03【数学】2010年高考试题——数学(福建卷)(理)精校版
2010年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)[1]-推荐下载
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2010年福建省高考数学试卷（理科）及解析
2010年福建省高考数学试卷（理科一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A、B、C、D、考点：两角和与差的余弦函数。
分析：先根据诱导公式将sin137°cos13°+cos103°cos43°转化为sin43°cos13°﹣sin13°cos43°，再根据两角差的正弦公式得到答案．解答：解：∵sin137°cos13°+cos103°cos43°=sin（180°﹣43°）cos13°+cos（90°+13°）cos43°=sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=故选A．点评：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正弦公式．这种题型经常在选择题中出现，应给与重视．2、（2010•福建）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A、x2+y2+2x=0B、x2+y2+x=0C、x2+y2﹣x=0D、x2+y2﹣2x=0考点：圆的一般方程；抛物线的简单性质。
分析：先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程解答：解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．点评：本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．3、（2010•福建）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A、6B、7C、8D、9考点：等差数列的前n项和。
2010年福建高考试题数学理解析版
2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类） 第I 卷（选择题共50 分）、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 cos13° -cos43° sin13° 的结果等于6.如图，若「i 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH // A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH // FG C. 是棱柱目要求的。
1.计算 sin43y 2=4x 2. 以抛物线 2 2A.x +y +2x=0 C. x +y -x=03. 设等差数列｛ a n ) A.6 B. 74.函数f C 」2D V2的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为2 2B.x +y +x=0 2 2D. x +y -2x=0前n 项和为S n .若a 1= -11,a 4+a 6= -6，则当C.8D.9J?-I-2X -37X <0（X ）= L _2+ln 凡•的零点个数为B. 1C.2S n 取最小值时，n 等于「嚳]A. 05.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输岀的i 值等于A.2B.3C.4D.5D.3B.四边形EFGH D. |是棱台7若点 O 和点F （-2, 0）分别为双曲线2 X22 - y =1 (a>0)的中心和左 a焦占 八A. [3- 2.3,'：)B. [3+2^：=)C. f )D.[-,-:=)4是矩形点P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为JC > 1,/ x- 2y + 3 > 0,8.设不等式组 所表示的平面区域是僞，平面区域02与。
1关于直线3x-4y-9对称。
对于。
1中的任意点A 与J 中的任意点B ，I AB I 的最小值等于28 12 A.B. 4C.D. 2559. 对于复数a,b,c,d ，若集合S= ｛a,b,c,d ｝具有性质"对任意 x,y ^s ,必有x,y ^S ”，则当 d 二 1,《护=1,5 时，b+c+d 等于 A. 1 B. -1 C. 0 D. i10. 对于具有相同定义域 D 的函数f (x )和g (x ),若存在函数h (x ) =kx+b ( k,b 为常数)，对任给的正数€m ，存在相应的xo ^D ，使得当x^D 且x>xo 时，总有1°<应(忑)-呂⑴v 阻则称直线l : y=kx+b 为曲线 y=f (x )与y=g (x )的"分渐近线”。
2010年全国高考理科数学试题及答案-福建
2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A ．12 B. 3 C. 2 D. 2 2.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A. x 2+y 2+2x=0B. x 2+y 2+x=0C. x 2+y 2-x=0D. x 2+y 2-2x=03.设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n . 若a 1= -11,a 4+a 6= -6 ,则当S n 取最小值时，n 等于A.6B. 7C.8D.94.函数f （x ）= 的零点个数为A. 0B. 1C.2D.35.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A.2B.3C.4D.56.如图，若 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台7.若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线2221x y a -=（a>0）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则op fp 的取值范围为 A. [3-, +∞） B. [3+ +∞） C. [74-, +∞） D. [74, +∞）8.设不等式组所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3x-4y-9对称。
