新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知0h >，则||2a b h -<是1a h -<且1b h -<的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
2．当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ） A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
3．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+， （3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b a
a b
+>.其中恒成立的个数是 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac bc <
B ．
11b b
a a
+<+ C ．11b b
a a
+>+ D ．ac bc ≥
5．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）
A ．集合P 是集合Q 的真子集
B ．集合Q 是集合P 的真子集
C ．P Q =
D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集
6．若
1
12
a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <
D ．c c a b <
7．已知()2
3f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．()()33f x f a a -≤+
B ．()()5f x f a a -≤+
C ．()()24f x f a a -≤+
D ．()()()
2
31f x f a a -≤+
8．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x
y
>；④
11x x y
<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+
B ．a c b c ->-
C ．ac bc >
D ．
c c
a b
> 10．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．22a b >
B ．lg()0a b ->
C ．11()()2
2
a
b
<
D ．
1a b
> 11．设 1,01x y a >><<则下列关系正确的是 A ．a a x y -->
B ．ax ay <
C ．x y a a <
D ．log log a a x y >
12．不等式5310x x -++≥的解集是( ) A ．[-5,7] B ．[-4,6]
C ．(]
[),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞
二、填空题
13．若不等式|2|||2x x a a -+->对(2,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是________． 14．不等式312x -≤的解集是__________． 15．已知11()22f x x a x a x a x x =+
-+--+-0x >（）的最小值为32
，则实数a =____. 16．若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是______．
17．如果关于x 的不等式|3||4|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是______.
18．设x ，y 为实数，满足2
38xy ≤≤，2
49x y
≤
≤，则3x y 的最小值是______. 19．以下五个命题中： ①若
324π
αβπ<<<，则αβ-的取值范围是44
ππ
αβ-<-<； ②不等式2210ax ax -+>，对一切x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为01a <<；
③若椭圆22
5
1162x y +=的两焦点为1F 、2F ，且弦AB 过1F 点，则2ABF ∆的周长为16；
④若常数0m >，a ，b ，c 成等差数列，则a m ，b m ，c m 成等比数列；
⑤数列{}n a 的前n 项和为n S =2n +2n －1，则这个数列一定是等差数列. 所有正确命题的序号是_____________.
20．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则
()U
A B =________．
三、解答题
21．先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该
物品单价为2p （12p p ≠）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为
2Q .
（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；
（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算. 22．函数()212f x x x =-++. （1）求函数()f x 的最小值；
（2）若()f x 的最小值为M ，()220,0a b M a b +=>>，求证：14
1213
a b +≥++. 23．已知集合{}
4
13,11A x x x B x x ⎧
⎫=+-≤=>⎨⎬+⎩⎭
.
（1）求集合A
B ；
（2）若不等式230x ax b ++<的解集为集合B ，求实数,a b 的值. 24．已知数列{}n a 满足：12a =，1
122n n n a a ++=+，*n N ∈.
（1）求证2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列并求n a ；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3）求证：
213243111111
2
n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 25．已知0a >，0b >，22
1
43a b ab
+=
+. （1）求证：1ab ≤； （2）若b a >，求证：
3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭
. 26．已知1m ，且关于x 的不等式21x m -≤-的解集为[]1,3. （1）求m 的值；
（2）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
利用判断充分，必要条件的方向判断，结合绝对值的几何意义，以及绝对值三角不等式证明. 【详解】
当2a b h -<，说明a 与b 的距离小于2h ，但a 与b 与1的距离可以大于或等于h ，所以
2a b h -<，不能推出1a h -<且1b h -<，反过来，当1a h -<且1b h -<时，
()()11112a b a b a b h -=---≤-+-<，即2a b h -<，所以1a h -<且
1b h -<，能推出2a b h -<，所以||2a b h -<是|1|?a h -<且
|1|b h -<的必要非充分条件. 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是理解绝对值的几何意义，a b -表示数轴上两点间距离，以及绝对值三角不等式a b a b a b -≤±≤+.
