污染气象学课件-扩散理论

一 湍流擴散方程
dq dt
(qu)
x
(qv) y
(dq dt
x
(Kx
q) x
y
(Ky
q) y
z
(Kz
q) z
二 方程的簡化與求解
1 無風暫態點源
假定大氣的靜止的，湍流擴散係數為常數， 各向同性，則
q(x,
y,
z,
t)
8(
Q Kt )3/ 2
exp[
1 4Kt
(r2 )]
湍能擴散項
Si Ri chemis
源幹 化 排濕 學 放沉 反 項降 應
分子擴散項 忽略不計
拉格朗日方法
考慮一微粒 t位於 x ，隨後，其軌跡由X (x,t,t)描述
設粒子於t時間在一體積元的機率為
(x1, x2, x3,t)dx1dx2dx3 (x,t)d x
(x,t)為時間t，粒子位置的概率密度函數，並有
中性大氣：參量 非中性大氣： 和u* 。
u* HT
1 基本數學處理
用量綱分析的方法可得到：
垂直風速
dZ dt
bu*
(
Z L
)
(1)
式中b和 為待定的普適常數和普適函數，中性時， 1
進一步假設相應的水準位移的增長率等於在 Z 高度處的
平均風速，表示為
水準風速
d X u(cZ ) dt
(2)
2 中性層結的平均位移
2 y
y2 (T )
2v2
T 0
t
0 RL ( )d dt
定常均勻的湍流場中，粒子的湍流擴散範圍取 決於湍流脈動速度方差和拉格朗日相關性。
2.泰勒公式的另一種形式（自學）
y2(T) 2v2
T 0
t 0
RL
(
)d
dt
2v2
T
0 (T )RL ( )d
小結
擴散問題統計處理的根本目標是找出描述粒 子位移的概率分佈，即上述擴散粒子散佈方 差，再找出概率分佈函數的具體形式。其難 點在於湍流場的非定常，非均一性。
泰勒公式是理想狀況下導出的，在下墊面平 坦，氣流穩定的小尺度擴散適用，超出這樣 的範圍需作一定的修訂。
§3.4 相似理論的 基本處理
Monin(1959),Batchelor(1959,1964),Gifford( 1962)發展的相似理論，在近地層大氣湍流中 佔有重要地位。
拉格朗日相似假設：近地層中，流體質點的統 計特徵完全可用確定的歐拉特徵的參量來確定。
u2
1 R( ) 1
若為平穩湍流，則統計量與湍流起始 時刻無關，只取決於時間間隔，並有：
R( )偶函數，相對於縱坐標對稱。
原點R=1,足夠大 時，R0.
二 泰勒公式及其討論
1. Taylor（1921）用統計理論處理擴散，將
濃度分佈標準差與湍流脈動統計量聯繫。即描
述拉格朗日相關係數 RL ( ) 和 y 的定量關係
u* w*
u*
二 高階矩湍流閉合模擬
本章重點
歐拉與拉格朗日方法 空氣污染散步的基本特性 梯度輸送理論
解析解，數值解 湍流統計理論
泰勒公式，隨機遊動方法 相似理論
拉格朗日方法、歐拉方法、雲寬、大氣擴 散參數、湍流交換係數、梯度輸送理論（K 理論）
裴克擴散解
三種理論的基本原理及優缺點
當前，中小尺度數值模式大多採用高階 閉合，大尺度區域的擴散輸送問題仍然採 用K閉合。
對於不同的求解計算途徑： 解析解：簡單實用，廣泛應用於環評工作領域，
適用於均勻定常大氣狀況，有一定局限
數值解：考慮風場、湍流場、源強的時空分佈， 考慮幹濕沉積過程及化學反應，物理過程全面， 計算複雜，通常在大氣科學相關研究領域進行研 究
L
L
代入（1）和（2），並積分得
X 1
f (cz ) f (cz 0 )
zL
L dZ
b z0
(Z )
L
4 小結
相似理論是以量綱分析為基礎，基本原理為 拉格朗日相似性假設，其物理模型有2點， 1：粒子擴散特徵與流場的拉格朗日性質相關 2：近地層中，表徵流場歐拉性質的參量主要 有摩擦速度，莫寧-奧布霍夫長。
標準差 y 為在某下風 距離，污染物在y向位 移的方差，表徵與平 均值的偏離程度。
當濃度在y軸分佈為正態（高斯）分佈時，
可得
q
q e
y2
2
2 y
0
qy2
2 y
q
表徵污染物濃度與 平均值的偏離程度， 與大氣擴散能力密 切相關，稱為擴散 參數
利用煙流半寬定義有 2y0 4.3 y
Z軸也有相似的 z，z0 。
第二次作業