对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，∣AB ∣的最小值等于 A. 285 B. 4 C. 125 D. 2 9.对于复数a,b,c,d ，若集合S=｛a,b,c,d ｝具有性质“对任意x,y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当时，b+c+d 等于A. 1B. -1C. 0D. i10.对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k,b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的x 0∈D ，使得当x ∈D 且x>x 0时，总有则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）与y=g （x ）的“分渐近线”。
2010福建高考数学试卷及答案
2010福建高考数学试卷及答案【2010福建高考数学试卷及答案】第一部分选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数 f (x) = x² + ax + b 是一个顶点坐标为(1, m) 且与 x 轴交于两个不等点的抛物线（3 ≤ m ≤ 4），那么 a 是____, b 是____。
【解析】函数 f (x) 是一个抛物线，顶点坐标为（1，m），说明它的对称轴 x=1，那么抛物线的方程为f(x)=(x-1)²+a+1，把点（1，m）代入方程，可以得到二元一次方程m=(1-1)²+a+1，即a=m-1。
再由于抛物线与x轴交于两个不等点，说明抛物线的表达式f(x)=x²+ax+b，在抛物线上方，即对应其自变量x的取值，函数值全部为正，即f(x)>0。
根据这一条件，可以得出b>0。
所以该题的解为：a=m-1，b>0. 【答案】a=m-1，b>0.2. 下列数列按顺序排列是________。
n₁=1，n₂=1，n₃=—5，n₄=—1，n₅=5，n₆=1，n₇=—5，n₈=________。
【解析】观察数列可以发现，n₁和n₂都是1，后面的每两项的正负号和数值相同，且前一对正负号后面都是负数和正数。
所以根据这个规律，数列继续下去应该是—5，5，—5，5，________。
所以该题的解为：5.【答案】5.3. 设 a ≠ 1，若 a² + 2a + 2 = 0, 则 a³ + 2a²+ 2a =________。
【解析】将 a³ + 2a² + 2a 写成 a(a² + 2a + 2) 的形式，可以看出括号里的内容与题干中的方程相同。
所以 a³ +2a² + 2a = a × （—2a） = （—2a²）.【答案】（—2a²）.4. 半径为 r 的水管里沟能流过最大的圆盘的半径是________。
2010年福建卷高考理科数学试题真题及答案
2010年高考福建数学试题（理科解析）本文来自学联网第I卷（选择题共60分）本文来自学联网一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本文来自学联网1．的值等于（）本文来自学联网A. B. C. D. 本文来自学联网【答案】A本文来自学联网【解析】原式= ，故选A。
本文来自学联网【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
本文来自学联网2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )本文来自学联网A. B. C. D. 本文来自学联网【答案】D本文来自学联网【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。
本文来自学联网【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
本文来自学联网3．设等差数列的前n项和为,若, ,则当取最小值时,n等于本文来自学联网A.6B.7C.8D.9本文来自学联网【答案】A本文来自学联网【解析】设该数列的公差为，则，解得，本文来自学联网所以，所以当时，取最小值。
本文来自学联网【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
本文来自学联网4．函数的零点个数为( )本文来自学联网A.0B.1C.2D.3本文来自学联网【答案】C本文来自学联网【解析】当时，令解得；本文来自学联网当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
本文来自学联网【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
本文来自学联网5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（）本文来自学联网A.2B.3C.4D.5本文来自学联网【答案】C本文来自学联网【解析】由程序框图可知，该框图的功能是本文来自学联网输出使和本文来自学联网时的的值加1，因为，，本文来自学联网所以当时，本文来自学联网计算到，故输出的是4，选C。
2010福建高考数学试卷及答案
2010福建高考数学试卷及答案（正文）第一部分：选择题1. 已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，若 f(x) = 0，则 x 的值是多少？解析：将 f(x) = 0 代入函数，得到 x^2 - 4x + 3 = 0。
将方程进行因式分解，可得 (x - 1)(x - 3) = 0。
因此，得到 x = 1 或 x = 3。
2. 设集合 A = {0, 2, 4, 6}，集合 B = {2, 3, 5}，则 A∪B 的结果是什么？解析：A∪B 表示求两个集合的并集，即将 A 和 B 中的元素放在一起构成一个新的集合。
所以 A∪B = {0, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 一个菱形 ABCD 的边长为2，已知 AC 的延长线与 BD 的交点为E，且 AE = CE，则△BEC 的面积等于多少？解析：首先，连接 AD 和 BC，我们可以得到一个等边三角形。
由于 AC 的延长线与 BD 的交点为 E，AE = CE，所以△ABC 是一个等腰三角形，且 AB = BC = CA = 2。
因此，△ABC 的高等于2√3/2 = √3。
再由于△BEC 与△ABC 相似，所以它们的面积之比为 (BC/EC)^2 =(2/√3)^2 = 4/3。
因此，△BEC 的面积为(4/3) * (√3)^2 = 4。
4. 设 a = log2(x - 4)，b = log3(x - 2)，c = log4(x - 6)，若 a + b + c = 0，则 x 的值为多少？解析：根据对数的性质，我们可以得到 x - 4 = 2^a，x - 2 = 3^b， x - 6 = 4^c。
将这三个式子相加，得到 x - 8 = 2^a + 3^b + 4^c。
因此，x = 2^a + 3^b + 4^c + 8。
