人教版平行四边形单元 易错题难题提高题学能测试试卷

人教版平行四边形单元 易错题难题提高题学能测试试卷
一、选择题
1．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，1BC =，3CE =，H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )
A ．2
B ．52
C ．332
D ．5
2．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，AB=AD=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A-B-C-D 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若△BPQ 的面积为20cm 2 ， 则满足条件的t 的值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线AC 上一点，且CG =CB ，连接BG ，取BG 上任意一点H ，分别作HM ⊥AC 于点M ，HN ⊥BC 于点N ，若正方形的边长为2，则HM +HN 的值为（ ）
A 2
B ．1
C 3
D ．22
4．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：
①CE BG =；
②EC BG ⊥
③22222FG BF BD BC +=+
④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）
A ．②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④ 6．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，C
E AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，
F 、
G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点
H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正
确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片，使AD 落在BC 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论①∠AGD ＝110.5°；②S △AGD ＝S △OGD ；③四边形AEFG 是菱形；④BF 2OF ；⑤如果S △OGF ＝1，那么正方形ABCD 的面积是2，其中正确的有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．下列命题中，真命题的个数有（）
①对角线相等的四边形是矩形；
②三条边相等的四边形是菱形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．3个B．2个C．1个D．0个
9．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；
②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=72
5
.其中正确结论的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠刀AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；
③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为______
12．如图，菱形ABCD的BC边在x轴上，顶点C坐标为(3,0)
-，顶点D坐标为(0,4)，点E在y轴上，线段//
EF x轴，且点F坐标为(8,6)，若菱形ABCD沿x轴左右运动，连接AE、DF，则运动过程中，四边形ADFE周长的最小值是_______．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．
14．已知在矩形ABCD中，
3
,3,
2
AB BC
==点P在直线BC上，点Q在直线CD上，且
,
AP PQ
⊥当AP PQ
=时，AP=________________．
15．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（23，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），则EP十BP的最小值为__________．
16．菱形ABCD的周长为24，∠ABC=60°，以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE，
连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.
17．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则
DF =_________．
18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，
19．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．
20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．
（1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
22．综合与探究
如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:
（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒
①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当
ACB =∠_______时,CF BD ⊥．
23．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．
（1）求证：四边形ECFG 是菱形；
（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．
24．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；
（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两
点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．
25．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．
（1）如图1，求证：//AC DE ；
（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；
（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．
26．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．
(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；
(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．
①求证：13h h =；
②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．
27．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段
BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．
（1）求证：BP ＝CQ ；
（2）若BP ＝13
PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．
28．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12
CBE ABF ∠=∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；
（2）如图2，当32
b a =
时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；
③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．
29．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．
（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．
（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．
（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当325
t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
连接AC 、CF ，根据正方形性质求出AC 、CF ，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
如图，连接AC 、CF ，
∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，BC=1，CE=3，
∴2，CF=32ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，由勾股定理得，22AF=AC CF =25- ∵H 是AF 的中点，∴CH=12AF=12×255
故选D ．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
过A 作AH ⊥DC ，由勾股定理求出DH 的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P 在线段AB 上，②当点P 在线段BC 上，③当点P 在线段CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定t 的值．
【详解】
解：过A 作AH ⊥DC ，∴AH =BC =8cm ，DH =22AD AH - =10064-=6． i ）当P 在AB 上时，即1003t ≤≤
时，如图，1110382022BPQ S BP BC t =⋅=-⨯=（），解得：53
t =；
ii ）当P 在BC 上时，即103
＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022
BPQ S BP CQ t t =⋅=-⨯-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．
iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤345，则有
PQ =34-5t ，13458202BPQ S t =-⨯=（），295
t =＜6（舍去）； 若点P 在Q 的左侧时，即
3485t ≤＜，则有PQ =5t -34，15348202
BPQ S t =-⨯=（）； t =7.8． 综上所述：满足条件的t 存在，其值分别为153
t =，t 2=7.8．
故选B ．
【点睛】
本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．
3．A
解析：A
【分析】
连接CH ，过G 点作GP ⊥BC 于点P ，根据BHC GHC BCG S S S ∆∆∆+=将HM HN +转化为GP 的长，再由等腰直角三角形的性质进行求解即可得解.
