高考数学 命题角度4.1 空间平行 垂直关系的证明大题狂

命题角度4.1：空间平行，垂直关系的证明
1.如图1，在R t A B C
∆中， 90C ∠=︒， D 、E 分别为AC ， AB 的中点，点F 为线段CD
上一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2.
(I)求证： DE ∥平面1A CB ；(II)求证： 1A F BE ⊥； (Ⅲ)若Q 为线段1A B 中点，求证： 1A C ⊥平面DEQ 【答案】（I ）见解析（II ）见解析(Ⅲ)见解析
试题解析：
（I ）因为,D E 分别为,AC AB 的中点，所以//.DE BC
又因为11
,//DE ACB DE ACB ⊄平面所以平面 （II ）由已知得,//AC BC DE BC ⊥且，
所以11.,,DE AC DE A D DE CD DE A DC ⊥⊥⊥⊥所以所以平面，
111,A F A DC DE A F ⊂⊥而平面所以，又因为11,.A F CD A F BCDE ⊥⊥所以平面
所以1.A F BE ⊥
点睛：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，对空间想象能力有很高要求.
2.如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC .
（1）若,AB BC CP PB ⊥⊥，求证： CP PA ⊥；
（2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证： l ⊥平面PBC .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）依据题设借助面面垂直的性质定理证明AB ⊥平面
P B C C P A B C P
⊥⊥，进而证得，平面PAB ，然后运用线面垂直的性质定理证明CP PA ⊥；
（2）借助题设条件先证明PD ⊥平面ABC ，进而确定l PD ，然后再运用线面平行的性质定理推证：
证明：（1）因为平面PBC ⊥ 平面ABC ，平面PBC ⋂ 平面=ABC BC ， AB ⊂平面
ABC ， AB BC ⊥ ，所以AB ⊥平面PBC .因为CP ⊂平面PBC ，所以CP AB ⊥ .又因
为,,CP PB PB AB B ⊥⋂= ,AB PC ⊂平面,PAB 所以CP ⊥平面,PAB 又因为PA ⊂平面
,PAB 所以CP PA ⊥.
3.如图，在四棱锥E ABCD -中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE ，AB⊥平面ADE ，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求B 到平面CDE 的距离
（2）在线段DE 上是否存在一点F ，使AF BCE 平面？若存在，求出EF
ED
的值；若不存在，说明理由．
【答案】（I ）AE =II ）见解析.
【解析】试题分析：
(1)利用等体积法结合题意可求得B 到平面CDE 的距离为； (2)当
1
3
EF ED =时满足题意，利用题中所给的条件进行证明即可. 试题解析：
解：（1）方法一：因为CD ⊥平面ADE ， CD AE ⊥,又,AE ED ED CD D ⊥⋂=,
所以AE ⊥平面CDE ，又//AB CD ，所以B 到平面CDE 的距离为AE =方法二：等积法求高.
4.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中， 1AA ⊥平面A B C D ， //AB CD ，
1
2
AB BC CD ==， E 为1AA 的中点.
（Ⅰ）证明： 1//BE CD ；
（Ⅱ）若45ADC ∠=， 1CD CC =，求证：平面11EB C ⊥平面EBC . 【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取1,CD DD 的中点,M N ，连结,,BM MN NE ，可证明四边形BMNE 是平行四边形，所有//MN BE 又根据1DD C 中，中位线的性质， 1//MN D C ，根据平行线的传递性可知1//BE CD ；（Ⅱ）根据条件可证明1,BC AB BC BB ⊥⊥，所有BC ⊥平面1ABB ，即1BC B E ⊥，也可证明1B E BE ⊥，所有1B E ⊥平面EBC ，即证明了平面
11EB C ⊥平面EBC .
试题解析：（Ⅰ）分别取1,CD DD 中的中点为,M N ，并连接,,BM MN NE ， 则由//AB CD ， 1
2
AB CD =
得， //AB DM ， AB DM =， 可得四边形ABMD 为平行四边形，那么AD BM =， //AD BM ，又AD EN =，
//AD EN ，
所以//NE BM ，且NE BM =，得四边形BMNE 是平行四边形， 可得//BE MN ，又1//MN CD ，所以1//BE CD . （Ⅱ）取CD 中点M ，连接AM ，则AM DM =， 可得45DAM ADM ∠=∠=，则90AMD ∠=，
即AM CD ⊥， //AM BC ，那么AB BC ⊥，又1BC BB ⊥， 得BC ⊥平面11ABB A ，那么1BC B E ⊥，由1CD CC =， 得AB AE =，又90BAE ∠=，那么45AEB ∠=，
同理， 1145A EB ∠=，即得1BE B E ⊥，可得1B E ⊥平面BCE ， 即得平面11EB C ⊥平面EBC .
【点睛】本题考查了平行与垂直的证明，而垂直的证明是难点，若是证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直，线线垂直，或是三边满足勾股定理，证明线线垂直；若是证明线面垂直，一般根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直；若是证明面面垂直，