由于 a + b + c = 0，所以 x = 2^0 + 3^0 + 4^0 + 8 = 12。
......（接下来是答案部分，同样以正文形式呈现）1. x 的值为 1 或 3。
da2010年高考数学福建(理)
n BC | n | | BC |
2r 10 ． 5 5 2r
（Ⅱ） （i）设圆柱的底面半径为 r ，则 AB AA 1 2r ， 故三棱柱 ABC A1B1C1 的体积 V1
|t | 4 ，从而 t 2 13 ． 9 1 4
由于 2 13 [4 3， 4 3] ，所以符合题意的直线 l 不存在．
解法二： （Ⅰ）依题意，可设椭圆 C 的方程为
x2 y 2 1(a b 0) ，且有 a 2 b2
4 9 2 2 1， 2 2 2 解得 b 12 或 b 3 （舍去） ．从而 a 16 ． a b a 2 b2 4.
1 ． π
所以 p 的最大值是
（ii）由（i）可知， p 取最大值时， OC ⊥ AB ． 于是，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O - xyz （如图） ， 则 C（r，0，0） ，B（0，r，0） ， B1 （0，r，2r） ． ∵ BC 平面 A 1 ACC1 ， ∴ BC (r， r， 0) 是平面 A1 ACC1 的一个法向量． 设平面 B1OC 的法向量 n ( x，y，z ) ， A1 C1 z O1 B1
1 2 1 2 1 1 ， P(( 9) ， 6 6 3 6 3 6
P
0
1
4
9
1 1 6 3 1 1 1 1 19 所以 E = 0 1 4 9 ． 6 3 3 6 6
1 3
1 6
17．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数 与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分 13 分． 解法一： （Ⅰ）依题意，可设椭圆 C 的方程为
2010年高考福建卷理科数学试题及答案
页脚内容12010年高考福建理科数学试题及答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于A ．12B 3C 2D 3 2．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-=D ．2220x y x +-=3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。
若111a =-，466a a -=-，则当n S 取最小值时，n 等于 A ．6B ．7C ．8D ．94．函数2230()2ln 0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，，，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于 A ．2 B ．3 C ．4D ．5页脚内容26．如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何体11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不 正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2221x y a-=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP uuu r uu u rg 的取值范围为A ．[3- 23 +∞）B ．[3+ 3 +∞）C ．[74-， +∞）D ．[74， +∞）8．设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。
2010年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】先根据诱导公式将sin137°cos13°+cos103°cos43°转化为sin43°cos13°﹣sin13°cos43°，再根据两角差的正弦公式得到答案．【解答】解：∵sin137°cos13°+cos103°cos43°=sin（180°﹣43°）cos13°+cos（90°+13°）cos43°=sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=故选A．【点评】本题主要考查诱导公式与两角和与差的正弦公式．这种题型经常在选择题中出现，应给与重视．2．（5分）（2010•福建）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．【分析】先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程【解答】解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．【点评】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．3．（5分）（2010•福建）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．4．（5分）（2010•福建）函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．【解答】解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：B．【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．5．（5分）（2010•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 的值，并输出满足条件S＞11时，变量i的值．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a S i 是否继续循环循环前/0 1/第一圈 2 2 2 是第二圈8 10 3 是第三圈24 34 4 否此时i值为4故选C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）（2010•福建）如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平行线等分线段定理．【分析】根据直线与平面平行的性质定理可知EH∥FG，则EH∥FG∥B1C1，从而Ω是棱柱，因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，则EF⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，从而四边形EFGH是矩形．【解答】解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选D．