2．B
解析：B 【分析】 分别令0x =、
1
2、1，则可求得1,1,142
a b c c a b c ≤++≤++≤，利用这三个不等式，可构造出a 、b ，即可求出a 、b 的范围，即可得答案. 【详解】 因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈，
当0x =时，可得1c ≤①， 当1
2
x =
时，可得142a b c ++≤②，
当1x =时，可得1a b c ++≤③， 由①②③可得11
4()()84222
a
b a
c a b c c =+
+-++-≤， 13
4()()84244
a b b c a b c c =++-++-≤，
所以88117a b c ++≤++=， 故选：B 【点睛】
本题考查利用不等式性质求范围，解题的关键是分别求出c 、
42
a b
c ++、a b c ++的范
围，再整体代入求出a 、b 的范围，考查整体代入，转化求解的能力，属中档题.
3．A
解析：A 【解析】
分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：
(1) 22a 32b ab +-=2
2322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立； (2)553223 a b b a a b +>+=()
()()2
22a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；
(3)()2
2
522a b a b ++--()()2
2
=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b
a a b
+
,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.
点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
4．C
解析：C 【分析】
根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】
当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；
()()
10111b b ab a ab b a b
a a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.
5．C
解析：C 【分析】
先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =． 【详解】 |||1|3x x +-<，
∴当0x 时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<；
当01x <时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；
当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．
{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，
P Q ∴=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．B
解析：B 【分析】
根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当1
12
a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当
1
12
a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，
所以log log 0b a c c >>，因1
12
a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当
1
12
a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；
对于D ：当1
12
a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】
本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.
7．C
解析：C 【分析】
先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】
由()2
3f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以
()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得
232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.
故选C. 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.
8．C
解析：C 【分析】
根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，正实数,x y 是正数，且x y >， ①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的； ②中，由x y >，可得22x y >是正确的； ③中，根据实数的性质，可得
1x
y
>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y
<-是正确的， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．D
解析：D 【分析】
本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】
A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为
c c
a b
<,故不正确. 【点睛】
本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案
【详解】
对于A ，令0,1a b ==-，200=，()2
11-=，满足a b >，但不满足22a b >，故排除 对于B ，令0,1a b ==-，()lg 10a b lg -==，故排除
对于C ，1 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当a b >时，1122a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故C 恒成立 对于D ，令0,1a b ==-，0
11
a b =
<-，故排除 故选C 【点睛】
本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。

11．C
解析：C 【分析】
由幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质判断即可. 【详解】
A.a a x y -->，由幂函数y x α= 当0α<函数在()0,∞+上单调递减，可知A 错误； 由1,01x y a >><<，由不等式的性质可得0ax ay >>，故B 错误；由指数函数x y a = 当01a <<函数在()0,∞+上单调递减，可知C 正确；由对函数log a y x = 当01a <<函
数在()0,∞+上单调递减，可知D 错误. 故选 C . 【点睛】
本题考查幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质，属基础题.
12．D
解析：D 【分析】
零点分段后分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】 分类讨论：
当5x ≥时，不等式即：5310x x -++≥，解得：6x ≥； 当35x -<<时，不等式即5310x x ---≥，此时不等式无解； 当3x ≤-时，不等式即：5310x x -+--≥，解得：4x ≤-； 综上可得，不等式的解集为(][
),46,-∞-⋃+∞. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
二、填空题
13．【分析】先利用化简题中不等式然后将关于的恒成立问题转化为最值问题求解即可【详解】∵∴对恒成立∴或对恒成立即或对恒成立∴解得故答案为：【点睛】本题考查与绝对值不等式相关的恒成立问题一般遇见此类含参问题
解析：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 【分析】
先利用(2,)x ∈+∞化简题中不等式，然后将关于x 的恒成立问题转化为最值问题求解即可. 【详解】
∵(2,)x ∈+∞，∴2||2x x a a -+->对(2,)x ∈+∞恒成立，
∴022x a x x a a -⎧⎨-+->⎩或0
2()2x a x x a a
-<⎧⎨--->⎩对(2,)x ∈+∞恒成立， 即322x a
a x ⎧⎪
⎨+>⎪⎩或2x a a <⎧⎨
<-⎩对(2,)x ∈+∞恒成立， ∴2
3222
a a ⎧⎪
⎨+⎪⎩，解得23a ．
故答案为：2,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查与绝对值不等式相关的恒成立问题，一般遇见此类含参问题时，常将恒成立问题转化为最值问题求解，属于中档题.
