实际问题与二次函数2名师课件

则得到：AE 3 x ，腰长 AB CD 2 3 x
3
3
两腰与下底的和为4得到：下底为 BC 4 4 3 x
3
所以上底为 AD 4 2 3 x
3
设横断面的面积为S，则 S 1 (AD BC)BE 3x2 4x
2
3 0，对称轴为x 2 3 3
∴当
x
23 3
时，横断面面积最大为
22
2
a 1 0, 且 x 8 2
∴ 当x=8时，S取最大值为64.
探究一：最大面积
重点知识★
活动3 变式应用
例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米墙可 以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？
【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出 面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错 点，最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．
【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形． 解答抛物线形实际问题的一般思路： 1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题； 2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标； 3.求抛物线的解析式.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰 与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大， 最大面积是____________．
解：（1）横向甬道的面积为： 1 (120 180)x 150x(cm2 )
（2）依题意：2
80x
2 150x
2x2
1
(120
180)
80
1
2
8
整理得：x2 155x 750 0
解得：x1=5， x2 =150，（舍去） 故甬道的宽为5米.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米， 上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两 条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米． （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元) 与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每 平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？ 最少费用是多少万元？
解： （3）设建设花坛的总费用为y万元．
则：
y
0.02
1 2
(120
180)
80
(2
x2
310x)
5.7
x
0.04x2 0.5x 240
当 x b 6.25 时，y的值最小．
2a
∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，
∴ 当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底 长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬 道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽 为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费 用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分 的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所 建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
探究一：最大面积
重点知识★
活动2 师生共研，探索解法
例1. 李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想 请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大， 最大值是多少？
设矩形宽为x厘米，则长为 24 2x 12 x 厘米.
2
S x(12 x)
当x=6时，S取最大值为36.
探究一：最大面积
∵ 0≤60-2x≤32. ∴ 14≤x≤30 当x=15时，S取最大值为450.
探究一：最大面积
重点知识★
小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定 都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定． 通过前面问题的对比，希望你们能够理解函数图象的顶 点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端 点处才有符合实际的最值．
解：（1）y x 40 x 1 x2 20x ，
2
2
自变量x的取值范围是0＜x≤25；
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1 基础性例题
例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²．
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1 基础性例题
例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²． (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围. (2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底 长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬 道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽 为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
解：由题意可知 4 y 1 2 x 6x 15，化简得 y 15 6x x ，
2
4
设窗户的面积为S m2，
则 S 1 x2 2x 15 6x x 3x2 15 x ，
2
4
2
∵ a 3 0 ，
∴S有最大值．∴当x＝1.25 m时，S最大值≈4.69(m2)，
即当x＝1.25 m时，窗户通过的光线最多．
此时PC=BC-BP=4-x，其中2≤x≤4；
y PC CD PC AB 2(4 x) 2x 8 ，其中2≤x≤4；
x2,
0 x2
综上所述：y
2x 8, 2 x 4
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习. 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两 个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形 的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
43 3
.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动3 探究型例题
例4. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC 边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C 两点后就停止移动，回答下列问题：
解：令DE=x，AD=a，则AE=a-x，
所以面积之和 S x2 (a x)2 2x2 2ax a2 2(x a )2 a2 ，
所以当
x
a
2
时，面积最小，即E应选在AD的中点.
2
2
【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边长，
进而表示出两个正方形的面积之和，转化为二次函数求最值．
探究一：最大面积
重点知识★
练习2. 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？
【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出 面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点．
解：与墙垂直的一边为x米，则 S x (60 2x)
（1）对于任意一个二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0） ， 可以利用配方把它化为顶点式 y a(x h)2 k，进而写出顶点坐 标（h,k）和对称轴x=h.
（2）求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点，即令y=0 即可；其与x轴交点即为（x1，0）、（x2，0）； 求二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点，即令x=0即可；其与y轴交 点即为（0，c）.
（3）将二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）转化成顶点式 y a(x h)2 k 来求二次函数最值，当x=h时，y取最值为k.
探究一：最大面积
活动1 创设情境，发现问题
重点知识★
请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？ 再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？
画周长一定的矩形时，我们会发现矩形长、宽、面积不确定． 要求其面积的最大值，我们需要用二次函数的知识去解决.
探究一：最大面积
重点知识★
活动3 变式应用
例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可 以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形长为x（x≤8）厘米，则宽为 24 x 厘米.
2
S x 24 x 1 x (24 x) 1 (x 12)2 72
(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米， 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (3)t为何值时S最小？求出S的最小值.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动3 探究型例题
例4. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC 边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C 两点后就停止移动，回答下列问题：
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.
(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
解：（2）y 1 x2 20x 1 x 202 +200
2
2
∵ 20＜25，
∴ 当x=20时，y有最大值200，
即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习. 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形， 制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等 于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ (结果精确到0.01 m)
【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形，充分利用几何关 系来求解同时写出自变量阴影部分的重叠部分的面积为y
当0≤x≤2时，如下面的左边的图形所示，PQ=BP=x，
此时y=PQ²=x²，其中0≤x≤2；
当2≤x≤4时，如下面的右边的图形所示， PQ=BP=x ，
【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的 关系式，进而列式转化为二次函数求解．
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰 与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大， 最大面积是____________．
解：底角为120°，则高和腰之间的夹角为30°，水渠深度为 x ,
【思路点拨】中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何 关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习. 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形， 制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等 于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ (结果精确到0.01 m)
重点知识★
练习1. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？
【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出 面积的关系式是本题关键．
解：设矩形一边长l ，则长为 60 2l （30 l）厘米．
2
S l(30 l)
当l=15时，S取最大值为225.
此时，窗户的面积是4.69 m2.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动2 提升型例题
例2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC 上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ 为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设 BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm²， 试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．