2022-2023学年北京市昌平区高二上册期末数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年北京市昌平区高二上册期末数学质量检测试题
一、单选题
1．已知直线:20+-=l x y ，则直线l 的倾斜角为（）
A ．
π4
B ．
π2
C ．
2π3
D ．
3π4
【正确答案】D
【分析】将直线方程化成斜截式，可得直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得答案.【详解】解：因为直线:20+-=l x y ，化成斜截式为2y x =-+，所以直线l 的斜率1k =-，设直线l 的倾斜角为θ，则有tan 1θ=-，又因为[0,π)θ∈，所以3π4
θ=.故选：D
2．已知()(),1,2,2,,1a x b y =-= ，且a b
∥，则xy =（
）
A ．92
-
B ．2
C ．2
-D ．8
【正确答案】B
【分析】先利用向量平行充要条件求得1
4,2
x y =-=-，进而求得xy 的值.
【详解】()(),1,2,2,,1a x b y =-= ，且a b
∥，
则()1201120xy y -⨯=⎧⎨⨯--=⎩，解之得124y x ⎧
=-
⎪⎨
⎪=-⎩
，则()1422xy =-⨯-=故选：B
3．椭圆22
1259
x y +=的右焦点坐标为（
）
A ．()5,0-
B ．()
3,0C ．()
4,0D ．()
5,0【正确答案】C
【分析】利用椭圆的标准方程判断其焦点位置并求得c ，从而得解.
【详解】因为椭圆22
1259
x y +=，
所以椭圆焦点落在x 轴上，2225,9a b ==，所以22225916c a b =-=-=，则4c =，
所以椭圆22
1259
x y +=的右焦点坐标为(),0c ，即()4,0.
故选：C.
4．已知正方体11111,,,ABCD A B C D AB a AD b AA c -=== ，点E 是1BB 的中点，则DE =
（
）
A ．12a b c
++ B ．12a b c
+- C ．12
a b c
-- D ．12
a b c
-+ 【正确答案】D
【分析】先用空间向量的减法表示DB
，然后再用空间向量的加法表示DE .
【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==
，则DB AB AD a b =-=-
，
又点E 是1BB 的中点，则11111222
BE BB AA c ===
，
所以12
DE DB BE a b c =+=-+ .
故选：D.
5．在5(3)x -的展开式中，3x 的系数为（）A ．270-B ．90
-C ．90
D ．270
【正确答案】C
【分析】利用二项展开式通项即可求得3x 的系数【详解】5(3)x -的展开式的通项515C (3)r r
r
r T x
-+=-
令53r -=，则2r =，则3x 的系数为22
5C (3)90
-=故选：C
6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥
B ．若,,m n αβαβ⊥∥∥，则m n ⊥
C ．若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥
D ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥【正确答案】C
【分析】利用长方体模型举反例排除A ，B ，D ，再证明C 正确即可.【详解】作长方体1111ABCD A B C D -，
对于选项A ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面1111D C B A ，直线m 为直线BC ，直线n 为直线11C D ，则,,m n αβαβ⊂⊂∥，但直线,m n 异面，选项A 错误；
对于选项B ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ，直线m 为直线11C D ，直线n 为直线1CD ，则,,m n αβαβ⊥∥∥，但直线,m n 不垂直，选项B 错误；
对于选项D ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ，直线m 为直线1C C ，直线n 为直线11C D ，则,,m n m n αβ⊥⊥∥，但平面,αβ垂直，选项D 错误；对于选项C ，如图过直线n 作平面γ与平β交，且l βγ= ，因为//n β，γ⊂n ，l βγ= ，所以//n l ，又//m n ，所以//m l ，因为//m l ，m α⊥，所以l α⊥，又l β⊂，所以αβ⊥，选项C 正确.
故选：C.
7．“2m =”是“双曲线2
2
21y x m
-=的渐近线方程为2y x =±”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】双曲线渐近线方程为b
y x a
=±
，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若2m =，则2
2
212
y x -=，则渐近线方程为2y x =±；
若渐近线方程为2y x =±，则21
m b a ==，则2m =±，故“2m =”是“双曲线2
22
1y x m -=的渐近线方程为2y x =±”的充分而不必要条件，故选：A.