【详解】
连接CH ，过G 点作GP ⊥BC 于点P ，如下图所示：
由题可知：12HBC S BC HN ∆=⨯，12HGC S GC HM ∆=⨯，12
BGC S BC GP ∆=⨯ ∵BHC GHC BCG S S S ∆∆∆+=
∴
111222
BC HN GC HM BC GP ⨯+⨯=⨯ ∵CG =CB ，
∴HN HM GP += ∵四边形ABCD 是正方形，正方形的边长为2
∴45BCA ∠=︒，22AC =
∴22
CB CG AC ==
= ∵GP ⊥BC ∴GPC ∆是等腰直角三角形
∴GP ==
∴HN HM +=
，
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了三角形的面积求法，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
4．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则
∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠EAD=∠AEB ，
又∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAE ，
∴∠BAE=∠BEA ，
∴AB=BE ，
∵AB=AE ，
∴△ABE 是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE ，BC=AD ，
在△ABC 和△EAD 中，
AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；
①正确；
∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），
∴S △FCD =S △ABC ，
又∵△AEC 与△DEC 同底等高，
∴S △AEC =S △DEC ，
∴S △ABE =S △CEF ；
⑤正确；
若AD 与AF 相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC ，
即EC=CD=BE ，
即BC=2CD ，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定正确；
故选C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
5．C
解析：C
【分析】
利用SAS 证明△AGB ≌△ACE ，即可判断①；证明∠BNM=∠MAE=90︒，即可判断②；假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC =BC ，而AC 与BC 不一定相等，即可判断③；利用勾股定理证得2222BC EG BE CG +=+，从而证得结论④成立．
【详解】
∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，
∴AC=AG ，AB=AE ，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，
在△AGB 和△ACE 中，
∵AG AC GAB CAE AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AGB ≌△ACE(SAS)，
∴GB=CE ，故①正确；
设BA 、CE 相交于点M ，
∵△AGB ≌△ACE ，
∴∠GBA=∠CEA ，
又∵∠BMN=∠EMA ，
∴∠BNM=∠MAE=90︒，
∴EC BG ⊥，故②正确；
设正方形ACFG 和正方形ABDE 的边长分别为a 和b ,
∵ACB 为直角三角形，且AB 为斜边，
∴22222AB AC b a BC -=-=，
假设22222FG BF BD BC +=+成立，
则有()22222a a BC b BC ++=+，
整理得：()2222a BC b a =-，即2a BC BC =，
∴a BC =，即AC BC =，
∵AC 与BC 不一定相等，
∴假设不成立，故③不正确；
连接CG ，BE ，设BG 、CE 相交于N ，
∵EC BG ⊥，
∴222222222222BC EG BN NC EN NG BN EN NC NG BE CG +=+++=+++=+， ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，
∴222BE AB =，222CG AC =，
∴222222BC EG AB AC +=+，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C ．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证
∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，
由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，
根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由
FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到
3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．
【详解】
∵点F 是AD 的中点，
∴2FD=AD ， ∵在ABCD 中，AD=2AB ，
∴FD=AB=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠BCF ，
∴∠DCF=∠BCF ，即：12
DCF BCD ∠=∠， ∴①正确；
∵AB ∥CD ，
∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，
又∵AF=DF ，
∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），
∴EF=HF ，
∵CE AB ⊥，
∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，
∴EF CF ==
12EH ， ∴②正确；
∵EF=HF ，
∴2HEC CEF S S =
∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，
∴BE CH <,
∴BEC HCE S
S <, ∴2BEC CEF
S S <， ∴③错误；
设∠AEF=x ，则∠H=x ，
∵在Rt ∆ECH 中，CF=FH=EF ，
∴∠FCH=∠H=x ，
∵FD=CD ，
∴∠DFC=∠FCH=x ，
∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，
∴FG ∥CD ∥AB ，
∴∠AEF=∠EFG=x ，
∵EF=CF ，
∴∠EFG=∠CFG=x ，
∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，
∴3DFE AEF ∠=∠．
∴④正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
①由四边形ABCD 是正方形，可得∠GAD ＝∠ADO ＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数，从而求得∠AGD ；
②证△AEG ≌△FEG 得AG ＝FG ，由FG ＞OG 即可得；
③先计算∠AGE ＝∠GAD+∠ADG ＝67.5°，∠AED=∠AGD －∠EAG=67.5°，从而得到∠AGE ＝∠AED ，易得AE=AG ，由AE ＝FE 、AG ＝FG 即可得证；
④设OF ＝a ，先求得∠EFG ＝45°，易得∠GFO ＝45°，在Rt △OFG 中，GF
a ，从而可证得BF ＝EF ＝GF
；
⑤由S △OGF ＝1求出a 2，再表示出BE 及AE 的长，利用正方形的面积公式可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EAG=∠GAD ＝∠ADO ＝45°，∠AOB=90°，
由折叠的性质可得：∠ADG ＝12
∠ADO ＝22.5°， ∴∠AGD ＝180°－∠GAD －∠ADG ＝112.5°，
故①错误；
由折叠的性质可得：AE ＝EF ，∠AEG ＝∠FEG ，
在△AEG 和△FEG 中，AE FE AEG FEG EG EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEG ≌△FEG （SAS ），
∴AG ＝FG ，
∵在Rt △GOF 中，AG ＝FG ＞GO ，
