立足基础，强化能力

立足基础，强化能力
———一堂高考试题探究课及其体会
冯英杰
（江苏省运河中学，２２１３００）
在中国高考评价体系新背景下，２０２０年新课改的高考数学命题紧紧围绕着“四层”、“四翼”，在全面的基础上，注重能力素养的考查，极大地助力了高中育人方式的改革和学生的综合发展．特别是２０２０年山东省高考数学压轴题，是一大亮点．
高考评价体系是具有两面性．一方面，它可以评价考生的素质．
以“四层”为考查内容，含有“核心价值、核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，考查考生素质内涵；以“四翼”为考查要求，包括“基础性、综合性、应用性、创新性”，检测学生素质水平度；另一方面，它可以指导和评价高考命题，提高高考命题水准，促进教育改革．下面以我在２０２１届高三复习中的一堂关于本题的探究课为例，谈谈中国高考评价体系中“四层”、“四翼”的一些具体体现及教学感想．
１　案例呈现
例　（２０２０年山东数学卷）
已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ
２
ｂ
２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为
槡２２
，且过点Ａ（２，１）．
（１）求Ｃ的方程：
（２）点Ｍ，Ｎ在Ｃ上，且ＡＭ⊥ＡＮ，ＡＤ⊥ＭＮ，Ｄ为垂足．求证：存在定点Ｑ，使｜ＤＱ｜为定值．
（前一天出示问题，第二天课上评析）１．１　解法探究　各显神通
师：这道高考压轴题是解析几何题，题目背景考生十分熟悉，是直线与椭圆相结合的一道综合题，看似平淡无奇，但平淡中不乏惊喜，第一问易得椭圆
方程为：ｘ２６＋ｙ
２
３
＝１．
第二问题设新颖，设问巧妙，对考生的分析问题、探究问题、解决问题的能力区分度明显，促进了高校对人才的选拔需求，哪位同学来展示一下？
生１：我用的是韦达定理，!
!
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)设点Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２
）．因为ＡＭ⊥ＡＮ，∴→ ＡＭ·→
ＡＮ＝０，即（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０．　①当直线ＭＮ的斜率存在时，设方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，如图１．代入椭圆方程消去并整理得：
（１＋２ｋ２）ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２－６＝０．根据ｙ１＝ｋｘ１＋ｍ，ｙ２＝ｋｘ２＋
ｍ，代入①，整理可得：
（ｋ２＋１）ｘ１ｘ２＋（ｋｍ－ｋ－２）（ｘ１＋ｘ２
）＋（ｍ－１）２
＋４＝０．
整理化简，得（２ｋ＋３ｍ＋１）（２ｋ＋ｍ－１）＝０．∵Ａ（２，１）不在直线上，∴２ｋ＋ｍ－１≠０．∴２ｋ＋３ｍ＋１＝０，ｋ≠１
．于是ＭＮ的方程为ｙ＝ｋｘ－()
２３－１
３
，过定点Ｅ２３，－()
１
３
．当直线ＭＮ的斜率不存在时，可得Ｎ（ｘ１，ｙ１
），如图２．
代入（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－
１）．得（ｘ１－２）２＋１－ｙ２２＝
０．结合ｘ２１６＋ｙ２
１
３＝１，解得ｘ１＝２（舍），ｘ１＝２３
．此时直线ＭＮ过点Ｅ
２３，－()
１
３．由于ＡＥ为定值，且△ＡＤＥ为直角三角形，ＡＥ为斜边，
所以ＡＥ中点Ｑ满足｜ＱＤ｜为定值．
·
６８·《数学之友》 ２０２１年第８期
ＡＥ长度的一半
１
２
２－()２３２＋１＋()
１３槡
２＝槡
４２
(
)
３由于Ａ（２，１），Ｅ２３，－(
)１
３
，故由中点坐标公式可得Ｑ４３，()１
３，
故存在点Ｑ４３，()１
３，
使得｜ＤＱ｜为定值．师：太棒了，此种方法是解决定点问题的常规方法，求直线过定点本质还是求直线的方程，设出直线ＭＮ的方程ｙ＝ｋｘ＋ｍ以后，只要找出两个参数ｋ，ｍ的关系即可，结合条件ＡＭ⊥ＡＮ，使用韦达定理，运用设而不求的方法，列出含有参数ｋ，ｍ的代数式，化简可得ｋ，ｍ的关系，从而求出定点．值得注意的是，最后要检验斜率不存在的情况．解析几何本质是用代数的方法解决几何问题，考纲要求掌握直线与二次曲线的位置关系，与之对应的一次与二次的方程问题，韦达定理为处理二次方程根问题的有力工具，因此韦达定理在解析几何中占有重要的位置，本题还能不能从不同的角度考虑？．
