广东省东莞市2012年普通高中高三二模(文数)

东莞市2012届高三文科数学模拟试题(二)
命题人：东莞实验中学隋传胜老师 审稿人：东莞高级中学张志峰老师
参考公式： 锥体的体积公式V =
1
3
sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的。

） 1．已知全集U=R ，集合
}{
|1A x y x
==-，集合{|0B x =＜x ＜2}，则()U C A B ⋃=
A ．[1,)+∞
B ．()1+∞，
C ．[0)∞，+
D ．()0∞，+ 2．设复数121212z i z bi z =+=+⋅，，若z 为实数，则b=
A ．2
B ．－2
C ．－1
D ．1 3．抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和不大于4的概率为 A.
16 B.19 C. 112 D.1
18
4.在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a += A ．95 B ．100 C ．135 D ．80
5．在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且2
2
2
3b c bc a +=，则A ∠等于 A ．
6π B ．3
π C ．23π D ．56π
6．已知直线l m n ，，及平面α，下列命题中是假命题的是 A ．若l ∥m ,m ∥n ,则l ∥n ； B ．若l ∥α，n ∥α，则l ∥n . C ．若l m ⊥，m ∥n ，则l n ⊥； D ．若,l n α⊥∥α，则l n ⊥；
7．在边长为1的等边△ABC 中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则 A ．
32 B ．0 C ．3
2
- D ．3 8.已知函数2
()f x x x c =++，若(0)f ＞0，()f p ＜0，则必有
A ．(1)f p +＞0
B ．(1)f p +＜0
C ．(1)f p +=0
D ．(1)f p +的符号不能确定
9．曲线32y x x =-在横坐标为-1的点处的切线为l ，则点(3,2)P 到直线l 的距离为
A
．
2 B
．2 C
．2 D
．10
10．对于函数①()|2|f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 A ．①② B ．①③ C ．② D ．③
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能做一题，两题全答的，只计算14题的得分.） （一）必做题（11～13题）
11.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长 为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何 体的侧面积．．．为 .
12.设D 是不等式组21023041
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中
的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 . 13、如图所示，这是计算111
1
246
20
++++
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，
直线PO 交圆O 于,B C 两点2AC =,120PAB ∠=，则圆O 的面积为 ．
13题图
P
A
B
O
C
15、（坐标系与参数方程选做题）极坐标系内，点(2,)2
π
关于直线cos 1ρθ=的对称点的极坐标
为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、（本题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+，(cos sin ,2cos )b x x x =-，
设()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 的最小正周期.
（2）当,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值及最小值.
17.(本题满分12分) 设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为S n ,若21,,++n n n S S S 成等差数列，求q 的值。