∴S △AGD ＞S △OGD ，故②错误；
∵∠AGE ＝∠GAD+∠ADG ＝67.5°，∠AED=∠AGD －∠EAG=67.5°，
∴∠AGE ＝∠AED ，
∴AE ＝AG ，
又∵AE＝FE，AG＝FG，
∴AE＝EF＝GF＝AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确；
设OF＝a，
∵△AEG≌△FEG，
∴∠EFG＝∠EAG=45°，
又∵∠EFO＝90°，
∴∠GFO＝45°，
∴在Rt△OFG中，GF，
∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，
∴在Rt△EBF中，BF＝EF＝GF a，即BF OF，故④正确；∵S△OGF＝1，
∴1
2
OF2＝1，即
1
2
a2＝1，
则a2＝2，
∵BF＝EF a，且∠BFE＝90°，
∴BE＝2a，
又∵AE＝EF，
∴AB＝AE+BE+2a＝)a，
则正方形ABCD的面积是)2a2＝(6+＝12+
故⑤正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了四边形的综合，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形、菱形的判定与性质等知识是解题的关键.
8．C
解析：C
【分析】
正确的命题是真命题，根据矩形的判定定理，菱形的判定定理及平行四边形的判定定理依次判断.
【详解】
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该项错误；
②四条边相等的四边形是菱形，故该项错误；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该项正确；
故选：C.
【点睛】
此题考查真命题的定义，正确掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键. 9．D
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；根据角的和差关系求得∠GAF=45°；在直角△ECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明
∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出S△ECG，由S△FCG=3
5GCE S
∆
即可得出结论．
【详解】
①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．
又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；
③正确．理由：
设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，
得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
⑤正确．理由：
∵S△ECG=1
2
GC•CE=
1
2
×6×8=24．
∵S△FCG=3
5GCE
S
∆
=
3
24
5
⨯=
72
5
．
故选D．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
10．C
【分析】
选项①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．选项②错误．可以证明
DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF 即可．选项④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．
【详解】
解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴∠GAF=∠GAD，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=1
2
(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，
设GD=GF=x，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴(4+x)2=82+(12-x)2，
∴x=6，
∵CD=BC=BE+EC=12，
∴DG=CG=6，
∴FG=GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG=1
2
×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=3
5
×24=
72
5
=14.4，故④正确，
故①③④正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空题
11．2
【分析】
过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．
【详解】
解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：
∵H是BG的中点，且BO与HE平行，
∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，
故要使得HE最短，只需要BO最短即可，
当E点位于C点时，则O点与C点重合，
当E点位于D点时，则O点与A点重合，
故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，
由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、
∴22
22
BO,
∴
1
2
2
HE BO，
故答案为：2． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．
12．18
【分析】
由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．
【详解】
在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，
CD ＝22OC +OD =5，
∵ABCD 是菱形，
∴AD ＝CD ＝5，
∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，
∴EF ＝8，
作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，
则E 1（0，2），F 1（3，6），
则E 1F 1即为所求线段和的最小值，
在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=5
2(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．
【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大． 13．33或3或
572 【分析】
△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，
E 是AB 的中点，
132
AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，
30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，
1322AH AE ∴==，333EH AH ==， 233EF EH ∴==，
当AF EF =时，如图2，
过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，
图2
在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，
4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，
30DAN ∴∠=︒，
122
DN AD ∴==，323AN DN == //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，
23AN MF ∴==
AF EF =，FM AB ⊥，
32
AM ME ∴==，
22957124EF ME MF ∴=+=+=； 当3AE EF ==时，如图3，
图3
3EF ∴=，
综上所述：EF 的长为3
3357． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
143223102
【分析】 根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.
