面BDC ',…………………7分 又C D '⊂ 平面BDC ',∴AC C D ''⊥,△AC D '为直角三角形,
由勾股定理,1C D '=
==……………………9分
而△BDC '中,BD
=1,BC '=
∴△BDC '为直角三角形,11
1122
BDC S '=⨯⨯= ……………………10分 三棱锥C ABD '-
的体积1113326
BDC V S AC ''=
⨯⨯=⨯=
.
112ABD S =⨯= ,设三棱锥C ABD '-的高为h ,则由6
22331=
⨯⨯h 解得3
6
=h .……………………12分
21.解(1)依题设,圆O 的半径r 等于原点O 到直线x -3y -4=0的距离,即r =4
1+3
=2,得圆O 的方程为x 2
+y 2
=4.
(2)不妨设A (x 1,0),B (x 2,0),x 1<x 2.
A B
C'
O
D
由x 2
=4,即得A (-2,0),B (2,0).
设P (x ,y ),由|PA |,|PO |,|PB |成等比数列,得 (x +2)2
+y 2
·(x -2)2
+y 2
=x 2
+y 2
,即x 2
-y 2
=2. ·=(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=x 2
-4+y 2
=2(y 2
-1).
由于点P 在圆O 内,故⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
+y 2
<4,
x 2-y 2
=2.由此得y 2
<1.
所以·的取值范围为[-2,0).
22.解:(1)∵h (x )=a x 2+ln x ,∴h ′(x )=-2a x 3+1x =x 2
-2a
x
3,
①当a ≤0时,h ′(x )>0,函数h (x )在(0,+∞)上单调递增;
②当a >0时,令h ′(x )>0,得x >2a ,即函数h (x )的单调递增区间为(2a ,+∞); 令h ′(x )<0,得0<x <2a ,即函数h (x )的单调递减区间为(0,2a ).
(2)由g (x )=x 3-x 2-3得g ′(x )=3x 2
-2x =3x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x -23,
因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-258,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=-8527,g (2)=1,所以g (x )max =1,⎝ ⎛⎭
⎪⎫其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2 故对任意的s ,t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12,2,都有f (s )≥g (t )成立,
等价于当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12,2时,f (x )=a x +x ln x ≥1恒成立,等价于a ≥x -x 2
ln x 恒成立,
记H (x )=x -x 2
ln x ,所以a ≥H (x )max ,H ′(x )=1-2x ln x -x ,H ′(1)=0. 令m (x )=1-2x ln x -x ,所以m ′(x )=-3-2ln x ,
由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,m ′(x )=-3-2ln x <0,所以m (x )=1-2x ln x -x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上递减,
当x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12,1时,H ′(x )>0,x ∈ (1,2]时,H ′(x )<0, 即函数H (x )=x -x 2
ln x 在区间⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12,1上递增,在区间(1, 2]上递减,
所以H (x )max =H (1)=1,从而a ≥1.。