2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业52 含答案

课时作业52 椭圆
一、选择题
1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 2
3＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一
个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A ．2 3
B ．6
C ．4 3
D ．12
解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.
答案：C
2．椭圆x 2
9＋y 2
4＋k ＝1的离心率为4
5
，则k 的值为( )
A ．－21
B ．21
C ．－1925
或21
D .19
25
或21
解析：若a 2
＝9，b 2
＝4＋k ，则c ＝5－k ， 由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－19
25； 若a 2
＝4＋k ，b 2
＝9，则c ＝k －5， 若c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案：C
3．(2017·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y
2
5＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1
的中点在y 轴上，则|PF 2|
|PF 1|
的值为( )
A .514
B .513
C .49
D .59
解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM∥PF 2，∵OM⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2
a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×
3
13
＝
5
13，故选B . 答案：B
4．(2016·新课标全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距
离为其短轴长的1
4
，则该椭圆的离心率为( )
A .13
B .12
C .23
D .34
解析：解法1：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc
b 2＋
c 2＝14×2b，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2
，所以c 2
a 2＝14，
即e 2
＝14，所以e ＝12(e ＝－12
舍去)，故选B .
解法2：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得
bc
b 2＋
c 2
＝14
×2b，所以bc a ＝14×2b，所以e ＝c a ＝12，故选B . 答案：B
5．已知椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直
于A 1A 2的直线，与椭圆的一个交点为P ，则使得PF 1→
·PF 2→
<0的点M 的概率为( )
A .2
2 B .
22
3 C .
63
D .12
解析：设P(x ，y)，PF 1→
＝(－c －x ，－y)，PF 2→
＝(c －x ，－y)，∵PF 1→
·PF 2→
＝(－c －x ，－y)·(c －x ，－y)＝x 2＋y 2－c 2＝x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24－3＝3x 2
4－2<0，∴－263<x<263.∴使得PF 1→·PF 2→<0的点M
的概率为2×
26
32×2＝6
3
.
答案：C
6．(2017·湖北武昌调研)已知椭圆x 2
a ＋y 2
b ＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0
的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是( )
A .24
B .34
C .
33
D .
22
解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P(m ，n)，则⎩⎪⎨⎪⎧
n m ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，b·m －c 2＋c·n 2＝0
⇒
⎩⎪⎨⎪⎧
n m ＋c ＝c b ，
bm －bc ＋nc ＝0，
所以m ＝b 2c －c
3b 2＋c
2＝
2
－2c 2
a
2＝(1－2e 2
)c ，n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c 2＝2bc
2
a
2＝
2be 2
.因为点P(m ，n)在椭圆上，所以－2e 2
2c
2
a
2＋4b 2e 4
b
2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e 6
＋
e 2
－1＝0，将各选项代入知e ＝
2
2
符合，故选D . 答案：D 二、填空题
7．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y
2
b 2＝1的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的方程为________．
解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)， 即为椭圆的顶点，故b ＝1.
故a 2
＝b 2
＋c 2
＝5，椭圆方程为x 2
5
＋y 2
＝1.
答案：x 2
5
＋y 2
＝1
8．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝π
4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个
焦点之间的距离为________．
解析：如图，设椭圆的标准方程为x 2
a 2＋y 2
b 2＝1，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA＝π
4，BC
＝2，∴点C 的坐标为C(－1,1)．又∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2
＝4
－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为46
3
.。