2011高考数学一轮复习91概率与统计率-抽样方法、总体分布的估计
高考数学一轮复习必备：第91课时：第十一章概率与统计率抽样方法总体分布的估计
高考数学一轮复习必备：第91课时：第十一章概率与统计率抽样方法总体分布的估计课题：抽样方法、总体分布的估量一．复习目标：抽样方法、总体分布的估量1．会用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法等常用方法从总体中抽取样本；2．了解统计的差不多思想，会用样本频率估量总体分布．二．知识要点： 1．〔1〕统计的差不多思想是 ． 〔2〕平均数的概念 ．〔3〕方差公式为 ．2．常用的抽样方法是 ．1．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分不有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情形，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情形，记这项调查为②．那么完成①、②这两项调查宜采纳的抽样方法依次是〔 B 〕 ()A 分层抽样法，系统抽样法 ()B 分层抽样法，简单随机抽样法()C 系统抽样法，分层抽样法 ()D 简单随机抽样法，分层抽样法2．样本方差由102211(5)10i i s x ==-∑，求得，那么1210x x x +++=50．3．设有n 个样本12,,,n x x x ，其标准差为x s ，另有n 个样本12,,,n y y y ，且35k k y x =+ (1,2,,)k n =，其标准差为y s ，那么以下关系正确的选项是 〔 B 〕()A 35y x s s =+()B 3y x s s = ()C y x s = ()D 5y x s =+4．某校为了了解学生的课外阅读情形，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时刻的数据，结果用右侧的条形图表示. 依照条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时刻为〔 B 〕()A 0.6小时 ()B 0.9小时()C 1.0小时 ()D 1.5小时时刻(小时)5．x 是12100,,x x x 的平均数，a 是1240,,x x x 的平均数，b 是4142100,,x x x 的平均数，那么x ，a ，b 之间的关系为4060100a b x +=．6．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；从女学生中抽取的人数为80人，那么n =112．7．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，假设6m =，那么在第7组中抽取的号码是 63 ．8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，假设中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的14，且样本容量为160，那么中间一组的频数为 32 ．四．例题分析：例1．某中学有职员160人，其中中高级教师48人，一样教师64人，治理人员16人，行政人员32人，从中抽取容量为20的一个样本．以此例讲明，不管使用三种常用的抽样方法中的哪一种方法，总体中的每个个体抽到的概率都相同．解：〔1〕〔简单随机抽样〕可采纳抽签法，将160人从1到160编号，然后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出．明显每个个体抽到的概率为2011608=． 〔2〕〔系统抽样法〕将160人从1到160编号，，按编号顺序分成20组，每组8人，先在第一组中用抽签法抽出k 号〔18k ≤≤〕，其余组的8k n +(1,2,3,19)n =也被抽到，明显每个个体抽到的概率为18． 〔3〕〔分层抽样法〕四类人员的人数比为3:4:1:2，又34206,2081010⨯=⨯= 12202,2041010⨯=⨯=，因此从中高级教师、一样教师、治理人员、行政人员中分不抽取6人、8人、2人、4人，每个个体抽到的概率为18．例2．质检部门对甲、乙两种日光灯的使用时刻进行了破坏性试验，10次试验得到的两种日光灯的使用时刻如下表所示，咨询：哪一种质量相对好一些？甲乙解：甲的平均使用寿命为：甲x =101214032130321202211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝2121〔h 〕， 甲的平均使用寿命为 ： 乙x ＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝2121〔h 〕， 甲的方差为：2甲S ＝101999191142122222+⨯+⨯+⨯+＝129〔h 2〕， 乙的方差为：2乙S ＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝109〔h 2〕， ∵甲x ＝乙x ，且2甲S ＞2乙S ，∴乙的质量好一些．例3〔1〔2〕画出频率分布直方图；〔3〕依照累积频率分布，估量小于134的数据约占多少百分比．解：〔1〕样本的频率分布表与累积频率表如下：频率直方下：〔3〕依照累积频率分布，小于134的数据约占23100%19.2%120⨯≈． 五．课后作业：1．一个单位有职工160人，其中业务人员96人,治理人员40人，后勤人员24人，为了解职工躯体情形，要从中抽取一个容量为20的样本，如用分层抽样,那么治理人员应抽到多少个 〔 〕()A 3 ()B 12 ()C 5 ()D 102．欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2%来快速估量每月的销售总额.现采纳如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是 〔 〕()A 简单随机抽样 ()B 系统抽样 ()C 分层抽样 ()D 其它方式的抽样3．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成假设干组，[,]a b 是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，那么||a b -等于 〔 〕()A hm ()B h m ()C m h()D 与,m h 无关 4．一个总体的个数为n ，用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为2的样本，个体a 第一次未被抽到，个体a 第一次未被抽到第二次被抽到，以及整个过程中个体a 被抽到的概率分不是 .5．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = .6.有一组数据：)(,,,,321321n n x x x x x x x x ≤≤≤≤ ，它们的算术平均值为10，假设去掉其中最大的n x ，余下数据的算术平均值为9；假设去掉其中最小的1x ，余下数据的算术平均值为11,那么1x 关于n 的表达式为 ；n x 关于n 的表达式为 .7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了6次测验，测得他们的平均速度〔/m s 〕分不如下：甲：2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1乙：2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8试依照以上数据，判定他们谁更优秀．8．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：〔19．100名学生分四个爱好小组参加物理、化学、数学、运算机竞赛辅导，人数不是30、27、23、20．〔1〕列出学生参加爱好小组的频率分布表；〔2〕画出表示频率分布的条形图．。
高考数学总复习：第十一篇 第1讲 抽样方法与总体分布的估计
抓住3个考点
2.频率分布直方图与茎叶图 (1)当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估 计总体的频率分布，我们把反映样本频率分布的表格称为 求极差 频率分布表．绘制频率分布表的步骤为：①_______； 决定组距和组数 将数据分组 列频率分布表 ②_______________；③___________；④_____________. (2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的直方图称为频率 分布直方图．画频率分布直方图的一般步骤是：①绘制频率 分布表；②作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应 一个组的组距；③在上面标出的各点中，分别以相邻两点为 频率 组距 端点的线段为底作矩形，它的高等于该组的____.此时，每 个矩形的面积恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积之 和为___. 1
答案
C
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．(2013· 西安模拟)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学 生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情