請扼要闡述梯度輸送理論、湍流統計理論 及相似理論描述空氣污染物散佈的原理及 主要方法，並說明這三種方法的優缺點。
作業情況
梯度輸送理論
通過歐拉方法的描述途徑，運用雷諾平均的湍流擴散方程描述污染物的濃 度分佈。方程組中的雷諾應力項採用梯度輸送理論使其閉合。即假定由湍流 運動引起的局地品質通量與該地被擴散物質的平均濃度梯度成正比，方向相 反。
第三章
空氣污染物 散步的基本 理論處理
主要內容
梯度輸送理論 湍流統計理論 相似理論
§3.1 空氣污染物散佈 的一般性描述
1 描述的基本途徑
空氣污染物擴散過程由湍流運動和氣 流平均速度差決定
常用兩種方法描述： 歐拉方法 拉格朗日方法
歐拉方法：相對固定坐標系描述污染 物的輸送和擴散。採用雷諾平均的擴 散方程，存在不閉合問題（技術難點）
500
400
300
200
100
0
-1
0
1
2
3
4
-100
垂直扩散系数
14:00
800 700 600 500 400 300 200 100
0 -0.02
NOUCM SIM UCM SIM
0 0.02 0.04 0.06 垂直扩散系数
02:00
小結
對於梯度輸送理論本身： 通量與梯度之間的線性關係只是一種假定 K不是流體的物理屬性而是運動屬性
zi 0.4 z 0.96
zi 0.96 z 1
zi
穩定大氣邊界層（ Minnesota ）
u v 1.3(1 z )
u* u*
zi
w 2(1 z )
w*
zi
中性大氣邊界層（Wyngaard，1974）
u 2.0exp( 3 fz )
u*
u*
v w 1.3exp( 2 fz )
三 方程的數值求解
q t
u
q x
v
q y
w
q z
x
(Kx
q) x
y
(Ky
q y
)
z
(Kz
q z
)
Q
解析解：採取各種近似簡化條件
數值解：考慮風場、湍流場、源強的時 空分佈，考慮幹濕沉積過程及 化學反應
水準方向離散化
沿經緯和垂直方向 劃分離散化網格
altitude
垂直方向離散化
大氣上界
200 hPa 400 hPa 600 hPa 800 hPa
拉格朗日方法：跟隨流體移動粒子來 描述污染濃度變化。採用粒子運動統 計方法，適用於平穩和均勻湍流，存 在局限
歐拉，拉格朗日方法比較
歐拉方法－污染物平流擴散方程
大氣邊界層平均量方程
ui
t
uj
u x j
i3g
f ijk c u j
1
P xi
ui 'u j ' x j
2 ui x j2
t
Q(x,t,t ') S(x ',t ')dt 'd x '
t0
歐拉方法和拉格朗日方法比較
歐拉容易測量，但有閉合問題，能夠 解決化學反應等問題
拉格朗日方法數學處理容易，但使用 範圍有限，不能處理化學反應問題
2 污染物散步的一些基本特性
正態分佈
X軸：平均風向方向 Y軸：橫截面平均風向
雲寬：沿橫風向，污 染物濃度下降到等於 軸線濃度1/10處的兩 點間距離。
uj
x j
1 Cp
LE
Q * z
u j ' '
x j
2
x j2
q
t
uj
q x j
Sq
uj 'q' x j
q
2 q x j2
歐拉方法－污染物平流擴散方程
qi u qi v qi w qi (u 'qi ') (v 'qi ') (w'qi ')
t x y z x
y
z
平流輸送項
注：採樣時間不同，污染物濃度不同，要說明採樣 時間
§3.2 梯度輸送理論的基 本處理
梯度輸送理論－歐拉途徑
由湍流運動引起的 局地品質通量與該
uq
Kx
q x
地被擴散物質的平 均濃度梯度成正比， 方向相反，稱為梯
vq
Ky
q y
湍流 擴散 係數
度輸送理論,又稱K 理論
wq
Kz
q z
注：僅只是方程中湍流通量項求解、即方程閉合求解的一種方法， 比較簡單實用，但是還存在理論基礎上的缺陷，還有其他的閉合方 法，例如高階閉合、大渦閉合等等，見邊界層理論
排放源強
qx2dx
2 x
2Kt
qdx
離源距離
q(r)
Q
3
(2 )2 x
y z
exp
x2
2
2 x
y2
2
2 y
z2
2
2 z
擴散 參數
2 無風連續點源
連續點源，可認為濃度處於定常狀態，
q 0 t
對暫態點源的情況下t從0 積分可得