14．【解析】由题意得不等式等价于解得所以不等式的解集为点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法其中解答中熟记绝对值的定义根据绝对值的定义合理去掉绝对值号是解答的关键
解析：1,13⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】
由题意得，不等式312x -≤，等价于2312x -≤-≤，解得1
13
x -≤≤， 所以不等式的解集为1[,1]3
-.
点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，其中解答中熟记绝对值的定义，根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号是解答的关键.
15．【解析】当且仅当即x=1时上式等号成立由4−2a=解得a=
解析：5
4
【解析】
()11
2211222
222
222
2
2242f x x a x a x a x x
x a x a x a x x x a x x a x x a x a =+
-+--+-⎛⎫⎛⎫
+----+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
+-=+-⋅-=-，
当且仅当2
2x x
=，即x =1时，上式等号成立。

由4−2a =
3
2
,解得a =54.
16．2﹣log23【解析】试题分析：由基本不等式得2a+2b≥可求出2a+b 的范围再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c2c 可用2a+b 表达利用不等式的性质求范围即可解：由基本
解析：2﹣log 23 【解析】
试题分析：由基本不等式得2a +2b ≥
，可求出2a+b 的范围，
再由2a +2b +2c =2a+b+c =2a+b 2c =2a+b +2c ，2c 可用2a+b 表达，利用不等式的性质求范围即可． 解：由基本不等式得2a +2b ≥，即2a+b ≥
，所以
2a+b ≥4，
令t=2a+b ，由2a +2b +2c =2a+b+c 可得2a+b +2c =2a+b 2c ，所以2c =
因为t≥4，所以，即
，所以
故答案为2﹣log 23
点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．
17．【分析】利用绝对值三角不等式可求得根据不等式解集不为空集可得根式不等式根据根式不等式的求法可求得结果【详解】由绝对值三角不等式得：即
原不等式解集不是空集即当时不等式显然成立；当时解得：；综上所述：的 解析：(3,)+∞
【分析】
利用绝对值三角不等式可求得()
min
347x x -++=，根据不等式解集不为空集可得根式
不等式，根据根式不等式的求法可求得结果. 【详解】
由绝对值三角不等式得：()()34347x x x x -++≥--+=，即
()
min
347x x -++=.
原不等式解集不是空集，7a ∴>
7a >- 当7a >时，不等式显然成立；
当7a ≤时，()
2130
137a a a +≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩，解得：37a <≤；
综上所述：a 的取值范围为()3,+∞. 故答案为：()3,+∞. 【点睛】
本题考查根据不等式的解集求解参数范围的问题，涉及到绝对值三角不等式的应用、根式不等式的求解等知识；关键是能够根据利用绝对值三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题.
18．【分析】利用方程组形式可得求得后结合不等式性质即可求得的最小值【详解】设即所以解得所以因为所以由不等式性质可知即当且仅当时取等号解得综上可知的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用 解析：
12
【分析】
利用方程组形式，可得()2
23n
m x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
，求得,m n 后结合不等式性质即可求得3x y 的最小值. 【详解】
设()2
23n
m x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
即322m n m n xy x y -+-=⋅
所以2123m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩
所以()2
123x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
因为2
38xy ≤≤，2
49x y
≤≤， 所以
()121183
xy -≤≤ 由不等式性质可知()2
12132x xy y -⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭
即3132x y ≤≤，当且仅当()
2
1
2418x y
xy -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取等号，解得74552,2x y ==. 综上可知，3x y
的最小值为1
2. 故答案为：1
2
. 【点睛】
本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
19．④【分析】对于①由不等式性质可判断;对于②讨论当和两种情况即可判断;对于③根据椭圆方程求得求得的周长即可作出判断;对于④由等差中项与等比中项定义和性质即可判断;对于⑤根据数列中结合首项即可判断数列是
解析：④ 【分析】
对于①由不等式性质可判断;对于②讨论当0a =和0a ≠两种情况,即可判断;对于③根据椭圆方程求得a ,求得2ABF ∆的周长, 即可作出判断;对于④由等差中项与等比中项定义和性质,即可判断;对于⑤根据数列中1n n n a S S -=-,结合首项即可判断数列{}n a 是否为等差数列. 【详解】
对于①,324παβπ<<<,则032
432
4αβπ
αππβπ⎧
⎪-<⎪
⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩,所以04παβ-<-<,故①错误;
对于②,当0a =时,不等式变为10>,对一切x R ∈恒成立,所以0a =成立;当0a ≠时,由二
次函数的性质可知2
440a a a >⎧⎨∆=-<⎩
,解得01a <<.综上可知01a ≤<,故②错误; 对于③,椭圆22
5
1162x y +=.则5a =.弦AB 过1F 点,则2ABF ∆的周长为44520a =⨯=,故③
错误;
对于④,a ,b ,c 成等差数列则2b a c =+.常数0m >,则()
2
2a c a c b b m m m m m +⋅===,
所以a m ,b m ,c m 成等比数列,故④正确;
对于⑤,数列{}n a 的前n 项和为2
21n S n n =+-,当1n =时,代入解得12S =.当2n ≥时,由
1n n n a S S -=-可得()
()()2
2211211n a n n n n ⎡⎤=+---+--⎢⎥⎣⎦
,化简可得21n a n =+.且11S a ≠,所数列{}n a 是从第二项开始的等差数列.故⑤错误.
