高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法综合检测 新人教A版选修45

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第二讲 证明
不等式的基本方法综合检测 新人教A 版选修4-5
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且bc ＞ad ，则a b ，a ＋c b ＋d ，a ＋2c b ＋2d ，c
d
中最大的是( )
A.a b
B ．
a ＋c
b ＋d C.
a ＋2c
b ＋2d
D ．c d
【解析】 因为a ，b ，c ，d 均是正数且bc ＞ad ， 所以有c d ＞a b
. ①
又c d －a ＋c b ＋d ＝c b ＋d －a ＋c d
d b ＋d
＝
bc －ad
d b ＋d ＞0，
∴c d ＞
a ＋c
b ＋d
，
②
c d －a ＋2c b ＋2d ＝c b ＋2d －a ＋2c ·d d b ＋2d
＝
bc －ad
d b ＋2d ＞0，
∴c d ＞
a ＋2c
b ＋2d
.
③
由①②③知c d
最大，故选D. 【答案】 D
2．(2013·商丘模拟)已知x ＞y ＞z ，且x ＋y ＋z ＝1，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．xy ＞yz B ．xz ＞yz C ．x |y |＞z |y |
D ．xy ＞xz
【解析】 法一 特殊化法：令x ＝2，y ＝0，z ＝－1，可排除A 、B 、C ，故选D. 法二 3z ＜x ＋y ＋z ＜3x ， ∴x ＞1
3
＞z ，
由x＞0，y＞z得xy＞xz.
故D正确．
【答案】 D
3．对于x∈[0,1]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，则代数式a＋3b的值
( ) A．恒为正值B．恒为非负值
C．恒为负值D．不确定
【解析】依题意2b＞0，∴b＞0
且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，
即a＋3b恒为正值．
【答案】 A
4．已知数列{a n}的通项公式a n＝an
bn＋1
，其中a，b均为正数，那么a n与a n＋1的大小关系是( )
A．a n＞a n＋1B．a n＜a n＋1
C．a n＝a n＋1D．与n的取值有关
【解析】a n＋1－a n＝
a n＋1
b n＋1＋1
－
an
bn＋1
＝
a
bn＋b＋1bn＋1
∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N*.
∴a n＋1－a n＞0，
因此a n＋1＞a n.
【答案】 B
5．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时，正确的反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
【解析】因为自然数a，b，c中可能有：全为奇数、二奇一偶、一奇二偶、全为偶数，共4种情况，故应选D.
【答案】 D
6．设a＝lg 2－lg 5，b＝e x(x＜0)，则a与b的大小关系是( )
A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．a≤b
【解析】 a ＝lg 2－lg 5＝lg 2
5＜0.
又x ＜0，知0＜e x
＜1， 即0＜b ＜1， ∴a ＜b . 【答案】 A
7．(2012·山东高考改编)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝( )
A.23 B ．2 C ．6
D ．2或6
【解析】 ∵|kx －4|≤2， ∴－2≤kx －4≤2， ∴2≤kx ≤6，
∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}， ∴k ＝2. 【答案】 B
8．设a ＝x 4
＋y 4
，b ＝x 3
y ＋xy 3
，c ＝2x 2y 2
(x ，y ∈R ＋)，则下列结论中不正确的是( ) A ．a 最大 B ．b 最小
C ．c 最小
D ．a ，b ，c 可以相等
【解析】 因为b ＝x 3
y ＋xy 3
≥2x 3y ·xy 3＝2x 2y 2＝c ，
故B 错，应选B. 【答案】 B
9．要使3a －3b ＜3
a －
b 成立，a 、b 应满足的条件是( ) A ．ab ＜0且a ＞b B ．ab ＞0且a ＞b C ．ab ＜0且a ＜b
D ．ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 【解析】
3
a －3
b ＜3a －b ⇔(3a －3
b )3＜a －b .