同样是根据判断定理转化为证明线面垂直，则面面垂直.
5.如图，四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形， M N G ，，分别是AB AD EF ，，的中点． （1）求证： BE 平面DMF ； （2）求证：平面BDE 平面MNG .
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：
(1)连接AE ，结合题意证得BE MO ，利用线面平行的判断定理即可证得BE 平面DMF . (2)结合题意首先证得线面平行： DE 平面MNG ， BD 平面MNG ，且DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，据此可得平面BDE 平面MNG .
（2）因为N G ，分别为平行四边形ADEF 的边,AD EF 的中点， 所以DE GN ，
又DE ⊄平面MNG ， GN ⊂平面MNG ， 所以DE 平面MNG .
又M 为AB 中点，
所以MN 为ABD ∆的中位线，所以BD MN ， 又BD ⊄平面MNG ， MN ⊂平面MNG ， 所以BD 平面MNG ，
又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线， 所以平面BDE 平面MNG . 点睛：证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；
②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成．
6.在正方体1111ACBD AC B D -中， ,,E F G 分别是1,,AB CC AD 的中点. （1）证明：平面1A BG ⊥平面CEF ；
（2）棱CD 上是否存在点T ，使//AT 平面1B EF ？请证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）在棱CD 上取点T ，使得1
4
DT DC =
，则//AT 平面1B EF . 【解析】试题分析：(1)证明平面1A BG ⊥平面CEF ，可先证明BG ⊥平面EFC ，可先证明BG CE ⊥， FC BG ⊥.
(2) 延长BC ， 1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ,得TK AE 且TK AE =，四边形AEKT 为平行四边形，所以AT EK ，即AT EH ．即证得AT 平面1B EF
试题解析：
(2)解：在棱CD 上取点T ，使得1
4
DT DC =
，则AT 平面1B EF ． 证明如下：延长BC ， 1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ． 因为11CC BB ， F 为1CC 中点，所以C 为BH 中点． 因为CD AB ，所以KC AB ，且11
24
KC EB CD =
=． 因为1
4
DT DC =
， E 为AB 中点，所以TK AE 且TK AE =， 即四边形AEKT 为平行四边形， 所以AT
EK ，即AT EH ．
又EH ⊂平面1B EF ， AT ⊄平面1B EF ， 所以AT 平面1B EF ．
点睛：存在性问题，可以由果索因，找出所求点的位置，写过程时把结论先写上，利用这一条件证出结果.
7.如图，在多面体ABCDEF 中，平面BDEF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形， 2BD BF =， H 是CF 的中点.
（1）求证： //AF 平面BDH ； （2）求证：平面ACE ⊥平面ACF . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：
(1)利用题意证得//OH AF ， 然后由线面平行的判断定理可得//AF 平面BDH .
(2)利用题意证得OE ⊥平面ACF .由面面垂直的判断定理可得平面ACE ⊥平面ACF . 试题解析：
（1）证明：设AC BD O ⋂=，连接OH ，
因为四边形ABCD 是菱形，O 是AC 的中点 又H 是CF 的中点，所以OH 是三角形AFC 的中位线， 所以//OH AF ，
又AF ⊄平面BDH ， OH ⊂平面BDH ，
∴//AF 平面BDH .
（2）连接,OF OE ，四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =，
AC ⊂平面ABCD ， AC BD ⊥，
所以AC ⊥平面BDEF ，
又OE ⊂平面BDEF ，所以AC OE ⊥.
在矩形BDEF 中，设BF a =，则2EF a =， OE OF ==
，
由勾股定理可得， OEF ∆为直角三角形，且OE OF ⊥. 因为OE AC ⊥， OE OF ⊥， AC FO O ⋂=， 所以OE ⊥平面ACF . 又OE ⊂平面ACE ，
所以平面ACE ⊥平面ACF .
8.如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形， //EF CD ， CD EA ⊥，
22CD EF ==， ED =， M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N .
（Ⅰ）求证： ED CD ⊥； （Ⅱ）求证： //AD MN ；
（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FM
FC
值；若不能，说明理由。