况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样
本，应该在这三校分别抽取的学生人数是 A．30,30,30 C．20,30,10 B．30,45,15 D．30,50,10 ( )．
5．(2013· 长沙模拟)如图是某学校一名篮球运 动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则 该运动员在这五场比赛中得分的方差为________． 1 2 (注：方差 s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]， n
其中 x 为 x1，x2，…，xn 的平均数)
1 1 x ＝ (8＋9＋10＋13＋15)＝11，s2＝ ×(9＋4 5 5 ＋1＋4＋16)＝6.8. 解析
高中总复习第一轮数学 第十二章概率与统计(理)12.1 离散型随机变量的分布列
第十二章概率与统计(理)网络体系总览考点目标定位1.离散型随机变量的分布列.离散型随机变量的期望和方差.2.抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归.复习方略指南在复习中,要注意理解变量的多样性,深化函数的思想方法在实际问题中的应用,充分注意一些概念的实际意义,理解概率中处理问题的基本思想方法,掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类:一类是应用随机变量的概念,特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识,讨论随机变量的取值范围,取相应值的概率及期望、方差的求解计算;另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用,教材以实习作业作为一节给出,应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识,迅捷准确的运算能力,严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程,引导学生发现解决问题的方法,达到举一反三的目的,还要进行题后反思,使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构,形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系,从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验,找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练,以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列巩固·夯实基础一、自主梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母ξ、η等表示.(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a、b是常数,则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,x i,…,ξ取每一个值x i(i=1,2,…)的概率P(ξ=x i)=p i,则称表为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(ξ=k)=C k n p k q n-k .C k n p k q n-k =b(k;n,p). 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ） A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 解析:对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案:DA.1B.1±22 C.1+22 D.1-22解析：∵0.5+1-2q+q 2=1,∴q=1±22. 当q=1+22时,1-2q<0,与分布列的性质矛盾, ∴q=1-22. 答案：D3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k21,k=1,2,…,则P(2<ξ≤4)等于( ) A.163 B.41 C.161 D.51 解析:P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=321+421=163.答案:A4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为 __________________________.解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布, 即ξ—B(5,0.1).5.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数ξ的分布列为___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5,P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=4)=0.13×0.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1. 诱思·实例点拨【例1】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中,同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3.解:随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53;当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523C C =103;当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522C C =101.讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C 35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).【例2】(2005北京高考,理)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率为32. (1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ;(2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.∴ξ—B(3,21).(2)“乙至多击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.解:(1)P(ξ=0)=C 03(21)3=81; P(ξ=1)=C 13(21)3=83;P(ξ=2)=C 23(21)3=83;P(ξ=3)=C 33(21)3=81.∵ξ—B(3,2), ∴E ξ=3×21=1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C 33(32)3=2719. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2,B 1、B 2为互斥事件,∴P(A)=P(B 1)+P(B 2)=83×271+81×92=241. ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为241.讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量ξ的所有可能的值x i (i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=x i )=p i ;(3)列成表格.【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s ∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.(2)ξ的数学期望为E ξ=0×t s s ++1×2)(t s st++2×32)(t s st ++…+(n-1)×n n t s st )(1+-+n ×n n t s t )(+. ① t s t +E ξ=3)(t s st ++42)(2t s st ++…+n n t s st n )()2(1+--+1)()1(++-n n t s st n +11)(+++n n t s nt . ②①-②,得E ξ=s t +1)()1(-+-n n t s s t n -n n t s t n )()1(+--nn t s s nt )(1++. 讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.。
2011年高考数学第三节 抽样方法、总体分布估计 共89页
[思考探究] 三种抽样方法有什么共同点和联系？ 提示：(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等． (2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分 层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．