综上可知,正确的为④. 故答案为: ④ 【点睛】
本题考查了不等式性质的简单应用,一元二次不等式恒成立问题,椭圆中焦点三角形的周长求法,等差中项与等比中项的简单应用,根据1n n n a S S -=-求通项公式及等差数列的判断,综合性强,属于中档题.
20．【分析】解不等式得集合根据交集和补集的定义写出【详解】解：全集或或即故答案为：【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题是基础题 解析：(,2)[1,)-∞--+∞
【分析】
解不等式得集合A 、B ，根据交集和补集的定义写出()U
A B ．
【详解】
解：全集U =R ，22{|60}{|60}{|23}A x x x x x x x x =-++=--=-，
{}||3|40{||3|4}{|7B x x x x x x =-->=->=>或1}x <-， {|21}A
B x x =-<-，
(){|2U A B x x =-∴<或1}x -,即
(,2)[1,)()=U
A B -∞--+∞.
故答案为：(,2)[1,)-∞--+∞． 【点睛】
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
三、解答题
21．（1）1212
1212
22p p p p Q Q p p +==+，；（2）第二种购物方式比较划算. 【分析】
（1）求出总花费及购物总量后可得均价； （2）两者作差后可得大小．得出划算的方式． 【详解】
解：（1）设甲两次购物时购物量均为m ，则两次购物总花费为1p m +2p m ， 购物总量为2m ，平均价格为1212
122
p m p m p p Q m ++=
=.
设乙两次购物时用去钱数均为n ，则两次购物总花费2n ，购物总量为12
n n
p p +， 平均价格为
12
21212
22p p n Q n n p p p p =
=
++=
综上，1212
1212
22p p p p Q Q p p +=
=+， （2）∵12p p ≠，
∴()()2
2
12121212121212121242022()2()
p p p p p p p p p p Q Q p p p p p p +--+-=-==>+++ 12Q Q ∴>
由此可知，第二种购物方式比较划算. 22．（1）5
2
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）采用零点分段的方法将定义域分为三段：(],2-∞-、12,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，由此求解出每一段定义域对应的()f x 的值域，由此确定出()f x 的最小值； （2）由（1）确定出M 的值，采用常数代换的方法将14
213
a b +++变形并利用基本不等式完成证明. 【详解】
解：（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪--≤-⎪
⎪
=-++=-+-<<⎨⎪
⎪
+≥⎪⎩
，
当2x -≤时，()5f x ≥； 当122x -<<
时，()5
52
f x <<；
当12
x ≥
时，()52f x ≥.
所以()f x 的最小值为52
. （2）由（1）知5
2
M =
，即25a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以
()()1411
42132139213a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
()4211359213a b a b +⎛⎫
+=++ ⎪++⎝⎭
1519⎛ ≥+= ⎝ 当且仅当()253221a b b a +=⎧⎨+=+⎩
，即1a =，3b =时，等号成立，
所以
141231
a b +≥++. 【点睛】
本题考查绝对值函数的最值以及运用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）求解双绝对值函数的最值常用的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明或者求解最值时，要注意说明取等号的条件. 23．（1）{}|12x x -<≤；（2）6,9a b =-=-. 【分析】
(1)分别求出集合A B 、，再求A B 即可；
(2) 1-和3是方程230x ax b ++=的两根，由根与系数的关系可求实数,a b 的值.