8．已知直线:1l y kx =-与曲线2:14
x
C y =-有公共点，则实数k 的取值范围是（
）
A ．11,22⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
B ．[]22-,
C ．][(),22,∞∞--⋃+
D ．11,22⎛⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪
⎥⎢⎝⎦⎣⎭
【正确答案】D
【分析】根据曲线方程可得曲线C 为椭圆2
214x y +=的上半部分包括x 轴上的部分，由直线经过定点
()0,1P -，数形结合即可求解.
【详解】将214
x y =-()22
104x y y +=≥，故曲线C 为椭圆2214x y +=的上半部分包括x 轴上的部分，
:1l y kx =-经过定点()0,1P -,曲线C 与x 轴的交点为()()2,0,2,0A B --,11
,22
AP PB k k ==-，
当直线:1l y kx =-与曲线2
:14
x
C y -PB k k ≤或AP k k ≥，即12k ≥或12k ≤-，
故选：D
9．某社区征集志愿者参加为期5天的“垃圾分类，全民行动”的宣传活动，要求志愿者每人只参加一天且每天至多安排一人.现有甲､乙､丙3人报名，甲要求安排在乙､丙的前面参加活动，那么不同的安排方法共有（）
A ．18种
B ．20种
C ．24种
D ．30种
【正确答案】B
【分析】根据组合以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意可知：需要从5天中选择3天分别安排甲乙丙3名志愿者，且甲在乙丙的前面，第一步：从5天中选择3天，共有35C 10=种选择，
第二步：将甲乙丙按照“甲乙丙”或者“甲丙乙”的顺序安排在已选好的3天中，共有2种选择，根据分步乘法计数原理得：不同的安排方法共有21020⨯=，故选：B
10．已知正四棱锥P ABCD -的八条棱长均为4,S 是四边形ABCD 及其内部的点构成的集合.设集合
{}|3T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（
）
A ．
3π
4
B ．π
C ．2π
D ．3π
【正确答案】B
【分析】由题意，相当于求出以P 为球心，3为半径的球与底面ABCD 的截面圆的半径后，即可求区域的面积.
【详解】解：设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为正方形ABCD 的中心，如图，
且1
24222
BO =
=221682PO PB OB =--因为当3PQ =时，故221OQ PQ PO =-=，
故T 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆上以及圆内，而正方形ABCD 内切圆的圆心为O ，半径为21>，故T 的轨迹在正方形ABCD 内部，故其面积为π.故选：B.
二、填空题
11．已知直线12:210,:310l ax y l x y ++=-+=.若12l l ⊥，则实数=a __________.【正确答案】6
【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解.【详解】由于12l l ⊥，所以230a -⨯=，解得6a =故6
12．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数共有__________个．（用数字作答）【正确答案】12
【分析】由分步乘法计数原理结合排列组合直接求解即可．
【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，
从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有2
3A 326=⨯=种可能，
故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2612⨯=．故12．
13．若4234
01234(12)x a a x a x a x a x +=++++，则13a a +=__________.（用数字作答）
【正确答案】40
【分析】利用赋值法求解.
【详解】解：由4234
01234(12)x a a x a x a x a x +=++++，
令1x =，得0123481++++=a a a a a ，令=1x -，得012341a a a a a -+-+=，两式联立得1340a a +=，故40
14．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线:G 22
4x y xy +=+就是其中之一（如图）.给出下
列四个结论：
①曲线G 有且仅有四条对称轴；
②曲线G 上任意两点之间的距离的最大值为6；
③曲线G 恰好经过8个整点（即横坐标､纵坐标均为整数的点）；④曲线G 所围成的区域的面积大于16.其中所有正确结论的序号是__________.【正确答案】①③④
【分析】设点()00,P x y 是曲线G 上任意一点，分别求出点()00,P x y 关于x 轴、y 轴、直线y x =、直线y x =-对称的点，检验是否满足方程可得有四条对称轴.再由图象知，没有其他的对称轴即可判断①
正确；根据基本不等式可得4xy ≤，即有228x y +≤，所以曲线G 上任意一点到原点的距离d ≤进而可判断②错误；分别令0x =，1x =±，2x =±，可得到8个点的坐标，进而说明当2x >时，不存在这样的点，即可判断③正确；易知曲线G 的范围大于以()2,0-，()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，
()2,2，()0,2-，()0,2这8个点构成的正方形，又正方形的面积为16，即可得到④正确.