2．作频率分布直方图的步骤
3．总体密度曲线 如果样本容量无限增大，分组的组距无限 缩小，那么 频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总 体密度曲线．总体密度曲线反映了总体分布，即反映 了总体在各个范围内取值的 概率 ．
(2)系统抽样 ①定义：当总体中个体数较多时，可以将总体分成 均衡 的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每 一部分抽取 1 个个体，得到所需的样本，这种抽样叫 做系统抽样．
②步骤
(3)分层抽样 当已知总体由 差异明显的几部分 组成时，常将总体 分成几部分，然后按照各部分 所占的比例 进行抽样， 这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各个部分叫 做层．
随机数表法： 第一步：将18名志愿者编号，编号为01,02,03，…，18. 第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按某一确定的 方向读数，例如选出第8行第7列的数7. 第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01～ 18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得 16,10,12,07,15,13. 第四步：找出以上号码对应的志愿者就是志愿小组的成 员．
简单随机抽样的特点 1．简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的． 2．简单随机抽样样本数n小于等于样本总体的个数N. 3．简单随机抽样样本是从总体中逐个抽取的． 4．简单随机抽样是一种不放回抽样． 5．简单随机抽样的每个个体被选中的可能性均为
[特别警示] 当总体中个体数较少时适用抽签法；当总 体中个体数较多时适用随机数表法．
3．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
2019-2020年高考数学复习 第91课时 第十一章 概率与统计率-抽样方法、总体分布的估计名师精品教案
2019-2020年高考数学复习 第91课时 第十一章 概率与统计率-抽样方法、总体分布的估计名师精品教案课题：抽样方法、总体分布的估计一．复习目标：抽样方法、总体分布的估计1．会用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法等常用方法从总体中抽取样本； 2．了解统计的基本思想，会用样本频率估计总体分布． 二．知识要点：1．（1）统计的基本思想是 ． （2）平均数的概念 ． （3）方差公式为 ． 2．常用的抽样方法是 ．三．课前预习：1．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ B ） 分层抽样法，系统抽样法 分层抽样法，简单随机抽样法 系统抽样法，分层抽样法 简单随机抽样法，分层抽样法 2．已知样本方差由，求得，则．3．设有个样本，其标准差为，另有个样本，且，其标准差为，则下列关系正确的是 （ B ）4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ B ）0.6小时 0.9小时1.0小时 1.5小时5．是的平均数，是的平均数，是的平均数，则，，之间的关系为．6．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则．7．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，时间(小时)组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第7组中抽取的号码是 63 ．8．在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形的面积之和的，且样本容量为，则中间一组的频数为 32 ．四．例题分析：例1．某中学有员工人，其中中高级教师人，一般教师人，管理人员人，行政人员人，从中抽取容量为的一个样本．以此例说明，无论使用三种常用的抽样方法中的哪一种方法，总体中的每个个体抽到的概率都相同．解：（1）（简单随机抽样）可采用抽签法，将人从到编号，然后从中抽取个签，与签号相同的个人被选出．显然每个个体抽到的概率为．（2）（系统抽样法）将人从到编号，，按编号顺序分成组，每组人，先在第一组中用抽签法抽出号（），其余组的也被抽到，显然每个个体抽到的概率为． （3）（分层抽样法）四类人员的人数比为，又，所以从中高级教师、一般教师、管理人员、行政人员中分别抽取人、人、人、人，每个个体抽到的概率为．例2．质检部门对甲、乙两种日光灯的使用时间进行了破坏性试验，10次试验得到的两种日光灯的使用时间如下表所示，问：哪一种质量相对好一些？解：甲的平均使用寿命为：101214032130321202211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝2121（h ），甲的平均使用寿命为 ：＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝2121（h ），甲的方差为：＝101999191142122222+⨯+⨯+⨯+＝129（h 2），乙的方差为：＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝109（h2），∵＝，且＞，∴乙的质量好一些．（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；（2）画出频率分布直方图；（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：（2）频率分布直方图如下：（3）根据累积频率分布，小于134的数据约占．五．课后作业：1．一个单位有职工160人，其中业务人员96人,管理人员40人，后勤人员24人，为了解职工身122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高（cm）体情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如用分层抽样,则管理人员应抽到多少个 （ ）2．欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额.现采用如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是 （ ） 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 其它方式的抽样3．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为，该组上的直方图的高为，则等于 （ ） 与无关4．一个总体的个数为，用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，个体第一次未被抽到，个体第一次未被抽到第二次被抽到，以及整个过程中个体被抽到的概率分别是 .5．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量 .6.有一组数据：)(,,,,321321n n x x x x x x x x ≤≤≤≤ ，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的，余下数据的算术平均值为11,则关于n 的表达式为 ；关于的表达式为 .7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了6次测验，测得他们的平均速度（）分别如下：甲：2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1 乙：2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8 试根据以上数据，判断他们谁更优秀．8（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30的概率．9．100名学生分四个兴趣小组参加物理、化学、数学、计算机竞赛辅导，人数别是30、27、23、20． （1）列出学生参加兴趣小组的频率分布表； （2）画出表示频率分布的条形图．2019-2020年高考数学复习 第92-93课时 第十二章 极限-数列的极限、数学归纳法名师精品教案一知识要点（一） 数列的极限1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作.2.运算法则：若、存在，则有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设、分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为、且,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式： （|q|<1）无穷数列{a n }的所有项和： （当存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数 成立。
版高考数学一轮总复习11.4抽样方法与总体分布的估计课件
件时,估计该工厂获利2 000×8.1=16 200(元).