【详解】
解：（1）当30,3x x -≥≤时，
13,313x x x x x -≤-∴-≤-≤-，2x ∴≤，
当30,3x x -<>时，13x x -≤-的解集是空集， 所以{}
2A x x =≤，
43
10,1311
x x x x --
=<∴-<<++，即{}13B x x =-<< {}{}{}21312A B x x x x x x ⋂=≤⋂-<<=-<≤.
（2）不等式230x ax b ++<的解集为集合{}
13x x -<<， 则1-和3是方程230x ax b ++=的两根， 所以(13)36a =--+⨯=-，(1)339b =-⨯⨯=-.
考查绝对值不等式和分式不等式的解法，一元二次方程的根与系数的关系，中档题. 24．（1）证明见解析，2n
n a n =⋅；（2）1
(1)22n n S n +=-+；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用等差数的定义结合已知的递推式证明即可； （2）由（1）可知2n
n a n =⋅，然后利用错位相减法求n S ； （3）由1(2)2n n n a a n +-=+⋅及1
(2)22n n n ++⋅>可得1
11
(2)22n n n +<+⋅，从而再利用放
缩法可证得结果. 【详解】
（1）证明：1111122211222222
n n n n n n n
n n n n n n
a a a a a a ++++++-=-=+-=， ∴2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1
112a =，公差为1的等差数列， ∴
1(1)12
n
n a n n =+-=，∴2n n a n =⋅. （2）∵1
2
3
1222322n n
S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴2
3
4
1
21222322
n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
两式相减得：1
2
3
1
22222
n
n n S n +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，
()1212212
n n n n S +-=
-⋅--，
∴1
(1)2
2n n S n +=-+.
（3）证明：∵2n
n a n =⋅，∴1
1(1)2n n a n ++=+⋅，∴1(2)2n
n n a a n +-=+⋅，
当*n N ∈时，22n +>，∴1(2)22n n n ++⋅>， ∴1
11
(2)22n n n +<+⋅，
∴
21324311111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅----23411111
2222
n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅< 1114211111222
12
n
n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=
=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. 【点睛】
此题考查了证明等差数列，错位相减法求和，利用放缩法证明不等式，综合性较强，考查了运算能力，属于中档题.
25．（1）证明见解析.（2）证明见解析
（1）根据条件利用基本不等式可得221
344a b ab ab
+=+，然后解关于ab 的不等式即可； （2）要证3311113()a b a b --，即证221113a ab b ++，然后根据条件得到22
1113a ab b ++成立． 【详解】
（1）证明：由221
0,344>+=≥+ab a b ab ab
(当且仅当224a b =，即2a b ==得“=”).
所以2134()ab ab +≥，即24()310ab ab --≤，所以1ab ≤(当且仅当2
a b ==
时取得“=”) （2）
332222
111111111111111133=3a b a b a b a ab b a b a b a ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---=-++---++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(※)，
因为0b a >>，所以11
0->a b
.
又
221113a ab b ab ++≥，当且仅当a b =时取得“=”，又0b a >>，故221113a ab b ab
++>， 又由（1）知1ab ≤，又0b a >>，故
11ab >，故221113
3a ab b ab
++>>，即22111
30a ab b
++->， 故(※)式成立，即原不等式成立. 【点睛】
本题考查了基本不等式，利用综合法证明不等式和利用分析法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题． 26．（1）2m =（2）2 【分析】
（1）解绝对值不等式得到31m x m -≤≤+，对比解集得到答案. （2）直接利用均值不等式计算得到答案. 【详解】
（1）∵1m ，解不等式21x m -≤-得121m x m -≤-≤+，∴31m x m -≤≤+， 因为解集为[]1,3，∴2m =.
（2）2a b +=，则()()()()
2
22222222
22a b a b ab a b a b a b +=++≤+++=+，
故222a b +≥，当且仅当1a b ==时，等号成立，故22a b +的最小值为2.
本题考查了绝对值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.。