生２：若直线ＭＮ斜率存在，设直线ＭＮ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２
），将直线方程ｙ＝ｋｘ＋ｍ代入椭圆方程ｘ２＋２ｙ２
－６＝０，
消去ｙ并整理，
得（
１＋２ｋ２）ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２
－６＝０．又因为ｘ１和ｘ２为方程的两根，
所以ｘ２＋２（ｋｘ＋ｍ）２－６＝（１＋２ｋ２
）（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）．所以（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＝ｘ２＋２（ｋｘ＋ｍ）２
－６
（１＋２ｋ２
）
．令ｘ＝２，可得
（２－ｘ１）（２－ｘ２）＝４＋２（ｋｘ＋ｍ）２
－６
（１＋２ｋ２
）
＝２（２ｋ＋ｍ－１）（２ｋ＋ｍ＋１）（１＋２ｋ２
）
．同理可得（１－ｙ１）（１－ｙ２）＝２（２ｋ－ｍｙ＋１）（２ｋ＋ｍ－１）
１＋２ｋ
２
．因为ＡＭ⊥ＡＮ，所以→ ＡＭ·→
ＡＮ＝０．即（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０．即（２ｋ＋ｍ－１）（２ｋ＋３ｍ＋１）１＋２ｋ
２
＝０．当２ｋ＋ｍ－１＝０时，ＭＮ过Ａ（２，１），不合题意；当２
ｋ＋３ｍ＋１＝０时，ＭＮ过２３，－()
１
３；若直线ＭＮ斜率不存在，则直线ＭＮ的方程为ｘ＝２
３
，
可得Ｍ
２３，()５３，Ｎ２３，－()
５
３，满足ＡＭ⊥ＡＮ．综上直线ＭＮ过定点Ｅ２３，－()
１
３．下同方法一．
师：非常好，此种方法也是以求直线ＭＮ方程为目标，由ＡＭ⊥ＡＮ入手，根据数量积可以得到（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０，进而联想到一元二次方程的两根式与一般式的关系，结合赋值，找到两个参数ｋ，ｍ的关系，从而求得定点．可以称为点乘双根法，此法思维发散，运算工整，要求考生有敏锐的观察想象力和扎实的数学基本功，本题还有没有其他方法？
生３：椭圆方程ｘ２６＋ｙ
２
３
＝１可化为：
（ｘ－２）２＋２（ｙ－１）２
＝－４［（ｘ－２）＋（ｙ－１）］．
设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２
），直线ＭＮ方程为ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）＝１，
则（
ｘ－２）２＋２（ｙ－１）２
＝－４［（ｘ－２）＋（ｙ－１）］［ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）］．
整理可得（２＋４ｎ）ｙ－１ｘ()
－２２＋４（ｍ＋ｎ）ｙ－１ｘ－２
＋
（１＋４ｍ）＝０．
因为
ｙ１－１ｘ１－２和ｙ２－
１ｘ２－
２为方程的两根，故由韦达定理可得
ｙ１－１ｘ１－２·ｙ２－
１ｘ２
－２＝１＋４ｍ２＋４ｎ．又因为ＡＭ⊥ＡＮ，所以ｋＡＭ·ｋＡＮ＝－１．所以１＋４ｍ２＋４ｎ＝－１，即ｎ＝－ｍ－３
４
．
所以直线ＭＮ方程为ｍ（ｘ－２）－ｍ＋()
３４（ｙ－
１）＝１．
所以ＭＮ过定点Ｅ２３，－()
１３．下同方法一．
师：非常完美，此种方法同法二，也是以（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０为基点发散，巧妙设取直线ＭＮ方程ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）＝１，利用“
１”结合椭圆方程构造齐二次式，韦达定理找到两个参数ｍ，ｎ的关系，从而求得定点．这种齐次化方法除了具有想象力和创造力外，一方面需要能对直线的方程有深入的理解，另一方面需要扎实的代数变形和运算技巧，希望大家谨记；还有其他解法吗？
生４：设Ｄ（ｍ，ｎ），直线ＭＮ的倾斜角为α，
·
７８·《数学之友》 ２０２１年第８期
则直线ＭＮ的参数方程为
ｘ＝ｍ＋ｔｃｏｓα，ｙ＝ｎ＋ｔｓｉｎ{
α
带入椭圆方程ｘ２＋２ｙ２
－６＝０，可得
（１＋ｓｉｎ２α）ｔ２＋（２ｍｃｏｓα＋４ｎｓｉｎα