因为从A,B生产线共随机抽取的200件产品中,A生产线生产的一等级产
品有20件,B生产线生产的一等级产品有35件,由样本频率估计总体概率,
得该工厂生产的产品为一等级产品的概率为 20 35 = 11 ,当产品产量为
200 40
2 000件时,估计该工厂一等级产品获利2 000× 11×10=5 500(元).
考法二 样本的数字特征及其应用 1.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征,利用它 们可对总体进行一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意 义,平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势,方差和标准差可描述 波动大小. 2.有关平均数、方差的一些结论 1)若x1,x2,…,xn的平均数为 x,那么mx1+a,mx2+a,mx3+a,…,mxn+a的平均数是m x +a. 2)设数据x1,x2,…,xn的方差为s2,则 ①数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也为s2; ②数据ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.
解析 (1)从A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为 x1= 1 ×(10×20+8
100
×60+6×20)=8(元),方差为
= s12
×1[(10-8)2×20+(8-8)2×60+(6-8)2×20]=
100
1.6;
从B生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为 x2= 1 ×(10×35+8×40+
A.2.25吨 B.2.24吨 C.2.06吨 D.2.04吨
×0.5=0.0 4.同理,月均用水量在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]的频率分 别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0. 02)=2××a,解得a=0.30,设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0. 08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0. 48<0.5,所以2≤x×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04. 答案 D
2011年高考数学第三节 抽样方法、总体分布估计.ppt
3．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
组别 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 2
3
4
5
4Байду номын сангаас
2
则样本在(20,50]上的频率为
A．12%
B．40%
C．60%
D．70%
()
解析：本题考查样本的频率运算．据表知样本分布在(20,50] 的频数3＋4＋5＝12，故其频率为 ＝0.6. 答案：C
(2)系统抽样 ①定义：当总体中个体数较多时，可以将总体分成 均衡 的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每 一部分抽取 1 个个体，得到所需的样本，这种抽样叫 做系统抽样．
②步骤
(3)分层抽样 当已知总体由 差异明显的几部分 组成时，常将总体 分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样， 这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各个部分叫 做层．
4．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在 区间[4,5)上的数据的频数为________．
解析：对于在区间[4,5)的频率的数值为1－(0.4＋0.15＋ 0.1＋0.05)＝0.3，而样本容量为100，因此频数为30. 答案：30
5．北京某中学高一、高二、高三三个年级的学生数分别为 1 500人，1 200人，1 000人，现采用按年级分层抽样的 方法抽取学生参加2019年奥运会的宣传活动，已知在高 一年级抽取了75人，则这次活动共抽取了________人． 解析：设共抽取了x人，则有： ×1500＝75. ∴x＝185. 答案：185
随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间
隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可
高考数学一轮复习学案抽样方法、总体分布的估计
12.3 抽样方法、总体分布的估计一、知识梳理（一）抽样1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N ．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样⑴用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为N1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为Nn； ⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等； ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．（4）.简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样 简单抽样常用方法：（1）抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．（2）随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码2.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 当Nn（N为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，k=N n ;当Nn不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整除，这时k=N n'.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l ④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l 加上间隔k ，得到第2个编号l +k,第3个编号l +2k ，这样继续下去，直到获取整个样本）①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的． ③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样（二）总体分布1.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.2.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.3.总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n的样本，就是进行了n次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.4.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．0.5 时间(小时) 0 1.0 1.5 2.0二、基础训练1.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是CA.310C 3B.89103⨯⨯C.103 D.101 2.（2004年江苏，6）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为BA.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h3.一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好，要求每班的33号学生留下来参加阅卷调查，这里运用的抽样方法是DA.分层抽样法B.抽签法C.随机数表法D.系统抽样法4.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100 解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况.因此应选D. 答案：D5.一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n 的值为A.640B.320C.240D.160解析：∵n40=0.125，∴n =320.故选B.答案：B6.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种方法中较合适的抽样方法是___________.解析：要研究的总体里各部分情况差异较大，因此用分层抽样. 答案：分层抽样那么分数在［100，110）中的频率和分数不满110分的累积频率分别是______________、_______（精确到0.01）.解析：由频率计算方法知：总人数=45.分数在［100，110）中的频率为458=0.178≈0.18.分数不满110分的累积频率为458652+++=4521≈0.47.答案：0.18 0.47三、例题剖析【例1】 （2004年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法剖析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B. 答案：B评述：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定.【例2】 （2004年福建，15）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同.若m =6，则在第7组中抽取的号码是___________.剖析：此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可.∵m =6，k =7，m +k =13，∴在第7小组中抽取的号码是63. 答案：63评述：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样.采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行.【例3】 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.剖析：已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79=0.21，进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数.由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，故后三组共有的频数为21，依题意qq a --⋅1)1(31=21，a 1（1+q +q 2）=21.