【详解】对于①：设点()00,P x y 是曲线G 上任意一点，则有22
00004x y x y +=+成立.
显然点()00,P x y 关于x 轴的对称点()100,P x y -，点()00,P x y 关于y 轴的对称点()200,P x y -，点()00,P x y 关于直线y x =的对称点()300,P y x ，点()00,P x y 关于直线y x =-的对称点()400,P y x --也满
足该式成立，所以x 轴、y 轴、直线y x =、直线y x =-都是曲线G 的对称轴.由图象易得，曲线G 没有其他的对称轴，故①正确；
对于②：因为22
2x y xy +≥，当且仅当x y =时，等号成立.
所以有42xy xy +≥，则4xy ≤，所以有22
48x y xy +=+≤，
即曲线G 上任意一点到原点的距离d =≤=又曲线G 的图象关于O 点中心对称，
所以曲线G 上任意两点之间的距离的最大值为2d =对于③：令0x =，则24y =，解得2y =±，可得点()0,2-，()0,2；
令1x =±，则2
30y y --=，显然y 无整数解；
令2x =±，则2
20y y -=，解得2y =±或0y =，可得点()2,0-，
()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，()2,2；当3≥x ，29x ≥，此时将22
4x y xy +=+看做关于y 的方程2
240y x x y +--=，
此时()()2
2244163x x x ∆=---=-.
因为29x ≥，所以2327x -≤-，则2163110x ∆=-≤-<，方程无解.综上所述，曲线G 恰好经过8个整点.故③正确；
对于④：显然由()2,0-，()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，()2,2，()0,2-，()0,2这8个点构成的正方形在曲线G 的内部.正方形的边长为4，面积为16.所以曲线G 所围成的区域的面积大于16.故④正确.故①③④.
三、双空题
15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面,,1,2ABC AB AC PA AB AC ⊥===，则异面直线PC 与AB 所成角的大小为__________；点A 到平面PBC 的距离为__________.
【正确答案】
π
2
##90 63
【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
PC 与AB 所成角，根据点面距离的空间向量法即可求解.
【详解】 在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，,1,2AB AC PA AB AC ⊥===，
∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,1A B C P ,
()()0,2,1,2,0,0PC AB =-=
，()2,0,1PB =- ，
设异面直线PC 与AB 所成角为θ，π02
θ<≤
则||000cos 0||25||PC AB PC AB θ⋅++===⨯
,由于π
02
θ<≤，所以π2θ=，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则2020
m PC y z m PB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，则()1,1,2m = ，所以点A 到平面PBC 的距离为2006
36m AB m
⋅++=
=
故
π26
3
16．已知双曲线C 经过点()1,4324
C 的标准方程为__________；其焦距为
__________.【正确答案】
22
177
9
y x -=2703
【分析】先分类讨论双曲线C 的焦点在x 轴或是在y 轴上，再由题意求出22,a b 的值，从而得出双曲线C 的标准方程及其焦距.
【详解】当双曲线C 的焦点在x 轴上时，可设双曲线C 为：22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>，
离心率为4
c e a ==，则2218116b a +=，2219b a =，229a b =，
又因为双曲线C 经过点()1,4，则有221161a b -=，联立方程222
291161a b a
b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得2
159b =-，不符合题意；
当双曲线C 的焦点在y 轴上时，可设双曲线C 为：22
221,(0,0)y x
a b a b
-=>>，
离心率为4
c e a ==，则2218116b a +=，2219b a =，229a b =，
又因为双曲线C 经过点()1,4，则有221611a b -=，联立方程22
2291611
a b a
b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得2
79b =，27a =，
则222
770799c a b =+=+
=
，所以3
c =，则双曲线C 的标准方程为22
17
79y x -=，焦距为
故22
17
79
y x -=
,3
.四、解答题
17．已知圆C 的圆心坐标为()1,0C
，且经过点(P .(1)求圆C 的标准方程；
(2)若过点P 作圆C 的切线l 与x 轴交于点M ，求直线l 的方程及PCM △的面积.【正确答案】(1)()2
214x y -+=
(2)30x +=
；【分析】（1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入即可求解.