【详解】
解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:
∵四边形ABCD 是矩形
,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32
∴223
322+（）（）322
当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:
∵四边形ABCD 是矩形
,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92
∴223
922+（）（）3102
3223102
【点睛】 此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.
1519【分析】
先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ，
23OB ∴=
四边形ABCD 是菱形，
OC ∴垂直平分BD ，23OB OD ==
点P 是对角线OC 上的点，
DP BP ∴=，
EP BP EP DP ∴+=+，
由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ，
,60OB OD DOB =∠=︒，
BOD ∴是等边三角形，
DA OB ⊥， 132OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，
又(0,1)E -，
22(30)(31)19DE ∴=-++=，
即EP BP +的最小值为19，
故答案为：19．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．
16．9或31)．
【分析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
【详解】
解：①如图1，延长EA 交DC 于点F ，
∵菱形ABCD 的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA ⊥BA 时，△ABE 是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=12
AC=3，
则△ACE的面积为：1
2
AE×CF=
1
2
×6×3=9；
②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=1
2
AE，AF=CF=
2
2
AC=32
∵AB=BE=6，
∴AE=2
∴2236
AE AF
-=
∴EC=EF+FC=3632
则△ACE的面积为：1
2
EC×AF=
1
(3632)329(31)
2
⨯⨯=．
故答案为：9或31)．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
17．4
【分析】
证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【详解】
解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD．
∴四边形CDBF 是平行四边形．
作EM ⊥DB 于点M ，
∵四边形CDBF 是平行四边形，22BC =，
∴BE=122
BC =，DF=2DE ， 在Rt △EMB 中，EM 2+BM 2=BE 2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt △EMD 中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
18．6.5或8或18
【分析】
根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点
∴13BQ =
∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，
则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形
∴ 6.5AP BM ==
②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，
过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=
∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=
同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'=
==，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置
∴8AP =或18
∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．
19．4
【分析】
过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得EM=12AD=12
BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=
12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12
FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．
【详解】 过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，
∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，
∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，
∴EM 是△AOD 的中位线，
又∵ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=2EM=2x ，
∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，
∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，
∴△EFC 为等腰直角三角形，
∴EF=FC ，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，
则△BEF 为等腰直角三角形，
∴BF=EF=FC=12BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，
则△BFP ≌△MEP （ASA ），
∴EP=FP=12EF=12FC=12
x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+， 即：222
1(5)()2x x =+，
解得：2x =，
∴BC=2x =4，
故答案为：4．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键． 20．【分析】
作AB 的中点E ，连接EM 、CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后确定CM 的范围．
【详解】
解：作AB 的中点M ，连接EM 、CM ．
在Rt △ABC 中，AB 22AC BC +2286+10，
∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，
∴CM ＝12
AB ＝5．
∵E是BD的中点，M是AB的中点，
∴ME＝1
2
AD＝2．
∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）15
2
，理由见解析；
【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．
（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC ＝60cm ，DF=12CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，
∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t 为152
时，△DEF 为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，
∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED 中，
∵∠DEA=90°，∠A ＝60°，AE=2t
∴AD=4t ，
又∵AC ＝60cm ，CD=4t ，
∴AD+CD=AC ，8t=60，
∴t=152
． 即t=
152
时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF 为直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
22．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒
【分析】
（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;
（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．
【详解】
解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）
理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90︒,
∴∠ABC=∠ACB=45︒,
∵∠BAC=∠DAF,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD 和△CAF 中,
BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,
∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,
∵∠ACB=45︒,
∴∠FCB=90︒,
∴CF ⊥BD,CF=BD,
故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．
理由:
由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒．
∵∠BAC=90︒,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又AB=AC,
∴△DAB ≌△FAC （SAS ）,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90︒,AB=AC,
∴∠ABC=45︒,
∴∠ACF=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF ⊥BD ．
（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF ⊥BD ．
理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,
∴AC=AG,
由（1）可知:△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGD=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,
即CF⊥BD．
故答案为45︒．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．
23．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出
△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，
∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，。