18.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面
PAD ABCD ⊥底面
，且2
PA PD AD ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD .
（3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
19. （本题满分14分）已知32()31f x ax x x =+-+，R a ∈． （1）当3-=a 时，求证：()f x 在R 上是减函数；
（2）如果对R x ∈∀不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．
20.（本题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物
线214y x =
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，
2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.
21.（本题满分14分）设函数2113
()424
f x x x =+-，对于正数数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()n n S f a =，()n N *
∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在等比数列{}n b ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n +++
+=-+对一切正整数n 都
成立？若存在，请求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.
东莞市2012届高三文科数学模拟试题(二)
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
DBACD BCAAC
二、填空题（每小题5分，共20分）
11.
1
2
π ；12.； 13. 20n ≤（答案不唯一，诸如21,21,22n n n <≤<等答案也是对的）；
14. 4π 15. )4
π
；
三、解答题
16.（本小题满分12分）
解：（1）()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x a b x x x x x x =⋅=+-+ ………2分 2
2
cos sin 2sin cos cos 2sin 2x x x x x x =-+=+ ………3分
)4
x π
=
+ ………5分
所以函数()f x 的最小正周期22
T π
π== ………6分
（2）当44x ππ-≤≤， ∴32444x πππ-≤+≤，1)4
x π
-≤+≤
∴当2,4
2
8
x x π
π
π
+=
=
即时，()f x ………10分
当24
4
x π
π
+
=-
，即4
x π
=-
时，()f x 有最小值1-. ………12分
17. （本小题满分12分）
解：若q ＝1，则1112)2()1(na a n a n =+++,
不合要求,232,01n n a =+∴≠ ………………3分
若q 1≠则
)1(12)1(1)1(112111n n n q q
a
q q a q q a --⋅=--+--++………………6分 n n n q q q 221=+∴++ ………………9分 2,022-=∴=-+∴q q q 或1q =（舍去）， 综上，2q =- ………………12分
18.（本小题满分14分）
（1）证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA ， …………2分 且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，
∴EF ∥平面PAD …………4分 （2）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD=AD ， 又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，…………7分 又CD ⊂平面PDC ，∴平面PAD ⊥平面PDC. …………8分
(3)
PA PD AD ==
=222PA PD AD ∴+=,
21
,1,2
PAD PA PD S ∆∴⊥=
=…………10分 又由（2）可知CD ⊥平面PAD ，CD=2，…………11分
12
12,33
P ADC C PAD V V --∴==⨯⨯=…………13分
24
22.33
P ABCD P ADC V V --∴==⨯=…………14分
19.（本小题满分14分）
解：（1）当3-=a 时，32()331f x x x x =-+-+ ……1分
∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤ ∴()f x 在R 上是减函数………………6分
（2）∵R x ∈∀不等式()4f x x '≤恒成立
即R x ∈∀不等式2
3614ax x x +-≤恒成立
∴R x ∈∀不等式23210ax x +-≤恒成立 ………………7分 当0=a 时，R x ∈∀ 210x -≤不恒成立 ………………8分
当0a <时，R x ∈∀不等式2
3210ax x +-≤恒成立
即4120a ∆=+≤………………10分 ∴1
3
a ≤- ………………11分
当0a >时，R x ∈∀不等式2
3210ax x +-≤不恒成立………………12分
综上所述，a 的取值范围是1(]3
-∞-，
………………14分
20. （本小题满分14分）
（1）解：设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+= （a ＞b ＞0），……1分
抛物线方程化为24x y =，其焦点为(0,1)， ………………2分 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b = ………………3分
由5
c e a ===，∴2
5a =， 所以椭圆C 的标准方程为 2
215
x y += ………………6分 （2）证明：易求出椭圆C 的右焦点(2,0)F ， ………………7分 设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，由题意，显然直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2
215
x y += 并整理， 得 2222(15)202050k x k x k +-+-= ………………9分
∴21222015k x x k +=+，2122
205
15k x x k -=+ ………………10分
又，110(,)MA x y y =-，220(,)MB x y y =-，11(2,)AF x y =--，22(2,)BF x y =--，而 1MA AF λ=， 2MB BF λ=，
即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ=
-，222
2x x λ=-， ……………………12分 所以 121212
12121212
2()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++ ………14分
21. （本小题满分14分）
解：（1）由2113
()424
f x x x =
+-，()n n S f a = ，()n N *∈ 得2113424n n n S a a =+- ()n N *
∈ ① ………2分
2111113
424
n n n S a a +++=+- ， ②
即 221111111()422
n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-+-， ………4分 即
22
1111()()042
n n n n a a a a ++--+= ， 即 11()(2)0n n n n a a a a +++--=
∵n a ＞0，∴12n n a a +-= ，即数列{}n a 是公差为2的等差数列，……7分 由①得，21111113
424
S a a a ==
+-，解得13a =， 因此 ，数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. ………9分 （2）假设存在等比数列{}n b ，使得对一切正整数n 都有
111222(21)2n n n a b a b a b n +++
+=-+ ③
当2n ≥时，有1122112(23)2n n n a b a b a b n --++
+=-+ ④
③－④，得 2(21)n n n a b n =+，
由21n a n =+得，2n n b = ………………13分 又11162(211)a b ==⨯+满足条件，
因此，存在等比数列{}
2n
，使得111222(21)2n n n a b a b a b n +++
+=-+对一切正整数n 都
成立. …………………14分。