（2）首先利用点斜式设出直线方程，再利用直线与圆相切的条件求出斜率，即可得到直线方程，再结合三角形为直角，即可求解面积.
【详解】（1）有题意可知，设圆的方程为()2
221x y r -+=，
又因为(P 在圆上，则(
)2
2201r -+
=，
则24r =，故圆的方程为()2
214x y -+=.（2
）由题意知，直线的斜率存在，则设直线方程为()0y k x =-
，即0-=kx y ，因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离2d =，
解得3
k =，
则直线方程为30x +=.则M 点坐标为()30-，
，根据题意知，PCM △为直角三角形，其中
PM ==，而
2PC ==，所以
PCM △
的面积为11222
PM PC ⨯⨯=⨯=18．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1C C ⊥平面1
,,1ABC AC BC CA CC CB ⊥===.
(1)求证:1AC ⊥平面1A BC ;
(2)求直线1C C 与平面1A BC 所成角的大小.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)45
【分析】(1)先说明11ACC A 为正方形,即11AC AC ⊥,再证明BC ⊥平面11ACC A
,即1AC BC ⊥,根据线面垂直的判定定理即可证明;
(2)根据(1)中结论1AC ⊥平面1A BC ,则直线1C C 与平面1A BC 所成角即为11C CA ∠,在正方形11ACC A 求出该角即可.
【详解】（1）证明:1C C ⊥Q 平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,
1C C AC ∴⊥,
1AC CC = ,
∴平行四边形11ACC A 为正方形,
11
AC AC ⊥∴,1C C ⊥Q 平面ABC ,BC ⊂平面ABC
1C C BC ∴⊥,
BC AC ⊥ ,1AC CC C = ,
AC ⊂平面11ACC A ,1CC ⊂平面11ACC A ,
BC ∴⊥平面11ACC A ,
1AC ⊂Q 平面11ACC A ,
1AC BC ∴⊥,
1,BC AC C BC =⊂ 平面1A BC ,1
AC ⊂平面1A BC ,1AC ∴⊥平面1A BC 得证;
（2）记1AC 与1AC 交点为D ,
由(1)知1AC ⊥平面1A BC ,
所以1C D ⊥平面1A BC ,
故直线1C C 与平面1A BC 所成角为11C CA ∠,
由(1)知平行四边形11ACC A 为正方形,
1145C CA =∴∠ ,
故直线1C C 与平面1A BC 所成角为45 .
19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()1,2.
(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；
(2)设()1,4M ，直线:l y x b =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B .若MAB △是以AB 为底边的等腰三角形，求证：直线l 经过抛物线C 的焦点.
【正确答案】(1)24y x =,=1
x -(2)证明见解析
【分析】(1)应用点在抛物线上即可求出p ,即可求出抛物线C 的方程及其准线方程;
(2)直线方程和抛物线联立方程组,再把等腰三角形转化为斜率关系,列式计算即可求出b ,进而得证.
【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()1,2,所以42p =,
所以抛物线C 的方程为24y x =,准线方程为=1x -;
（2）设()()1122,,,A x y B x y ,AB 中点1212,2
2x x y y T ++⎛⎫ ⎪⎝⎭联立方程组24y x y x b
⎧=⎨=+⎩,可得()24x b x +=,即()22240x b x b +-+=可得()2
22440b b ∆=-->，即1b >，12212
42x x b x x b +=-⎧⎨=⎩,则12124y y x b x b +=+++=，所以()2,2T b -，因为MAB △是以AB 为底边的等腰三角形,所以MT AB ⊥,即可得1MT AB k k ⨯=-，
又因为1AB k =,()1,4M ,()2,2T b -,则21
MT k b =-,即得2111b ⨯=--所以1b =-所以:1l y x =-，经过抛物线C 的焦点()1,0.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥平面,2ABCD DA DC DP ===，点M 在棱PC 上，且PA //平面BDM .
