2016届辽宁省锦州市高三下学期质量检测二文科数学试卷

2016届辽宁省锦州市高三下学期质量检测二文科数学试卷
一、单选题
1．已知集合{|1}M x x =<，{|21}x
N x =>,则M N =I （ ）
A ．∅
B ．{|01}x x <<
C ．{|0}x x <
D ．{|1}x x < 答案： B 解答：
{|21}(0,+)x N x =>=∞，{|1}(0,+)=(0,1)M N x x =<∞I I ，选B.
2．已知12()()a i bi i +-=（其中,a b 均为实数，i 为虚数单位），则a bi +等于（ ） A ．2
B C ．1
D ．1 答案： B 解答：
1212((0))()a i bi i a b ab i i a b +-=⇒++-=⇒+=，
12ab a b -=⇒=-，2211ab a b =-⇒==，a bi +==故选B.
3．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”
B ．“1m =”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件
C ．命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是﹕“x R ∀∈，均有210x x ++<”
D ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A B =，则sin sin A B =”的否命题为真
命题 答案： D 解答：
命题“若21x =，则1x =” 的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”；
“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直” 的充要条件2101m m -=⇔=±；
命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<” 的否定是﹕“x R ∀∈，均有210x x ++≥”；
命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角， 若A B =，则sin sin A B =” 的否命题为“已知A 、B 为一个三角形的两内角， 若A B ≠，则sin sin A B ≠”为真命题.故选D. 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（ ）
A B ．1
C
D 答案： A 解答：
三棱锥的高为1，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，四个表面皆为直角三角形，面积分
别为
1122
⨯=
，1
1212⨯⨯=，111,222==，因此最大的
.故选A. 5．如图是秦九韶算法一个程序框图， 则输出的S 为（ ）
A ．1030020[()]a x a x a a x +++的值
B ．3020100[()]a x a x a a x +++的值
C ．0010230[()]a x a x a a x +++的值
D ．2000310[()]a x a x a a x +++的值 答案： C 解答：
第一次循环：2k =，230S a a x =+； 第二次循环：1k =，12300()S a a a x x =++； 第三次循环：0k =，1200300[()]S a a a a x x x =+++； 结束循环，输出1200300[()]S a a a a x x x =+++.故选C.
6．已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =-的最大值为 （ ）
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3 答案： C 解答：
可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，因此直线2z x y =-过
C 点时取最大值1.故选C.
7．某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：元）之间有如下数据，根据表中提供的全部
数据，用最小二乘法得出 与 的线性回归方程为8.5.5ˆ7y x =+，则表中m 的值为（ ）
A ．50
B ．55
C ．60
D ．65 答案： C 解答：
2456855x ++++=
=，25355575190
55
m m y +++++==，
又8.57.550y x =+=，因此
190
505m +=，60m =，选C. 8．已知函数2
()2f x x =-+，2()log ||g x x =，则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案： B 解答：
()()()F x f x g x =⋅为偶函数，所以去掉A,D ；
又(]0,1x ∈时，()()(0)F x f x g x =≤⋅，因此选B.
9．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此
平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于16+，则球O 的体积等于（ ）
A
B ．
3
C ．
3
D ．
3
答案： D 解答：
当四棱锥体积取得最大值时，SO ⊥面ABCD ，
因此2
2))416R +=+=，
球O 的体积等于
3433
R π=，选D.
10．双曲线C 的中心在原点，焦点在y C 与抛物线2
4y x =的
准线交于,A B 两点，4AB =，则双曲线C 的实轴长为（ ）
A B ．2
C ．
D ．4 答案： C 解答：
由题意可设双曲线222:C y x a -=，又抛物线2
4y x =的准线1x =-，所以,A B 坐标为
(1,2)-±，因此222213,2a a =-== C.
11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(4())f x f x =+，且当
,0[]2x ∈-时，1
))12
((x f x =-，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0
a f x x -+= (1)a >恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．0)
B ．2)
C ．2)
D ．2] 答案： B 解答：
由(4())f x f x =+得4T =，作出图像如下.
关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根， 就是函数()y f x =与()log 2a y x =+有三个不同的交点，
即1,log 223,log ()()623)2a a a a >+⇒∈><+，选B.
12．不等式x e x ax ->的解集为P ，且[0,2]P ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)e -∞- B ．(1,)e -+∞ C ．(),1e -∞+ D ．(,)1e ++∞ 答案： A 解答：
即不等式x e x ax ->在[0,2]上恒成立，当0x =时，不等式恒成立，当0x ≠时，则
min 1()x e a x <-，2(]0,x ∈，令1x
e y x
=-，2(]0,x ∈，则1()01x e x y x x ='-=⇒=，列
表分析可得1x =时1x
e y x
=-取最小值1e -，从而a 的取值范围是(),1e -∞-.故选A. 二、填空题
13．已知函数2,(()110
)0
,x x f x f x x ⎧≤=⎨-->⎩，则2log ()9f = ．
答案：
5516
-
解答：
22222log 9log 911log 92()2log 93()()()()3log 944
f f f f f =--=--=--=--2lo
g 949552441616
-=-=
-=-. 14．若ABC ∆的三边,,a b c 及面积S 满足22
()S a b c =--，则sin A = ．
答案：
817
解答：
由余弦定理得2
2
1
22cos sin (2
)S a b c bc bc A bc A =--=-=
，所以sin 4cos 4A A +=， 由22sin cos 1A A +=，解得2
2sin s (11)in 4A A +-=，8sin 17A =（0舍去）.