）ｔ＋ｍ２＋２ｎ２－６＝０．
所以（ｍ－２）２
＋（ｎ－１）２
＝ｍ２＋２ｎ２
－６
１＋ｓｉｎ２
α
．（ ）由ｋＡＤ·ｋＭＮ＝－１，可得ｎ－１
ｍ－２
ｔａｎα＝－
１．所以ｔａｎα＝
ｍ－２
１－
ｎ．所以ｓｉｎ２
α＝ｔａｎ２α
１＋ｔａｎ２α＝（ｍ－２）２
（
ｍ－２）２＋（ｎ－１）２
．代入（ ）
，化简可得ｍ－()４３２＋ｎ－()１３２＝８
９
．故存在点Ｑ４３，()１
３
使得｜ＤＱ｜为定值．师：我完全赞同你的高见，数学大师陈省身说过：“数学的魅力在于人们不用蛮力而简捷解题”．
此法采用直线的参数方程
ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓα，ｙ＝ｙ０＋
ｔｓｉｎ{
)
α（其
中ｔ
为参数）是选修内容，参数ｔ的几何意义为有向线段的数量．本题从射影定理｜ＤＭ｜·｜ＤＮ｜＝｜ＡＤ｜
２
作为突破口，联想到直线的参数方程恰好可以处理线段的积问题，再利用垂直关系和同角三角函数的基本关系，消去变量α即可到ｍ，ｎ的关系，一气呵成，妙不可言！
师：请大家整理一下这一问共有多少种解法？其中哪几种是通法，哪几种是特技？（教师在刚才几位学生叙述时板书下来，供学生对比、整理）．
生５：生３用的是特技，其余三种是通法，分别设点、设线和利用参数方程．
师：嗯，我们既要掌握通法，也要关注特技，请大家将收获与感悟整理下来，认真反思．
２　思考与启示
２．１　一道高考好题既要下有托底上不封顶，还要考
查灵活
本题第一问比较基础，属于送分到位，第二小问有很强的综合性，考查的比较灵活，既有保底，又不封顶，考生第一步要先求出直线ＭＮ过定点Ｅ；第二步再根据定点Ｅ得到△ＡＤＥ为Ｒｔ△ＡＤＥ，斜边ＡＥ为定长，而斜边中线ＤＱ等于斜边的一半，从而求得定点Ｑ．第一步的处理是本题的关键，设计的知识点为直线过定点问题，是高考的常考内容，如果本题增加一个过渡问直线直线ＭＮ过定点，难度下降很多，但作为压轴题就会显得乏味俗套，在目前的教育模式下，这类过定点问题已经被题海战术搞得机械化了，很多考生都能不假思索得心应手的处理，因而区分度不会好，失去了为高效选拔人才的功能．而隐去这个台阶，本题就灵动起来了，考生需要结合条件分析联想，仔细寻找这个突破口．求直线过定点问题虽然是常规问题，但从不同的角度入手，解答过程也不尽相同，精彩纷呈．２．２　拾级而上，抽象推广
能否分析出直线ＭＮ过定点是本题的重要转折点，回头再进一步探究，椭圆以定点Ａ为直角顶点的内接直角三角形的斜边必过定点Ｅ，定点Ａ可以为椭圆上任意一点斜边还过定点吗？根据上述方法，经过计算，不难发现：
（１）若点Ａ（ｘ０，ｙ０
）在椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ
２
ｂ
２＝１（ａ＞ｂ＞０）上，则以定点Ａ为直角顶点的内接直角三角形的斜边直线恒过定点．根据类比推理，椭圆具有这样的性质，那双曲线和抛物线是不是也具有类似的性质呢？顺着这条思路，也可以推得：
（２）若点Ａ（ｘ０，ｙ０
）在双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ
２
ｂ
２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上，则以定点Ａ为直角顶点的内接直角三角形的斜边直线恒过定点；
（３）若点Ａ（ｘ０，ｙ０
）在抛物线Ｃ：ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０）上，则以定点Ａ为直角顶点的内接直角三角形的斜边直线恒过定点Ｐ（２ｐ＋ｘ０，－ｙ０）．２．３　改进教法，反哺教学
高考是中学教师日常教学的风向标，只有认真研究高考试题才能把握住教学中的重难点，少走弯路．高考评价体系已经从单一的“考查内容”，向“考查内容、要求、载体”三位一体的评价模式转变，从传统的“知识立意”“能力立意”向“四层”“四翼”转变．因此，在教学中，教师要坚持基础性、综合性、应用型和创新型，引导学生夯实基础知识，注重个学科之间的相互关联，形成网状知识框架，采用靠近生活、融入社会、紧跟时代的素材，鼓励学生理论与实践相结合，用知识解决实际问题，合理创设情境，让学生发现新问题，寻找新规律，探索新知识．
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８８·《数学之友》 ２０２１年第８期。