高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 1.2 椭圆的简单性质(二)

1.2椭圆的简单性质(二)
学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一点与椭圆的位置关系
思考1判断点P(1,2)与椭圆x2
4＋y
2＝1的位置关系．
思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
知识点二直线与椭圆的位置关系
思考1直线与椭圆有几种位置关系？
思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的位置关系？
知识点三直线与椭圆的相交弦
思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？
梳理弦长公式：(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]；
(2)|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝(1＋1k
2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 注：直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率．
其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．
类型一直线与椭圆的位置关系
命题角度1直线与椭圆位置关系的判断
例1直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 2
3
＝1的位置关系是() A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定
反思与感悟直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：
(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．
(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．
(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．
跟踪训练1在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22
＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．
命题角度2距离的最值问题
例2在椭圆x 24＋y 2
7
＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．
反思与感悟此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．
跟踪训练2已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
类型二弦长及中点弦问题
例3已知椭圆x 236＋y 29
＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为12
时，求线段AB 的长度； (2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．
反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练3已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为
22
，求椭圆的方程．
类型三椭圆中的最值(或范围)问题
例4已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
引申探究
在例4中，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．
反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练4椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12
，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且直线l 的方程为y ＝kx ＋3(k >0)，若O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最大值．
1．经过椭圆x 216＋y 23
＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为() A ．6B ．8C ．10D ．16
2．经过椭圆x 29＋y 26
＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为() A ．1B ．2C ．3D ．4
3．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23
＝1有两个公共点，则m 的取值范围是() A ．m >1B ．m >1且m ≠3
C ．m >3
D ．m >0且m ≠3
4．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22
＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB 所在的直线方程为________________．
5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22
＋y 2＝1交于M ，N 两点， 且|MN |＝
423
，求直线l 的方程．
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为
(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32
，故点在椭圆外． 思考2当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b
2>1； 当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b
2＝1； 当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b
2<1. 知识点二
思考1有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．
思考2联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b
2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程.
知识点三 思考有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．
题型探究
例1A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．] 跟踪训练1解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 2
2
＋(kx ＋2)2＝1. 整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于
Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭
⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为
⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭
⎫22，＋∞. 例2解设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 2
7
＝1，
并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，
Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，
故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32
x －4， 显然y ＝32
x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝⎛⎭⎫32
，－74. 跟踪训练2解设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0， 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，
Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，
解得a ＝3或a ＝－3，
∴与直线l 距离较近的切线方程为
x －y ＋3＝0，
最小距离为d ＝|4－3|2
＝22. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧ x ＝－83，y ＝13，
即P 点坐标为(－83，13
)． 例3解(1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12
(x －4)， 即y ＝12x .由⎩⎨⎧ y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.
于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝
(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2 ＝
52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52
×62＝310.所以线段AB 的长度为310.
(2)当直线l 的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l 的斜率存在．
设l 的斜率为k ，则其方程为
y －2＝k (x －4)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29
＝1，消去y 得 (1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.
若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2
， 由于AB 的中点恰好为P (4,2)，
所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2
＝4， 解得k ＝－12
，且满足Δ>0. 这时直线的方程为y －2＝－12
(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.
跟踪训练3解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①
∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，
∴y 1－y 2x 1－x 2
＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2
＝k OC ＝22， 代入①式可得b ＝2a .
∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.
又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|
＝2|x 2－x 1|＝22，
∴|x 2－x 1|＝2.
联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0，
可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.
且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，
∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b
.② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13
， ∴b ＝23
. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 2
3
＝1. 例4解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ， 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52
. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，
由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15
(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝2(x 1－x 2)2
＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦
⎤4m 225－45(m 2－1) ＝25
10－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .
引申探究解可求得O 到AB 的距离d ＝
|m |2
， 又|AB |＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12·2510－8m 2·|m |2
＝25(54
－m 2)m 2
≤25·(54－m 2)＋m 22＝14
， 当且仅当54
－m 2＝m 2时，等号成立， 此时m ＝±104∈[－52，52
]． ∴所求直线的方程为x －y ±
104＝0. 跟踪训练4解(1)已知椭圆的离心率为12
，不妨设c ＝t ，a ＝2t ， 即b ＝3t ，其中t >0，
又△F 1PF 2面积取最大值3时，即点P 为短轴端点， 因此12
·2t ·3t ＝3， 解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋3，x 24＋y 23
＝1， 整理得(4k 2＋3)x 2＋83kx ＝0.
解得x 1＝0或x 2＝－83k 4k 2＋3
. ∵k >0，
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝1＋k 2|－83k 4k 2＋3| ＝1＋k 2·83k 4k 2＋3
， 原点O 到直线l 的距离为d ＝31＋k 2
. ∴S △OAB ＝121＋k 2·83k 4k 2＋3·31＋k 2
＝12k 4k 2＋3＝124k ＋3k
≤1243＝3， 当且仅当4k ＝3k ，即k ＝32
时， △OAB 面积的最大值为 3.
当堂训练
1．B2.D3.B4.x －2y ＋3＝0
5．解设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 22
＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，
所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2
＝0. 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329
， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329
， 所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329
， 即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2
)2＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0，
所以k 2＝1，所以k ＝±1.
所以所求直线l 的方程是x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。