【点评】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．7．（5分）（2010•福建）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选B．【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．8．（5分）（2010•福建）设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域是Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）A．B．4 C．D．2【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域Ω1，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值．【解答】解：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离最小，故|AB|的最小值为，故选B．【点评】利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解．9．（5分）（2010•福建）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．i【考点】复数的基本概念；集合的含义．【专题】压轴题．【分析】直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．【解答】解：由题意，可取a=1，b=﹣1，c2=﹣1，c=i，d=﹣i，或c=﹣i，d=i，所以b+c+d=﹣1+i+﹣i=﹣1，故选B．【点评】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识；一般结论对于特殊值一定成立．10．（5分）（2010•福建）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=②f（x）=10﹣x+2，g（x）=③f（x）=，g（x）=④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【考点】极限及其运算；数列的应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时便不符合，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）﹣g（x）→0；对于③f（x）=，g（x）=，，设λ（x）=x﹣lnx，＞0，且lnx＜x，所以当x→∞时x﹣lnx越来愈大，从而f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→+∞时，，因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C故选C【点评】本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）（2010•福建）在等比数列{a n}中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式a n=4n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式，把q代入前3项的和，进而求得a1则数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以通项a n=4n﹣1．故答案为：4n﹣1．【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题．12．（4分）（2010•福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，可知三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，再求解面积即可．【解答】解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为3×2×1=6，所以其表面积为．【点评】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力．13．（4分）（2010•福建）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于0.128．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确；又有每个问题的回答结果相互独立，结合相互独立事件的概率乘法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128．法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128．【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力．14．（4分）（2010•福建）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．【解答】解：∵函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，∴由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．15．（4分）（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k﹣1，2k）．其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的．【解答】解：①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2），正确；②取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…从而f（x）∈[0，+∞），正确；③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④．【点评】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）（2010•福建）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数．（Ⅰ）若点P（a，b）落在不等式组表示的平面域的事件记为A，求事件A的概率；（Ⅱ）若点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，求m的值及最大概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件的概率．