⇔33ab 2＜33a 2
b ⇔ab (a －b )＞0. 当ab ＞0时，a ＞b ；当ab ＜0时，a ＜b . 【答案】 D
10．已知x ＝a ＋
1a －2(a ＞2)，y ＝(12
)b 2
－2(b ＜0)，则x ，y 之间的大小关系是 ( )
A ．x ＞y
B ．x ＜y
C ．x ＝y
D ．不能确定
【解析】 因为x ＝a －2＋1
a －2
＋2≥2＋2＝4(a ＞2)． 又b 2
－2＞－2(b ＜0)， 即y ＝(12)b 2－2＜(12)－2
＝4，
所以x ＞y . 【答案】 A
11．(2013·开封模拟)已知a 、b 为非零实数，则使不等式a b ＋b a
≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )
A ．ab ＞0
B ．ab ＜0
C ．a ＜0，b ＜0
D ．a ＞0，b ＜0
【解析】 因ab ＜0⇔a b ＋b a
≤－2，
∴a ＞0，b ＜0是a b ＋b a
≤－2的充分不必要条件． 【答案】 D
12．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则角B 适合的条件是( )
A ．0＜
B ≤π
4
B ．0＜B ≤π
3
C ．0＜B ≤π
2
D ．π
2＜B ＜π
【解析】 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c .
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ＝
a 2＋c 2
－
a ＋c
2
42ac
，
＝3a 2＋c 2－2ac
8ac
＝3
a 2＋c 28ac －14≥1
2
.
当且仅当a ＝b ＝c 时，
等号成立．
∴cos B 的最小值为1
2
.
又y ＝cos B ，在(0，π2)上是减函数，∴0＜B ≤π
3.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________． 【解析】 “三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”故应填三角形中至少有两个内角是钝角．
【答案】 三角形中至少有两个内角是钝角
14．已知a ，b ∈R ＋，则x ＝a b b a
，y ＝a a b b
的大小关系是________．
【解析】 x y ＝a b b a a a b b ＝a b －a ·b a －b ＝(a b
)b －a
，
若a ≥b ，则a b ≥1，而b －a ≤0，∴x y ≤1. 若a ＜b ，则a b
＜1，而b －a ＞0，∴x y
＜1. 综上，y ≥x . 【答案】 y ≥x
15．用分析法证明：若a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，则a ＋m b ＋m ＞a
b
.完成下列证明过程． ∵b ＋m ＞0，b ＞0，
∴要证原不等式成立，只需证明
b (a ＋m )＞a (b ＋m )，
即只需证明________． ∵m ＞0，∴只需证明b ＞a ， 由已知显然成立．∴原不等式成立．
【解析】 b (a ＋m )＞a (b ＋m )与bm ＞am 等价， 因此欲证b (a ＋m )＞a (b ＋m )成立， 只需证明bm ＞am 即可． 【答案】 bm ＞am
16．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋，且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d
a ＋
b ＋d
，则S 的取值
范围是________．
【解析】 由放缩法，得
a
a ＋
b ＋
c ＋
d ＜
a a ＋
b ＋
c ＜a
a ＋c
；
b a ＋b ＋
c ＋
d ＜b b ＋c ＋d ＜b
d ＋b
；
c a ＋b ＋c ＋
d ＜c c ＋d ＋a ＜c
c ＋a ；
d
a ＋
b ＋
c ＋
d ＜
d d ＋a ＋b ＜d
d ＋b
.
以上四个不等式相加， 得1＜S ＜2. 【答案】 (1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)若q ＞0且q ≠1，m ，n ∈N *
，比较1＋q m ＋n
与q m ＋q n
的大小．
【解】 1＋q
m ＋n
－q m －q n ＝q m (q n －1)－(q n
－1)
＝(q n
－1)(q m －1)，
①当0＜q ＜1时，q n
＜1，q m
＜1. ②当q ＞1时，q n
＞1，q m
＞1. ∴(q n
－1)(q m
－1)＞0， 故1＋q
m ＋n ＞q m ＋q n
.
18．(本小题满分12分)已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b ≥9a ＋b .
【证明】 ∵a ＞0，b ＞0， ∴(1a ＋4b )(a ＋b )＝5＋4a b ＋b a
≥5＋2
4a
b
·b a
＝9.