q(r) Q
4 kr
濃度僅是空間座標的函數，與時間無關
3 有風暫態點源
q(x, y, z,t)
Q
exp{[(x ut)2 y2 z2 ]}
(2 )3/2 x y z
2
2 x
2 y2 2 z2
4 有風連續點源－貼近實際 重點掌
握
q t
u
q x
v
q y
w
q z
x
(Kx
q) x
y
(Ky
q) y
z
(Kz
q) z
✓座標原點在煙囪口，平均風沿x軸方向 ✓水準方向上擴散遠小於輸送作用 ✓連續點源，為定常條件 ✓湍流運動各向同性
相似理論適用於近地層內，即湍流粘滯力為 常數的薄層內。
§3.5 三種基本理論的比 較與討論
三種理論體系比較
§3.6 現代新的擴散模擬 方法的原理與發展簡介
一 隨機遊動擴散模擬
將隨機函數和隨機場理論引入研究湍流擴散。
不受平穩和均勻湍流場假設（泰勒公式需要）
描述粒子的擴散行為，採用平流輸送和湍流輸 送兩種作用，也稱為蒙特卡洛或馬爾可夫模式。
§3.3 湍流統計理論的 基本處理
湍流統計理論－拉格朗日途徑
從研究個別微團（粒子）的運動 途徑入手，通過研究湍流脈動場的統 計性質（如相關，湍強，湍譜）來描 述流場中擴散物質的散佈規律。
個別粒子的隨機運動無法描述，大量 粒子的集合趨向一個穩定的統計分佈。
解決問題關鍵：確定粒子遊走隨機函 數y（t）的概率分佈。
大氣分層
（本例31層）
地表
時間離散
中心差分
蛙跳 半顯式
非中心差分
顯式 隱式
X t
(t)
X(tt)X(tt) 2t
1
2
X t
(tt)Xt
(t)
X(tt)X(t) t
X t
(t)
X(t)X(tt) t
X t
(t)
X(tt)X(t) t
四 湍流擴散係數K
Z/M Z/M
800
700
600
中性層結，風廓線為
近
u u* ln( z )
地 層
z0
相 似
理
代入（1）和（2），並積分得
論
X Z [ln cZ 1 z0 (1 ln c)]
b z0
Z
Ellison,取b=k=0.4
卡曼常數，取0.4左右
3 非中性層結的平均位移
非中性層結，風廓線為
u u* [ f ( z ) f ( z 0 )]
(x,t)d x 1
微粒從一點遷移到另一
點的概率密度
概率密
度函數
(x,t)
Q(x,t,t) (x,t)d x
M個粒子，則在 x 點的平均濃度為
m
q(x,t) i (x, t) i 1
q(x,t) Q(x,t,t0 ) q(x0,t0 ) d x0
t
u
q x
2 q K( y2
2 q z2 )
4 有風連續點源－貼近實際
有風連續點源解為：
q(x,
y,
z,t)
Q
2 u y z
exp[(
y2
2 y
2
z2
2 z2
)]
此式稱為斐克擴散解,討論如下: ⑴ 污染濃度與源強成正比; ⑵ 離源距離越遠,濃度越低; ⑶ 擴散係數越大,濃度越低; ⑷ 污染物在橫風向及垂直向符合正態分佈
對於概率相同的無規則行走問題， 當步數充分大時，有： 1 所走距離的概率分佈接近正態分佈
2 其位移均方根（標準差）與行走時間 的平方根成正比
一 湍流擴散的拉格朗日描述與特徵
若統計量 u2 不隨時間變化，則湍流場 是平穩場 協方差 u(t)u(t ) 反映湍流空間大小和 壽命長短 根據相關係數概念 R(t,t ) u(t)u(t )
y 和 z 稱為擴散參數。具有如下性質： 1 隨著距離x加長，擴散參數變大 2 隨著大氣穩定度變化 3 相同氣象條件，地表粗糙度大，擴散參數大
大量實驗及觀測事實表明： y x p
z xg
軸線濃度
q 1
y z
?
家庭作業： 思考
採樣時間對平均濃度影響（書上P23圖）
湍流運動尺度廣 暫態：煙道窄，不規則，隨方向擺動，濃度高 長時間：煙道寬，規則，趨於平均，濃度低
不穩定大氣邊界層(Panofsky,1977)
w 0.96(3 z L )1/3
w*
zi zi
w min[0.96(3 z L )1/3, 0.763( z )0.175 ]
w*
zi zi
zi
w 0.722(1 z )0.207
w*
zi
w 0.37
w*
z 0.03 zi 0.03 z 0.4