(1)求证：M 是棱PC 的中点；
(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（i ）二面角M BD C --的余弦值；
（ii ）在棱PA 上是否存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM ？若存在，求出PQ PA
的值；若不存在，说明理由.条件①：60BAD ∠=︒；
条件②.2
BD =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)（i ）217；（ii ）不存在点Q ，理由见解析【分析】（1）连结AC ，交BD 于F ，连结MF ，又线面平行的性质可推导出//PA MF ，由此能证明结论；
（2）由已知分析，选择条件①：60BAD ∠=︒，或选择条件②：2BD =，均可得ABD △为正三角形，取AB 中点N ，连接DN ，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解二面角M BD C --的余弦值及验证是否存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM 即可.
【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于F ，连接MF
则MF 是平面PAC 与平面BDM 的交线，
//PA 平面BDM ，PA ⊂平面PAC ，//PA MF ∴．
又底面ABCD 为平行四边形，则F 是AC 的中点，M ∴是棱PC 的中点，（2）解：因为底面ABCD 为平行四边形，又2DA DC ==，则底面ABCD 为菱形，选择条件①：60BAD ∠=︒，或选择条件②：2BD =，均可得ABD △为正三角形.取AB 中点N ，连接DN ，则DN AB ⊥，即DN DC
⊥又PD ⊥平面ABCD ，,DQ DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DN PD DC ⊥⊥，如图以D 为原点，,,DN DC DP 为,,x y z
轴建立空间直角坐标系，
则(
)
))
()()()0,0,0,1,0,,0,2,0,0,0,2,0,1,1D A B C P M -，（i ）由于PD ⊥平面ABCD ，则()0,0,2DP = 时平面BCD 的一个法向量，
设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =
，又)
(),0,1,1DB DM == ，
所以0000DB n y y y z y z DM n ⎧⎧⋅=+==⎪⎪⇒⇒⎨⎨+==-⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩ ，令1x =
得(1,n = ，
则cos ,7
DP n DP n DP n ⋅==⋅ ，由图可知二面角M BD C --为锐角，所以二面角M BD C --
；（ii ）若在棱PA 上否存在点Q ，设PQ PA
λ=，则PQ PA λ= ，且[]0,1λ∈
，所以
))1,2,,2PQ λλλ=--=-- ，
则(
)
))
1,2,,21,22BQ BP PQ λλλλ=+=-+--=--- ，若BQ ⊥平面BDM ，则//BQ n
=
故在棱PA 上不存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM .
21．已知椭圆222:1(02)4x y G b b +=<<
的离心率为2
，其左､右顶点分别为12,A A ，过点()1,0P 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆G 于点,M N （点M 在x 轴的上方）.
(1)求椭圆G 的方程；
(2)若线段MN
的长等于3
，求直线l 的方程；(3)设直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，试判断12
k k 是否为定值？若是定值，求出这个定值，并加以证明；若不是定值，说明理由.
【正确答案】(1)22
142x y +=(2)10x y --=或10
x y +-=(3)12k k 为定值13
，理由见解析.【分析】（1
）根据椭圆离心率公式e =，代入计算，即可得到椭圆方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，0m ≠，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式列出方程，即可得到结果.
（3）设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方
程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222
y k x y k x +=-，化简可得答案；
【详解】（1）因为椭圆222:1(02)4x y G b b +=<<
的离心率为2
，
即2
e =，解得22b =所以椭圆方程为22
142
x y +=（2）根据题意设直线l 的方程为1x my =+，0
m ≠联立直线与椭圆方程可得22114
2x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222230m y my ++-=
则240b ac ∆=->，即()
222412216240m m m ∆=++=+>由韦达定理可得12122223,22m y y y y m m --+==++
由弦长公式可得
12MN y y =-
3=即()()42228513081310m m m m +-=⇒+-=所以21m =或2138
m =-（舍）即1
m =±所以直线l 的方程为10x y --=或10
x y +-=（3）12k k 为定值13
，理由如下：设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨设210y y <<.
由22114
2x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()
222230m y my ++-=，2Δ16240m =+>，12222m y y m +=-+，12232
y y m =-+.所以121223y y m y y +=，即()121223my y y y =+.且12121212,22
A M A N y y k k k k x x ====+-11122222
y k x y k x +=-1212
2
2y x x y -=+()()1212112122
133y my my y y my y my y y --==++()()12112232332y y y y y y +-=++12121312239322
y y y y +==+.
综上所述.1231k k。