由a ＋b ＞0，得1a ＋4b ≥9
a ＋b
.
19．(本小题满分12分)设a ，b ，c 是不全相等的正实数． 求证：lg
a ＋b
2
＋lg
b ＋c
2
＋lg
c ＋a
2
＞lg a ＋lg b ＋lg c .
【证明】 法一 要证：lg a ＋b
2
＋lg
b ＋c
2
＋lg
c ＋a
2
＞lg a ＋lg b ＋lg c
只需证：lg(a ＋b 2·
b ＋
c 2·
c ＋a
2
)＞lg(abc )
只需证：
a ＋
b 2
·
b ＋
c 2
·
c ＋a
2
＞abc
∵a ＋b
2≥ab ＞0，b ＋c
2
≥bc ＞0，
c ＋a
2
≥ca ＞0，
∴
a ＋
b 2
·
b ＋
c 2
·
c ＋a
2
≥abc ＞0成立．
∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴上式中等号不成立． ∴原不等式成立．
法二 ∵a ，b ，c ∈{正实数}， ∴
a ＋b
2
≥ab ＞0，
b ＋c
2
≥bc ＞0，
c ＋a
2
≥ca ＞0，
又∵a ，b ，c 为不全相等的实数， ∴
a ＋
b 2·
b ＋
c 2·
c ＋a
2＞abc ， ∴lg(
a ＋
b 2·b ＋
c 2
·
c ＋a
2
)＞lg(abc )，
即lg
a ＋b
2
＋lg
b ＋c
2
＋lg
c ＋a
2
＞lg a ＋lg b ＋lg c .
20．(本小题满分12分)若0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时大于1.
【证明】 假设三数能同时大于1， 即(2－a )b ＞1，(2－b )c ＞1，(2－c )a ＞1. 那么2－a ＋b
2
≥2－a b ＞1，
同理
2－b ＋c
2
＞1， 2－c ＋a
2＞1 三式相加2－a ＋b ＋2－b ＋c ＋2－c ＋a
2
＞3，
即3＞3.
上式显然是错误的， ∴该假设不成立．
∴(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时都大于1. 21．(本小题满分12分)求证：2(n ＋1－1)＜1＋
1
2＋13＋…＋1
n
＜2n (n ∈N ＋)．
【证明】 ∵
1
k ＝
2
2k
＞
2
k ＋k ＋1
＝2(k ＋1－k )，k ∈N ＋， ∴1＋
12＋13＋…＋
1
n
＞2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )] ＝2(n ＋1－1)． 又1
k ＝22k ＜2k ＋k －1
＝2(k －k －1)，k ∈N ＋， ∴1＋
12＋13＋…＋
1
n
＜1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)] ＝1＋2(n －1)＝2n －1＜2n . ∴2(n ＋1－1)＜1＋
12＋13＋…＋
1
n
＜2n (n ∈N ＋)．
22．(本小题满分12分)等差数列{a n }各项均为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n .等比数列{b n }中，b 1＝1，且b 2S 2＝64，{ba n }是公比为64的等比数列．
(1)求a n 与b n ；
(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜34
.
【解】 (1)设{a n }的公差为d (d ∈N )，{b n }的公比为q ，则a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q
n －1
.
依题意⎩⎪⎨⎪⎧
ba n ＋1ba n ＝q 3＋nd －1
q
3＋n －1d －1＝q d ＝64， ①
S 2b 2＝6＋d q ＝64. ②
由①知，q ＝641d ＝26d
③
由②知，q 为正有理数．
所以d 为6的因子1,2,3,6中之一 因此由②③知d ＝2，q ＝8 故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8
n －1
.
(2)证明：S n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2) 则1S n ＝
1n
n ＋2＝12(1n －1
n ＋2
) ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1
S n
＝1
2
(1－
1
3
＋
1
2
－
1
4
＋
1
3
－
1
5
＋…＋
1
n
－
1
n＋2
)
＝1
2
(1＋
1
2
－
1
n＋1
－
1
n＋2
)＜
1
2
×
3
2
＝
3
4
.。