∴a 1=1，q =4.∴后三组频数最高的一组的频数为16.答案：16评述：此题剖析只按第二种思路给出了解答，你能按第一种思路来解吗？（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）估计电子元件寿命在100～400 h 以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400 h 以上的概率.剖析：通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤.（2）频率分布直方图如下：(h ) 1.0.0.0.0.（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400 h 内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100～400 h 内的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.评述：画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.【例5】 某批零件共160个，其中，一级品48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个.从中抽取一个容量为20的样本.请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同.【例6】一个容量为100的样本，数据的分组和各组的一些相关信息如下：（1）完成上表；（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）根据累积频率分布图，总体中小于22的样本数据大约占多大的百分比?〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒 四、同步练习 g3.1099 抽样方法、总体分布的估计1．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （ B ）()A 分层抽样法，系统抽样法()B 分层抽样法，简单随机抽样法 ()C 系统抽样法，分层抽样法 ()D 简单随机抽样法，分层抽样法2．已知样本方差由102211(5)10i i s x ==-∑，求得，则1210x x x +++= 50 ． 3．设有n 个样本12,,,n x x x ，其标准差为x s ，另有n 个样本12,,,n y y y ，且35k k y x =+(1,2,,)k n = ，其标准差为y s ，则下列关系正确的是 （ B ）()A 35y x s s =+ ()B 3y x s s =()C y x s = ()D 5y x s =+时间(小时)4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ B ） ()A 0.6小时 ()B 0.9小时()C 1.0小时 ()D 1.5小时5．x 是12100,,x x x 的平均数，a 是1240,,x x x 的平均数，b 是4142100,,x x x 的平均数，则x ，a ，b 之间的关系为4060100a bx +=．6．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n =112．7．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小 组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 63 ．8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为 32 ． 9．某中学有员工160人，其中中高级教师48人，一般教师64人，管理人员16人，行政人员32人，从中抽取容量为20的一个样本．以此例说明，无论使用三种常用的抽样方法中的哪一种方法，总体中的每个个体抽到的概率都相同．10. 现有30个零件，需从中抽取10个进行检查，问如何采用简单随机抽样得到一个容量为10的样本？11．质检部门对甲、乙两种日光灯的使用时间进行了破坏性试验，10次试验得到的两 种日光灯的使用时间如下表所示，问：哪一种质量相对好一些？（2）画出频率分布直方图；（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．13.为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件。
高中数学概率统计知识点全归纳
高中数学《概率与统计》知识点总结一、统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn 。
2、总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++= 321；取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：212)(1∑=−=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=−=ni ix xns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧−⎪⎪=⎪⎨−⎪⎪=−⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。
二、概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示； ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nmA P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； ⑵古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。
高三数学第一轮复习--抽样方法与总体分布的估计
1.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100
名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ D ）
2.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个
容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（C ）
A. 3
B. 3
C. 3
D. 1
C
3 10
10 9 8
10
10
系统抽样、分层抽样这三种方法中较合适的抽样方法是___________
0.18 0.47 分别是______________、_______（精确到0.01）. 总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n的样本，就是进行了n次试验，试验连同所出现的
结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.
1.了解简单随机抽样、分层抽样及系统抽样的意义，会 用它们对简单实际问题进行抽样. 2.会用样本频率分布估计总体分布. 3.会用样本估计总体平均值和方差.
在本章的复习中，要理解几种抽样方法的区别与联 系.应充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率统 计中处理问题的基本思想方法，掌握所学的概率统计 知识的实际应用.
2
5
6
简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率
分数段 ［100，110） 相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
［110，120 ）
［110，120
）［120，130）
频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的
（2）样本数据落在范围
5.某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法从中抽取20人，各年龄段分别
高考数学一轮复习第九章概率与统计第10讲用样本估计总体课件理
④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表. 将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作 频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率.频率反映各 个数据在每组所占比例的大小. ⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应 一个组距，然后以线段为底作一小长方形，它的高等于该组的
频率，这样得到一系列的长方形，每个长方形的面积恰好是该 组距
组上的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图，各个长方形的 面积总和等于___1___.
(2)频率分布折线图和总体密度曲线. ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各长方形上端 的中点，就得频率分布折线图. ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组 数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于 一条光滑的曲线，在统计中称之为总体密度曲线. (3)茎叶图. 当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不 但可以保留所有信息，而且可以随时记录信息，给数据的记录 和表示都带来方便.
即－x ＝1n(x1＋x2＋…＋xn). 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 应该相等.
(2)样本方差、标准差. ①标准差 s＝ 1n[x1－－x 2＋x2－－x 2＋…＋xn－－x 2] (其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是样本容量，－x 是_平__均__数__).
A.x1，x2，…，xn的平均数 C.x1，x2，…，xn的最大值
B.x1，x2，…，xn的标准差 D.x1，x2，…，xn的中位数
解析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准 差.故选 B.
答案：B
(2)(2018 年新课标Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村 的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村 的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经 济收入构成比例，得到如图 9-10-3 所示的饼图：
高考数学一轮复习专题十一概率与统计4抽样方法与总体分布的估计综合篇课件新人教A版
数据相对于平均数的波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波动
性越大.
4.茎叶图
(1)茎叶图是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是
从茎的旁边生长出来的数.