【专题】计算题；数形结合．【分析】（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6，画出图形，满足条件的事件A可以列举出有6个整点，根据古典概型概率公式得到结果．（Ⅱ）点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由x，y∈[1，6]，画出图形，直线x+y=m过（1，6）时适合，求得x+y=7，此时有6个整点，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，如图a所示，满足条件的事件A有（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（3，1）6个整点．故．（Ⅱ）点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，注意到x，y∈[1，6]，如图b所示，直线x+y=m过（1，6）（正方形一条对角线）时适合，求得x+y=7，此时有6个整点，最大．【点评】本题考查古典概型，在解题时要利用图形判断出满足条件的事件数，本题利用数形结合的知识，是一个综合题．17．（13分）（2010•福建）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得．（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得．【解答】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．18．（13分）（2010•福建）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；（2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC﹣A1B1C1内的概率为P．当点C在圆周上运动时，记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；平面与圆柱面的截线．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）欲证平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理知BC⊥平面A1ACC1；（2）根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值，从而得到P=的最大值，P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1，而BC⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为=AC•BC•r，又因为AC2+BC2=AB2=4r2，所以=2r2，当且仅当时等号成立，从而V1≤2r3，而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3，故P=，当且仅当，即OC⊥AB时等号成立，所以P的最大值是．P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设OB为y轴的正半轴，OC为x轴正半轴，OO1为z轴的正半轴，则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），因为BC⊥平面A1ACC1，所以是平面A1ACC1的一个法向量，设平面B1OC的法向量，由，故，取z=1得平面B1OC的一个法向量为，因为0°＜θ≤90°，所以===．【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．19．（13分）（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；数形结合．【分析】（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC，即：vt2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=再由二次函数法求解最值．（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，然后是距离最短，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，再解得相应角．【解答】解：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：v2t2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=当t=时，取得最小值，此时，v=30（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC 即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，此时∠BOD=30°此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【点评】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了余弦定理，二次函数法求最值，还考查了数形结合的思想．20．（14分）（2010•福建）已知函数f（x）=x3﹣x，其图象记为曲线C．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．【考点】利用导数研究函数的单调性；定积分；合情推理的含义与作用．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；（2）先求出点P1与点P2的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S1，利用同样的方法求出面积S2即可．【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣x得f′（x）=3x2﹣1=，当和时，f′（x）＞0；当，时，f′（x）＜0，因此，f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为，．（2）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12﹣1）（x﹣x1）+x13﹣x1，即即y=（3x12﹣1）x﹣2x13，由解得x=x1或x=﹣2x1故x2=﹣2x1，进而有S1=|（x3﹣3x13x+2x13）dx|=，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=﹣2x2和，又x2=﹣2x1≠0，所以S2≠0，因此有【点评】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．