15.已知向量AB uu u r
与AC uuu r 的夹角为120︒，且3AB =uu u r ，2AC =uuu r ，若AP AB AC λ=+uu u r uu u r uuu r ，且
AP BC ⊥uu u r uu u r
，则实数λ= ．
答案：
712
解答：
因为1
32()32
AB AC ⋅=⨯⨯-=-uu u r uuu r ，
所以()()(1)(3)490AP BC AB AC AC AB λλλ⋅=+⋅-=--+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，解得7
12
λ=. 16．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，有下列命题： ①若A B C >>，则sin sin sin A B C >>； ②若
cos cos cos A B C
a b c
==，则ABC ∆为等边三角形； ③若sin2sin2A B =，则ABC ∆为等腰三角形； ④若1tan 1tan ((2))A B ++=，则ABC ∆为钝角三角形； ⑤存在,,A B C 使得tan tan tan tan tan tan A B C A B C <++成立. 其中正确的命题为 ．（写出所有正确命题的序号）.
答案： ①②④ 解答：
若A B C >>，则sin sin sin a b c A B C >>⇒>>；若cos cos cos A B C
a b c
==
， 则
cos cos s (in 0sin sin )A B
A B A B a b A B
=⇒-=⇒=⇒=，同理可得a c =， 所以ABC ∆为等边三角形；
若sin2sin2A B =，则22A B =或2+2A B π=， 因此ABC ∆为等腰或直角三角形；
若1tan 1tan ((2))A B ++=，则tan tan 1tan tan A B A B +=-，
因此tan(314
)A B C π
+=⇒=，ABC ∆为钝角三角形； 在ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++恒成立，因此正确的命题为①②④.
三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131
n n n b b b b
a =++++++++L ，求数列{}n
b 的通项公式； （3） 令()4
n n
n a b c n N *=∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 答案：
（1）2()n a n n N *
=∈；
（2）2(31)()n n b n N *=+∈；
（3） 1(21)33(1)
()42
n n n n n T n N +*-⨯++=
+∈. 解答：
（1）当1n =时，112a S ==，
当2n ≥时，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+--=，
知12a =满足该式，∴数列{}n a 的通项公式为2()n a n n N *
=∈．
（2）∵31223(1)31313131
n n n b b b b
a n =
++++≥++++L ，①
∴311212313131313131n n n n n b b b b b
a +++=
++++++++++L ，② ②-①得：11111
2,2(31)31n n n n n n b a a b +++++=-==++，故2(31)()n n b n N *
=+∈. （3）(31)34
n n
n n n a b c n n n ==+=⋅+，
∴23123(1323333)(12)n n n T c c c c n n =++++=⨯+⨯+⨯++⨯++++L L L ，
令231323333n
n H n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，③
则234113233333n n H n +⨯+⨯++⨯=⨯+L ，④ ③-④得：
21
133(13)233331333
n n n n n n n H ++-=++--⨯=-⨯-++L ，
∴1(21)33
4
n n n H +-⨯+=，
∴数列{}n c 的前n 项和1(21)33(1)
()42
n n n n n T n N +*-⨯++=
+∈． 18．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；
（2）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.
答案：
（1）见解析；
（2）815P =
. 解答：
（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=,所以高为
0.30.065
=.频率直方图如下：
第一组的人数为1202000.6=,频率为0.0450.2⨯=,所以20010000.2
n ==. 由题可知, 第二组的频率为0.3,第二组的人数为10000.3300⨯=,所以1950.65300p =
=. 第四组的频率为0.0350.15⨯=,第四组的人数为10000.15150⨯=,
所以1500.460a =⨯=.
（2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为
60:302:1
=,所以采用分层抽样法抽取6人, [40,45)岁中有4人, [45,50)岁中有2人. 设[40,45)岁中有4人为a 、b 、c 、d ,[45,50)岁中有2人为m 、n ,则选取2人作为领队的有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a m a n b c b d b m b n
(,),(,),(,),(,),(,),(,)c d c m c n d m d n m n ，共15种；
其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a m a n b m b n c m c n d m d n ，共8种. 所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815
P =. 19．如图, 在四棱锥P ABCD -中, 底面ABCD 为直角梯形,//,90AD BC ADC ∠=︒,平面PAD ⊥底面ABCD ,Q 为AD 的中点,M 是棱PC 的的中点，2PA PD ==，1
12
BC AD ==，CD =.
（1）求证：平面PBQ ⊥平面PAD ；
（2）求四面体C BQM -的体积.
答案：
（1）见解析；
（2）14
. 解答：
（1）证明：∵//AD BC ，12
BC AD =
，Q 为AD 中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形．∴//CD BQ , ∵90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒,即BQ AD ⊥.