(2)茎叶图的画法步骤
第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分; 第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小顺序排成一列. 5.百分位数 (1)把100个样本数据按从小到大排序,得到第p个和第p+1个数据分别为a, b.可以发现,区间(a,b)内的任意一个数,都能把样本数据分成符合要求的
抽样比=
样本容量 总体容量
=
各层所抽取的个体数 各层个体数
.
考点二 用样本估计总体 1.频率分布表与频率分布直方图 频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下: (1)求极差,即求一组数据中最大值与最小值的差; (2)决定组距与组数; (3)将数据分组; (4)列频率分布表,落在各小组内的数据的个数叫做频数,每小组的频数与 样本容量的比值叫做这一小组的频率,计算各小组的频率,列出频率分布 表; (5)画频率分布直方图,依据频率分布表画出频率分布直方图,其中纵坐标 (小长方形的高)表示频率与组距的比值,其相应组距上的频率等于该组上
=
8 15
,
P(ξ=2)=
C22C04 C62
=
1 15
,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
6
8
1
15
15
15
所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0× 6 +1× 8 +2× 1 = 2 .
15 15 15 3
考法二 样本的数字特征及其应用 例2 (2021届新教材地区第一次月考)某工厂A,B两条生产线生产同款产 品,若产品按照一、二、三等级分类,则每件可分别获利10元、8元、6元, 现从A,B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测,结果统计如图:
概率与统计中的抽样与估计
概率与统计中的抽样与估计概率与统计是一个能够帮助我们了解和解释各种现象和事件的学科。
在概率与统计的研究中，抽样与估计是重要的概念。
本文将介绍抽样与估计的基本概念、方法和应用。
一、抽样的概念与方法1.1 抽样的定义抽样是指从总体中选择一部分元素来进行观察和分析的过程。
总体是指研究对象的全体，而样本则是从总体中抽取出来的具体个体或观测值。
1.2 抽样的方法在概率与统计中，有多种抽样方法可供选择，包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、多阶段抽样等。
不同的抽样方法适用于不同的研究目的和样本特点，研究者需要根据具体情况选择合适的方法。
二、点估计与区间估计2.1 点估计点估计是利用样本数据对总体参数进行估计的方法。
在点估计中，我们通过计算样本统计量来估计总体参数。
常见的点估计方法包括样本平均数估计总体均值、样本比例估计总体比例等。
2.2 区间估计区间估计是利用样本数据对总体参数进行估计时给出的一个区间范围。
在区间估计中，我们通过计算样本统计量的置信区间来估计总体参数的范围。
常见的区间估计方法包括正态分布的置信区间估计和二项分布的置信区间估计等。
三、抽样与估计的应用抽样与估计在现实生活和科学研究中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：3.1 调查研究在社会学、市场调研、民意测验等领域，研究人员通常采用抽样与估计的方法来获取总体的信息。
通过从总体中抽取样本进行调查研究，我们可以通过样本的统计量来估计总体的特征，例如人口比例、消费行为等。
3.2 质量控制在工业生产过程中，我们通常需要抽取一部分产品进行质量检验。
通过对样本的检验结果进行统计分析，我们可以估计总体的质量水平，并进行质量控制和改进。
3.3 医学实验在临床医学研究中，抽样与估计也起到了重要的作用。
例如，研究人员可能会从人群中随机抽取一部分人进行药物试验，通过样本的反应来估计药物的疗效，并进行临床决策。
3.4 金融风险评估在金融风险评估中，我们常常需要对资产组合的价值进行估计。
概率与统计中的抽样与估计
概率与统计中的抽样与估计在数学领域中，概率与统计是两个密不可分的概念。
概率是通过数学方法来研究随机事件发生的可能性，而统计是通过收集、整理和分析数据来推断总体特征的学科。
在概率与统计的学习过程中，抽样与估计是其中重要的内容之一。
本文将深入讨论在概率与统计中的抽样与估计的概念与应用。
一、抽样方法在统计学中，抽样是指从总体中选择一部分个体进行研究或者数据收集的过程。
合理的抽样方法可以确保研究结果的可靠性和有效性。
常见的抽样方法包括随机抽样、系统抽样、分层抽样和群集抽样等。
1. 随机抽样随机抽样是指通过随机选择个体形成样本的方法。
随机抽样可以避免主观因素对样本的影响，保证样本的代表性。
常用的随机抽样方法包括简单随机抽样、整群抽样和系统抽样等。
2. 系统抽样系统抽样是指按照某种系统性的方法选择样本的过程。
例如，在调查问卷中，可以选择每隔一定间隔的受访者进行调查，这就是一种系统抽样。
系统抽样适用于总体有规律排列的情况下，可以简化样本的选择过程。
3. 分层抽样分层抽样是指将总体分为若干个不同层次的子总体，在每个子总体中进行随机抽样。
这种抽样方法可以更好地代表总体的特征。
分层抽样常用于大规模调查和研究中，比如根据地理位置、年龄、性别等进行层次划分，再在每个层次中进行抽样。
4. 群集抽样群集抽样是指将总体划分为若干个群集，然后随机选择若干个群集，再对每个群集进行全员调查或者抽样调查。
群集抽样适用于总体分布广泛，难以直接访问的情况下，例如对某个地区的农户进行调查。
二、点估计点估计是指通过样本数据推断总体参数的数值估计。
在概率与统计中，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的点估计方法，它假设样本数据是从已知分布中独立抽取得到的。
通过构建似然函数，寻找使得似然函数最大化的参数值，从而对总体参数进行估计。
最大似然估计具有无偏性和一致性的性质。
2. 矩估计矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩与总体矩之间的关系进行求解。
高中总复习第一轮数学 (新人教A) 第十二章 统计(文) 12.1 抽样方法与总体分布的估计
第十二章统计(文)网络体系总览考点目标定位1.抽样方法,总体分布的估计.2.总体期望值和方差的估计.复习方略指南在本章的复习中，要理解几种抽样方法的区别与联系.应充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率统计中处理问题的基本思想方法，掌握所学的概率统计知识的实际应用.这部分内容高考命题趋向主要以选择题、填空题为主，重点考查基础知识、基本概念及其简单的应用.对有关概率统计的应用题要多加关注.12.1 抽样方法与总体分布的估计巩固·夯实基础一、自主梳理1.常用的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样两种.这两种抽样方法都是不放回抽样和等概率抽样.2.总体分布的估计.用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，样本容量越大，估计越精确.将总体与随机变量沟通后，就可以用概率的知识研究统计问题.(1)当总体中的个体取不同值很少时，其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图.