21．（14分）（2010•福建）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）已知矩阵M=，，且，（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．（3）已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求≤【考点】复合变换与二阶矩阵的乘法；简单曲线的极坐标方程；绝对值不等式的解法．【专题】压轴题；选作题．【分析】选作题1：（Ⅰ）由矩阵MN的表达式，把他们相乘使左边等于右边既可求解实数a，b，c，d的值．（Ⅱ）矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线，可选直线y=3x上的两点做矩阵M所对应的线性变换下的像，即可确定原直线的像．选做题2：（Ⅰ）由极坐标转化为直线坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的直角坐标系，根据根与系数关系求出两实根的关系式，再有t的几何意义求解．选做题3：（Ⅰ）首先把函数的参数表达式≤3，解不等式求出a的值．（Ⅱ）由上题解得的当a=2时，f（x）=|x﹣2|，可设函数g（x）=f（x）+f（x+5），求出g（x）的函数表达式使其≥m对一切实数x恒成立．求解M的范围．【解答】（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），由，，得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=﹣x．（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2﹣2y=0，即=5．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得=5，即t2﹣3t+4=0，由于﹣4×4=2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，又直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．（3）选修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3，又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以，解得a=2．（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，设g（x）=f（x）+f（x+5），于是g（x）=|x﹣2|+|x+3|=，所以，当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．实数m的取值范围是m≤5．【点评】选作题1主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．计算量小属于较容易的题．选作题2主要考查坐标系与参数方程的关系，考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．选修3：本小题涉及不等式，主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．。
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解福建理
2010年福建理一、选择题（共10小题；共50分）1. 计算sin43∘cos13∘−cos43∘sin13∘的结果等于 A. 12B. 33C. 22D. 322. 以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A. x2+y2+2x=0B. x2+y2+x=0C. x2+y2−x=0D. x2+y2−2x=03. 设等差数列a n前n项和为S n．若a1=−11，a4+a6=−6，则当S n取最小值时，n等于 A. 6B. 7C. 8D. 94. 函数f x=x2+2x−3,x≤0,−2+ln x,x>0,的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 35. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A. 2B. 3C. 4D. 56. 如图，若Ω是长方体ABCD−A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是 A. EH∥FGB. 四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台7. 若点O和点F−2,0分别为双曲线x2a2−y2=1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP⋅FP的取值范围为 A. 3−23,+∞B. 3+23,+∞C. −74,+∞ D. 74,+∞8. 设不等式组x≥1,x−2y+3≥0,y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x−4y−9=0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，∣AB∣的最小值等于 A. 285B. 4 C. 125D. 29. 对于复数a，b，c，d，若集合S=a,b,c,d具有性质"对任意x,y∈S，必有xy∈S "，则当a=1b2=1c2=b时，b+c+d等于 A. 1B. −1C. 0D. i10. 对于具有相同定义域D的函数f x和g x，若存在函数 x=kx+b（k,b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有0<f x− x<m,0< x−g x<m,则称直线l:y=kx+b为曲线y=f x与y=g x的 " 分渐近线 "．给出定义域均为D=x∣x>1的四组函数如下：①f x=x2，g x=x；②f x=10−x+2，g x=2x−3x；③f x=x2+1x ，g x=x ln x+1ln x；④f x=2x2x+1，g x=2x−1−e−x．其中，曲线y=f x与y=g x存在 " 分渐近线 " 的是 A. ①④B. ②③C. ②④D. ③④二、填空题（共5小题；共25分）11. 在等比数列a n中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为a n=．12. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于．13. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．ω>0和g x=2cos2x+φ+1的图象的对称轴完全相同．若14. 已知函数f x=3sin ωx−π6，则f x的取值范围是．x∈0,π215. 已知定义域为0,+∞的函数f x满足，1对任意x∈0,+∞，恒有f2x=2f x成立；2当x∈1,2时，f x=2−x，给出结论如下：①对任意m∈Z，有f2m=0；②函数f x的值域为0,+∞；③存在n∈Z，使得f2n+1=9；④"函数f x在区间a,b上单调递减"的充要条件是"存在k∈Z，使得a,b⊆2k,2k+1 "．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共8小题；共104分）16. 设S是不等式x2−x−6≤0的解集，整数m,n∈S．（1）记使得“m+n=0成立的有序数组m,n”为事件A，试列举A包含的基本事件；（2）设ξ=m2，求ξ的分布列及其数学期望Eξ．17. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A2,3，且点F2,0为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4 ?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．18. 如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC−A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；（2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC−A1B1C1内的概率为p．（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ0∘<θ≤90∘，当p取最大值时，求cosθ的值．19. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30∘且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．20. （1）已知函数f x=x3−x，其图象记为曲线C．（i）求函数f x的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1 x1,f x1处的切线交于另一点P2 x2,f x2，曲线C与其在点P2 x2,f x2处的切线交于另一点P3 x3,f x3，线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则S1S2为定值；（2）对于一般的三次函数g x=ax3+bx2+cx+d a≠0，请给出类似于（1）（ii）的正确命题，并予以证明．21. 已知矩阵M=1ab1，N=c20d，且MN=20−20．（1）求实数a，b，c，d的值；（2）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3−22t,y=5−22t,（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=25sinθ.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为3,，求∣PA∣+∣PB∣．23. 已知函数f x=∣x−a∣．（1）若不等式f x≤3的解集为x∣−1≤x≤5，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f x+f x+5≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．答案第一部分1. A2. D3. A 【解析】设等差数列a n的公差为d，则a1=−11,a4+a6=2a5=−6,进而a5=−3,d=2.因此a6=−1<0，a7=1>0，当n=6时，S n取最小值．4. C 【解析】当x≤0时，令x2+2x−3=0，解得x=−3；当x>0时，令−2+ln x=0，解得x=e2．故函数f x有两个零点．5. C【解析】当i=1时，a=1×2=2，s=0+2=2；当i=2时，a=2×22=8，s=2+8=10；当i=3时，a=3×23=24，s=10+24=34，i=3+1=4，结束循环，故输出的i=4．6. D7. B 【解析】由22=a2+1，解得a=3．设P x,y，且x≥，则OP⋅FP=x+2x+y2=x2+2x+x23−1=43x+342−74,于是当x=3时，OP⋅FP有最小值3+23．8. B 【解析】可行域是以D1,1、E1,2、C3,3为端点的三角形区域．要求∣AB∣的最小值，可转化为求D、E、F三点到直线3x−4y−9=0距离最小值的2倍．经分析，D1,1到直线3x−4y−9=0的距离d=∣3×1−4×1−9∣5=2最小，故∣AB∣的最小值是4．9. B 【解析】S=a,b,c,d且a=1,b2=1,c2=b,所以a=1,b=−1,c=±i.又因为任意x,y∈S，必有xy∈S，当c=i时，d=−i；当c=−i时，d=i．所以b+c+d=−1．10. C【解析】根据题意，可以知道lim x→+∞f xx=limx→+∞g xx=k,以及在此基础上lim x→+∞f x−kx=limx→+∞g x−kx=b是f x与g x存在“分渐近线”的必要条件．由第一个条件可以排除①；由第二个条件可以排除③．事实上，可以计算出对于②，“分渐近线”的方程为y=2，如图：对于④，“分渐近线”的方程为y=2x−2，如图：第二部分11. 4n−1【解析】由题意得S3=a11−431−4=21，所以a1=1，a n=1×4n−1=4n−1．12. 6+23【解析】提示：由三视图知，该三棱柱底面边长为2，高为1．13. 0.12814. −32,3【解析】由两个三角函数图象的对称轴完全相同知其周期相同，即ω=2，又因为x∈0,π2，所以2x−π6∈ −π6,5π6，当2x−π6=−π6时，f x min=−32；当2x−π6=π2时，f x max=3．15. ①②④【解析】由题意得f2m=2f2m−1=2m−1f2=2m−12−2=0，所以①正确；对∀x∈0,+∞，f x=2a f b,b∈1,2，由题意得f x∈0,+∞，所以②正确；因为f2n+1=2n f2n+12n =2n2−2n+12n=2n−1=9无解，所以③不正确；因为f2m t=2m f t,t∈a,b，所以函数f x在a,b内单调性与其在2m a,2m b的单调性一致，所以④正确．第三部分16. （1）由x2−x−6≤0得−2≤x≤3，即S=x∣−2≤x≤3，由于整数m,n∈S且m+n=0，所以A包含的基本事件为−2,2,2,−2,−1,1,1,−1,0,0.