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =，
BQ ⊂平面ABCD ，∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PBQ ，∴平面PBQ ⊥平面PAD ．
（2）∵C BQM M BCQ V V --= ，且12
M BCQ P BCQ V V --=，
由（1）可知：四边形BCDQ 为矩形，∴122BCQ S BQ BC ∆=
⋅= , ∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥，
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =，
∴PQ ⊥平面ABCD ，在Rt PDQ ∆，222PD PQ DQ =+，PQ =
∴111122324
C BQM P BCQ V V --==⨯⨯=.
20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2，且过其右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点P 是椭圆C
的一个动点，直线:l y x =+C 交于,A B 两点，求PAB ∆面积的最大值.
答案：
（1）22
1164
x y +=； （2
）10(7
. 解答：
（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为2
，∴2c e a ==
，∴2c =，即2243c a =，又∵过椭圆右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2， ∴2
2211c a b +=，∴2223141a a b +=，即24b =，又222a b c -=，所以2222344a b c a =+=+，即2
16a =，所以椭圆C 的方程为：∴22
1164x y +=. （2
）联立直线:42l y x =+与椭圆C
的方程，得22421164
y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y ，整理可得2712520x x +-=，即(726)(2)0x x +-=，解得2x =或267x =-，
所以不妨设A
，26,7(B -
，则AB == 设过P 点且与直线l 平行的直线L
的方程为：y x m =
+，L 与l 的距离就是P 点到
AB
的距离，即PAB ∆的边AB 上的高，只要L 与椭圆相切，就有L 与AB 的最大距离，即得最大面积.
将4y x m =+代入221164
x y +=
，消元、整理，可得：22716640x m ++-=，
令判别式222471664()()25628640m m ∆=-⨯⨯-=-+⨯=，
解得m == ∴L 与AB
=
∴PAB ∆
面积的最大值为：1102197
(=. 21．已知函数2()ln f x x mx =-，21()2
g x mx x =+，m R ∈.令()()()F x f x g x =+. （1）当12
m =
时，求()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立, 求整数m 的最小值； （3） 若2m =-,正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=,
证明：1212
x x -+≥
. 答案：
（1）(0,1)；
（2）2；
（3）见解析.
解答： （1）21()ln 2
f x x x =-,211()x f x x x x -'=-=，(0)x >. 由()0f x '>得210x ->，又0x >,所以01x <<,所以()f x 的单增区间为(0,1).
（2）令21()()(1)ln (1)12
G x F x mx x mx m x =--=-+-+, 所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x
-+-+'=-+-=.
当0m ≤时，因为0x >,所以()0G x '>,所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为3(1)202
G m =-
+>,所以关于x 的不等式()0G x ≤不能恒成立, 当0m >时,((()11))m x x m G x x
-+'=-. 令()0G x '=得1x m =,所以当1()0,x m
∈时,()0G x '>； 当,()1x m ∈+∞时,()0G x '<；因此函数()G x 的最大值为11ln 2()G m m m
=-. 令1()ln 2h m m m =-,因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<, 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞是减函数, 所以当2m ≥时, ()0h m <.
所以整数m 的最小值为2.
（3） 当2m =-时，2()ln F x x x x =++，0x >,由1212()()0F x F x x x ++=,
即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=.
化简得221122121()())l (n x x x x x x x x +++=⋅-,
令12t x x =,则由()ln t t t φ=-得1()t t t
φ-'=, 可知()t φ在区间(0,1)上单调递减；在(1,)+∞上单调递增, 所以()(1)1t φφ≥=.
所以21212()()1x x x x +++≥,
即12x x +≥成立. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为1212
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)6π
，判断点P 与直线l 的位置关系；
（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值. 答案：
（1）见解析；
（2）最小值为
12，最大值为52． 解答：
（1）将点6(4,)P π
化为直角坐标，得到：()2P ，
将直线l
的参数方程121x t y ⎧⎪=-⎨=⎪⎪⎪⎩（t
为参数）转化为直角坐标方程为：1y =-，
152=≠，所以点P 坐标不满足直线l 的方程， 所以点P 不在直线l 上．
（1）因为点Q 在曲线C 上，故可设点(cos ,2sin )Q θθ+， 点Q
到直线10l y --=的距离为：
2cos 3
62()d π
θ+-==， 所以当)os(c 16πθ+
=时，min 12d =， 当os 6(1)c πθ+=-时，max 52
d =
. 故点Q 到直线l 的距离的最小值为12，最大值为52． 24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-.
（1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；
（2）已知2a >，求证：x R ∀∈，()()2f ax af x +>恒成立. 答案：
（1）()35,22
-；
（2）见解析.
解答：
（1）(1)(2)4f x f x +++<，即14x x -+<，
①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-
， ∴302
x -<≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立， ∴01x <≤是不等式的解；
③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <
， ∴512
x <<是不等式的解． 综上所述，不等式的解集为()35
,22-．
（2）证明：∵2a >， ∴()()2222f ax af x ax a x ax ax a +=-+-=-+- 2222222ax a ax ax a ax a =-+-≥-+-=->， ∴x R ∀∈，()()2f ax af x +>恒成立．。