(2)当总体中的个体取不同值较多时，对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识，列出频率分布表和区间内取值的频率分布表和频率分布直方图.3.累积频率分布.累积频率分布是从另一角度反映了一组数据分布的情况，因此在频率分布表中常增设一列累积频率，而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图；当样本容量无限增大，频率分布直方图趋近于总体密度曲线时，相应的累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线，即累积分布曲线.4.生产过程中的质量控制图.通过生产过程中的质量控制图，了解统计中假设检验的基本思想，明确正态总体及其概率密度函数的概率，掌握正态曲线的性质及其应用，并了解“小概率事件”的概念和它在一次试验中不可能发生的思想.二、点击双基1.为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A.1 000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100解析:这个问题我们研究的是运动员的年龄情况.因此应选D. 答案：D2.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（ ）A.3103C B.89103⨯⨯ C.103D.101 解析:用简单随机抽样法从中抽取，则每个个体被抽到的概率都相同为103,所以选C. 答案：C3.(2005江西高考)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a 、b 的值分别为( )A.0.27，78B.0.27，83C.2.7，78D.2.7，83 解析：组距=0.1,4.3—4.4之间的频数为100×0.1×0.1=1. 4.4—4.5之间的频数为100×0.1×0.3=3.根据前4组频数成等比数列,则4.6—4.7的频数为1·(13)3=27. ∴最大频率a=10027=0.27. 根据后6组成等差数列,且有100-13=87(人),设公差为d,则6×27+256⨯d=87, ∴d=-5.∴b=4×27+234⨯×(-5)=78. 答案：A4.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多_____________人.解析：由题知,设三种态度的人数分别为5x 、x 、3x,则3x-x=12.∴x=6,即人数分别为30、6、18.∴30-(30+6+18)÷2=3. 答案：35.(2006郑州模拟)一个单位有职工360人,其中业务人员276人,管理人员36人,后勤人员48人,为了了解职工的住房情况,要从中抽取一个容量为30的样本,若采用分层抽样的抽样方法,则应从后勤人员中抽取__________________人. 解析：由题意得36030×48=4(人).答案:4诱思·实例点拨【例1】 某批零件共160个，其中一级品48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个.从中抽取一个容量为20的样本.请说明分别用简单随机抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同.剖析:根据简单随机抽样和分层抽样法的概念,设计抽样的方法步骤,然后求出每个个体被取到的概率.解:（1）简单随机抽样法：可采取抽签法，将160个零件按1—160编号，相应地制作1—160号的160个签，从中随机抽20个.显然每个个体被抽到的概率为16020=81. (2)分层抽样法：按比例16020=81，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×81=6个，64×81=8个，32×81=4个，16×81=2个，每个个体被抽到的概率分别为486，648，324，162，即都是81. 综上可知，无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是81.讲评:弄清两种抽样方法的实质,是灵活选用抽样方法的前提和基础,在解决问题时可根据实际情况灵活选用. 链接·提示当总体中的个体较少时,一般可用简单随机抽样;当总体由差异明显的几部分组成时,一般可用分层抽样.而简单随机抽样作为一种最简单的抽样方法,又在其中处于一种非常重要的地位.实施简单随机抽样,主要有两种方法:抽签法和随机数表法.【例2】 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79,而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为_______________________________.解析:已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1-0.79=0.21,进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数.由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79,故后三组共有的频数为21，依题意qq a --•1)1(31=21,a 1(1+q+q 2)=21.∴a 1=1,q=4.∴后三组频数最高的一组的频数为16.答案：16讲评：此题剖析只按第二种思路给出了解答，你能按第一种思路来解吗？(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和累积频率分布图；(3)估计电子元件寿命在100—400 h 以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400 h 以上的概率.剖析:通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤.解:(1)频率分布表如下:寿命(h)频数频率累积频率100—200200.100.10200—300300.150.25300—400800.400.65400—500400.200.85500—600300.151合计200 1(2)频率分布直方图如下：(3)由累积频率分布图可以看出，寿命在100—400 h内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100—400 h内的概率为0.65.(4)由频率分布表可知，寿命在400 h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35.讲评:画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.。
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第91课时：第十一章 概率与统计率——抽样方法、总体分布的估计
课题：抽样方法、总体分布的估计
一．复习目标：抽样方法、总体分布的估计
1．会用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法等常用方法从总体中抽取样本；
2．了解统计的基本思想，会用样本频率估计总体分布．
