一元二次方程增长率应用题

一元二次方程增长率应用题
一、增长率问题的基本公式
1. 若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则b = a(1 + x)^n。

2. 若初始量为a，平均降低率为x，降低n次后的量为b，则b=a(1 - x)^n。

二、例题解析
（一）正向增长率问题
例1：某工厂去年1月份的产值为100万元，由于受市场经济的影响，2、3月份的产值逐月下降，平均每月下降率为x。

（1）写出3月份产值y（万元）关于x的函数关系式；
（2）如果3月份产值为81万元，求x的值。

解析：
1. （1）1月份产值为100万元，2月份产值是在1月份产值基础上下降x，则2月份产值为100(1 - x)万元。

3月份产值是在2月份产值基础上又下降x，所以3月份产值y = 100(1 - x)(1 - x)=100(1 - x)^2。

2. （2）已知3月份产值为81万元，即y = 81，那么100(1 - x)^2=81。

- 首先将方程两边同时除以100得到(1 - x)^2=(81)/(100)。

- 然后开平方可得1 - x=±(9)/(10)。

- 当1 - x=(9)/(10)时，x = 1-(9)/(10)=(1)/(10)=0.1 = 10%；
- 当1 - x=-(9)/(10)时，x = 1+(9)/(10)=1.9（增长率不能大于1，舍去）。

（二）连续两年增长率问题
例2：某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。

该公司缴税的年平均增长率为多少？
解析：
设该公司缴税的年平均增长率为x。

1. 前年缴税40万元，去年缴税是在前年基础上增长x，则去年缴税40(1 + x)万元。

2. 今年缴税是在去年基础上又增长x，所以今年缴税40(1 + x)(1 + x)=40(1 + x)^2万元。

3. 已知今年缴税48.4万元，则40(1 + x)^2=48.4。

- 方程两边同时除以40得(1 + x)^2=1.21。

- 开平方得1 + x=±1.1。

- 当1 + x = 1.1时，x=0.1 = 10%；
- 当1 + x=-1.1时，x=-2.1（增长率不能为负，舍去）。

（三）多阶段增长率问题
例3：某城市2010年底汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。

为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解析：
设每年新增汽车x万辆。

1. 2011年底汽车保有量为30×(1 - 6%)+x = 30×0.94+x万辆。

2. 2012年底汽车保有量为(30×0.94 + x)×0.94+x=30×0.94^2+0.94x+x万辆。

3. 以此类推，n年后汽车保有量为30×0.94^n+x(1 + 0.94+0.94^2+·s+0.94^n - 1)万辆。

- 根据等比数列求和公式S_n=frac{a(1 - q^n)}{1 - q}（这里a = 1，q =
0.94），n年后汽车保有量为30×0.94^n+frac{x(1 - 0.94^n)}{1 - 0.94}万辆。

- 当nto+∞时，0.94^nto0，汽车保有量的极限为(x)/(0.06)万辆。

- 因为要求汽车保有量不超过60万辆，所以(x)/(0.06)≤60，解得x≤3.6。

三、练习题
1. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为多少？
2. 某企业2015年盈利1500万元，2017年盈利2160万元。

求该企业每年盈利的年平均增长率。

3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？。