9.4解直角三角形第1课时
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解直角三角形 学习目标：
1、理解解直角三角形的概念 2、会根据三角形中的已知量正确地求未知量 3、体会数学中的“转化” 思想
回顾与思考
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a, AC=b, AB=c,
a
b
则 sinA＝ c ，sinB= c ，
b
a
cosA= c ， cosB= c ，
A
a
b
tanA= b ， tanB= a 。
A 60. B 90 A 30.
A
2
C
6
B
AB 2AC 2 2.
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b
α
A
C
最大高度约是5.8m.
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面
所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4， 斜边AB＝6，0.4 AB 6
利用计算器求得
a≈66°
α
A
C
因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
＝90°，AC＝ 3 ．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，
∠ADC＝60°求△ABC的周长.（结果保留根号）
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的
平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
解：
cos CAD AC 6 3 AD 4 3 2
A
6 43
CAD 30
所成的角大约是66°
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子 是安全的．
∵AD平分∠BAC
CD
B
CAB 60,B 30 AB 12, BC 6 3
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直 角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助 线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）； 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以 在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种 工具，能在解决各种数学问题时合理运用.
1.如图，在△ABC中，∠B=45°， ∠C=30°，
AB= 4 ，2 求AC和BC.
2.在△ABC中，∠B＝600，AD⊥BC，AD ＝ 3，AC＝ 19 ，则AB＝ ，BC＝____.
A
B
C
D
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC 的中点，∠ADC＝60°，AC＝ 3 ，求 △ABD的周长.
C
D A
B
4.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°， ∠C=120 ° ，AB=8，求CD的长
A
D
C B
5.如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
太阳光线
A
30°
60°
B
C
D
地面
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯
c b c 20 34.9. sin B sin 35
A
c
b= 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） (A)已知一直角边一锐角 (B)已知一斜边一锐角 (C)已知两边 (D)已知两角
4.（2010·重庆中考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C
子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m
的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到 0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等
于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面
c
b
B
a
C
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正 切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；对于 cosα，角度越大，函数值越小.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
Ca
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】Q tan A BC 6 3, AC 2
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边
C
你发现 了什么
（2）根据AC= 2 ，BC= 6
B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
（3）根据∠A=60°,∠B=30°, 两角
你能求出这个三角形的其他元 素吗?
不能
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素:
的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
由 sin A BC 得
B
AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的
即3条边和2个锐角.
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两 个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元 素.
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫 解直角三角形.
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2 （勾股定理） A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系
其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ B
(1) 三边之间的关系：a2+b2=__c_2__
c a
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=__90_°__ A
b
C
a
b
a
(3)边角之间的关系：sinA=___c __，cosA=__c___，tanA=___b__
一角一边 A
30
在Rt△ABC中,
1、理解解直角三角形的概念 2、会根据三角形中的已知量正确地求未知量 3、体会数学中的“转化” 思想
回顾与思考
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a, AC=b, AB=c,
a
b
则 sinA＝ c ，sinB= c ，
b
a
cosA= c ， cosB= c ，
A
a
b
tanA= b ， tanB= a 。
A 60. B 90 A 30.
A
2
C
6
B
AB 2AC 2 2.
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b
α
A
C
最大高度约是5.8m.
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面
所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4， 斜边AB＝6，0.4 AB 6
利用计算器求得
a≈66°
α
A
C
因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
＝90°，AC＝ 3 ．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，
∠ADC＝60°求△ABC的周长.（结果保留根号）
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的
平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
解：
cos CAD AC 6 3 AD 4 3 2
A
6 43
CAD 30
所成的角大约是66°
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子 是安全的．
∵AD平分∠BAC
CD
B
CAB 60,B 30 AB 12, BC 6 3
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直 角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助 线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）； 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以 在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种 工具，能在解决各种数学问题时合理运用.
1.如图，在△ABC中，∠B=45°， ∠C=30°，
AB= 4 ，2 求AC和BC.
2.在△ABC中，∠B＝600，AD⊥BC，AD ＝ 3，AC＝ 19 ，则AB＝ ，BC＝____.
A
B
C
D
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC 的中点，∠ADC＝60°，AC＝ 3 ，求 △ABD的周长.
C
D A
B
4.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°， ∠C=120 ° ，AB=8，求CD的长
A
D
C B
5.如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
太阳光线
A
30°
60°
B
C
D
地面
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯
c b c 20 34.9. sin B sin 35
A
c
b= 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） (A)已知一直角边一锐角 (B)已知一斜边一锐角 (C)已知两边 (D)已知两角
4.（2010·重庆中考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C
子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m
的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到 0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等
于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面
c
b
B
a
C
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正 切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；对于 cosα，角度越大，函数值越小.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
Ca
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】Q tan A BC 6 3, AC 2
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边
C
你发现 了什么
（2）根据AC= 2 ，BC= 6
B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
（3）根据∠A=60°,∠B=30°, 两角
你能求出这个三角形的其他元 素吗?
不能
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素:
的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
由 sin A BC 得
B
AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的
即3条边和2个锐角.
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两 个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元 素.
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫 解直角三角形.
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2 （勾股定理） A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系
其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ B
(1) 三边之间的关系：a2+b2=__c_2__
c a
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=__90_°__ A
b
C
a
b
a
(3)边角之间的关系：sinA=___c __，cosA=__c___，tanA=___b__
一角一边 A
30
在Rt△ABC中,