二．知识要点： 1．（1）统计的基本思想是 ．
（2）平均数的概念 ．
（3）方差公式为 ．
2．常用的抽样方法是 ．
1．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ B ）
()A 分层抽样法，系统抽样法 ()B 分层抽样法，简单随机抽样法
()C 系统抽样法，分层抽样法 ()D 简单随机抽样法，分层抽样法
2．已知样本方差由10
2
211(5)10i i s x ==-∑，求得，则1210x x x +++= 50． 3．设有n 个样本12,,,n x x x ，其标准差为x s ，另有n 个样本12,,,n y y y ，且35k k y x =+ (1,2,,)k n = ，其标准差为y s ，则下列关系正确的是 （ B ）
()A 35y x s s =+
()B 3y x s s = ()
C y x s = ()
D 5y x s =+
4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随
机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读
所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条
形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间
为
（ B ）
()A 0.6小时 ()B 0.9小时
()C 1.0小时 ()D 1.5小时
5．x 是12100,,x x x 的平均数，a 是1240,,x x x 的平均数，b 是4142100,,x x x 的平均数，则x ，
时间(小时)
a，b之间的关系为
4060
100
a b
x
+
=．
6．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=112．
7．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m k
+的个位数字相同，若6
m=，则在第7组中抽取的号码是 63 ．
8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10
个小长方形的面积之和的1
4
，且样本容量为160，则中间一组的频数为 32 ．
四．例题分析：
例1．某中学有员工160人，其中中高级教师48人，一般教师64人，管理人员16人，行政人员32人，从中抽取容量为20的一个样本．以此例说明，无论使用三种常用的抽样方法中的哪一种方法，总体中的每个个体抽到的概率都相同．
解：（1）（简单随机抽样）可采用抽签法，将160人从1到160编号，然后从中抽取20个签，
与签号相同的20个人被选出．显然每个个体抽到的概率为
201 1608
=．
（2）（系统抽样法）将160人从1到160编号，，按编号顺序分成20组，每组8人，先在第一组中用抽签法抽出k号（18
k
≤≤），其余组的8
k n
+(1,2,3,19)
n= 也被抽到，显然每个个体抽
到的概率为1
8
．
（3）（分层抽样法）四类人员的人数比为3:4:1:2，又
34 206,208 1010
⨯=⨯=
12
202,204
1010
⨯=⨯=，所以从中高级教师、一般教师、管理人员、行政人员中分别抽取6人、
8人、2人、4人，每个个体抽到的概率为1
8
．
例2．质检部门对甲、乙两种日光灯的使用时间进行了破坏性试验，10次试验得到的两种日光灯的使用时间如下表所示，问：哪一种质量相对好一些？
解：甲的平均使用寿命为：
甲x =10
1214032130321202211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝2121（h ）， 甲的平均使用寿命为 ：
乙x ＝
10
1214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝2121（h ）， 甲的方差为：2甲S ＝10
1999191142122222+⨯+⨯+⨯+＝129（h 2）， 乙的方差为：2乙S ＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝109（h 2）， ∵甲x ＝乙x ，且2甲S ＞2乙S ，∴乙的质量好一些．
例3（1（2）画出频率分布直方图；
（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．
解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：
频率
直方下：
（3）根据累积频率分布，小于134的数据约占23100%19.2%120
⨯≈． 五．课后作业：
1．一个单位有职工160人，其中业务人员96人,管理人员40人，后勤人员24人，为了解职工身体情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如用分层抽样,则管理人员应抽到多少个 （ ）
()A 3 ()B 12 ()C 5 ()D 10
2．欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额.现采用如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是 （ ）
()A 简单随机抽样 ()B 系统抽样 ()C 分层抽样 ()D 其它方式的抽样
3．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[,]a b 是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则||a b -等于 （ ）
()A hm ()B h m ()C m h
()D 与,m h 无关 4．一个总体的个数为n ，用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为2的样本，个体a 第一次未被抽到，个体a 第一次未被抽到第二次被抽到，以及整个过程中个体a 被抽到的概率分别是 .
5．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = .
6.有一组数据：)(,,,,321321n n x x x x x x x x ≤≤≤≤ ，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的n x ，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的1x ，余下数据的算术平均值为11,则1x 关于n 的表达式为 ；n x 关于n 的表达式为 .
7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了6次测验，测得他们的平均速度（/m s ）分别如下：
甲：2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1
乙：2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8
试根据以上数据，判断他们谁更优秀．
8
（1
9．100名学生分四个兴趣小组参加物理、化学、数学、计算机竞赛辅导，人数别是30、27、23、20．（1）列出学生参加兴趣小组的频率分布表；
（2）画出表示频率分布的条形图．。