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）1
2
FM FC = 【解析】试题分析：
(1)利用题意证得CD ⊥平面EAD ．所以ED CD ⊥．
(2)利用线面平行的性质定理AD //平面FBC ．所以AD //MN ． (3)假设平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直，结合题意可求得
FM 1
FC 2
=
（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下： 连接DF ．因为AD ED ⊥， AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ． 所以AD DM ⊥．
因为//AD MN ，所以DM MN ⊥． 因为平面ADMN ⋂平面BCF MN =， 若使平面ADMN ⊥平面BCF ， 则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．
在梯形CDEF 中，因为//EF CD ， ED CD ⊥， 22CD EF ==， ED =，
所以2DF DC ==．
所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以
1
2
FM FC =． 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。

对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。

立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.
9.如图，梯形ABCD 中， 90,2,1BAD ADC CD AD AB ∠=∠====，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD .
（1）求证： DF CE ⊥；
（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面
EFG ？并说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证得DF ⊥平面BCE ，由线面垂直的定义可得DF CE ⊥. (2) 在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且1
2
AG GE =，利用面面平行的判断定理结合题意证得该结论即可. 试题解析：
(1)证明：连接EB .因为在梯形ABCD 中， 90,1,2BAD ADC AB AD DC ∠=∠====，
222,BD BC BD BC CD BC BD ∴==+=∴⊥，又因为平面BDEF ⊥平面
A B C D ，平面B D E F ⋂平面,A B C D B D B C =⊂平面,A B C D
B C ∴⊥平面
,B D E F B C D F ∴⊥，又因为
正方形BDEF 中， DF EB ⊥且,EB BC ⊂平面,,BCE EB BC B DF ⋂=∴⊥平面BCE ，又
CE ⊂平面,BCE DF CE ∴⊥.
点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。

对于这类问题一般
可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。

立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.
10.如图，已知长方形ABCD 中， 2AB AD =， M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ，设点E 是线段DB 上的一动点（不与D ， B 重合）．
（Ⅰ）当2AB =时，求三棱锥M BCD -的体积； （Ⅱ）求证： AE 不可能与BM 垂直．
【答案】（Ⅰ）
12
；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析：
（Ⅰ）由于折叠时有平面ADM ⊥平面ABCM ，因此取AM 中点N ，则有DN AM ⊥，从而有DN ⊥平面ABCM ，因此DN 是三棱锥D BCM -的高，求出高和底面积可得体积； （Ⅱ）假设AE 能与BM 垂直，由已知又可得BM AM ⊥，从而BM ⊥平面ADM ，因此有
BM AD ⊥，从而有BM ⊥平面ABD ，因此BM AB ⊥，这是不可能的，结论得出．
试题解析：
（Ⅱ）假设AE BM ⊥．
由（Ⅰ）可知， DN ⊥平面ABCM ，∴BM DN ⊥． 在长方形ABCD 中， 2AB AD =，
∴ADM ∆、BCM ∆都是等腰直角三角形，∴BM AM ⊥． 而DN 、AM ⊂平面ADM ， DN AM N ⋂=， ∴BM ⊥平面ADM ． 而AD ⊂平面ADM ， ∴BM AD ⊥．
由假设AE BM ⊥， AD 、AE ⊂平面ABD ， AD AE A ⋂=， ∴BM ⊥平面ABD ，
而AB ⊂平面ABD ，∴BM AB ⊥， 这与已知ABCD 是长方形矛盾， 所以， AE 不可能与BM 垂直．。