（2）由于m的所有不同取值为−2,−1,0,1,2,3，所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有Pξ=0=16,Pξ=1=26=13,Pξ=4=26=13,Pξ=9=16,故ξ的分布列为ξ0149P 16131316所以Eξ=0×1+1×1+4×1+9×1=19.17. （1）依题意，可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，且可知左焦点为Fʹ−2,0，从而有c=2,2a=∣AF∣+∣AFʹ∣=3+5=8,解得c=2,a=4,又a2=b2+c2，所以b2=12,故椭圆C的方程为x 216+y212=1．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=32x+t，由y=3x+t,x2 16+y212=1,得3x2+3tx+t2−12=0,因为直线l与椭圆有公共点，所以有Δ=3t2−4×3t2−12≥0,解得−43≤t≤43,另一方面，由直线OA与l的距离等于4可得∣t∣4+1=4,解得t=±213,由于±213∉ −43,43,所以符合题意的直线l不存在．18. （1）因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC．因为AB是圆O直径，C在圆O上，所以BC⊥AC．又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1．而BC⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．（2）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V1=12AC⋅BC⋅2r=AC⋅BC⋅r,又因为AC2+BC2=AB2=4r2,所以AC⋅BC≤AC2+BC2=2r2,当且仅当AC=BC=2r时等号成立，从而V1≤2r3.而圆柱的体积V=πr2⋅2r=2πr3,则有p=V1≤2r33=1,因此，当且仅当AC=BC=2r，即OC⊥AB时，p的最大值是1π．（ii）由（i）可知，p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O−xyz（如图），则C r,0,0,B0,r,0,B10,r,2r,因为BC⊥平面A1ACC1，所以BC=r,−r,0是平面A1ACC1的一个法向量．设平面B 1OC 的法向量为n = x ,y ,z ，由n ⊥OC ,n ⊥OB 1 ,得rx =0,ry +2rz =0,取z =1得平面B 1OC 的一个法向量为n = 0,−2,1 .因为0∘<θ≤90∘，所以cos θ=∣∣cos n ,BC ∣∣=∣∣∣∣n ⋅BC ∣n ∣⋅∣∣BC ∣∣∣∣∣∣=∣∣2r 5× 2r ∣∣= 105.19. （1）设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S= 900t 2+400−2×30t ×20×cos 90∘−30∘ = 900t 2−600t +400= 900 t −12+300.故当t =13时，S min =10 3,此时v =10 313=30 3.即小艇以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． （2）设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2=400+900t 2−2×20×30t ×cos 90∘−30∘ ,故v 2=900−600+4002, 因为0<v ≤30，所以900−600t +400t2≤900, 整理得2−3≤0, 解得t ≥2又t =23时，v =30.故v =30时，t 取得最小值，且最小值为23．此时，在△OAB 中，有OA =OB =AB =20,故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30∘，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 20. （1）（i ）由f x =x 3−x 得fʹ x =3x 2−1=3 x −3 x + 3. 当x ∈ −∞,− 33 和 33,+∞ 时，fʹ x >0；当x ∈ −33, 33时，fʹ x <0．因此，f x 的单调递增区间为 −∞,− 33 和 33,+∞ ，单调递减区间为 − 33, 33． （ii ）曲线C 在点P 1处的切线方程为y = 3x 12−1 x −x 1 +x 13−x 1,即y = 3x 12−1 x −2x 13. 由y = 3x 12−1 x −2x 13,y =x 3−x ,得x 3−x = 3x 12−1 x −2x 13,即x −x 1 2 x +2x 1 =0,解得x =x 1 或 x =−2x 1,故x 2=−2x 1．进而有S 1=∣∣∣∣ x 3−3x 12x +2x 13 −2x 1x 1d x ∣∣∣∣=∣∣∣ 14x 4−32x 12x 2+2x 13x ∣x 1−2x 1∣∣∣=274x 14.用x 2代替x 1，重复上述计算过程，可得x 3=−2x 2 和 S 2=274x 24.又x 2=−2x 1≠0，所以S 12=1, 为定值．（2）记函数g x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的图象为曲线Cʹ，类似于（1）（ii ）的正确命题为：若对于任意不等于0的实数x 1，曲线Cʹ与其在点P 1 x 1,g x 1 处的切线交于另一点P 2 x 2,g x 2 ，曲线Cʹ与其在点P 2 x 2,g x 2 处的切线交于另一点P 3 x 3,g x 3 ，线段P 1P 2，P 2P 3与曲线Cʹ所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则S1S 2为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y =g x 的对称中心 −b 3a,g −b 3a平移至坐标原点，因而不妨设g x =ax 3+ x ，且x 1≠0． 类似（1）（ii ）的计算可得S1=27ax14,S2=27×16ax14≠0.故S1S2=116，为定值．21. （1）由题设得c+0=2,2+ad=0,bc+0=−2,2b+d=0,解得a=−1,b=−1,c=2,d=2.（2）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两点0,0，1,3，由1−1−110=0,1−1−1113=2,得点0,0，1,3在矩阵M所对应的线性变换下的像是0,0，−2,2，从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=−x．22. （1）由ρ=25sinθ,得x2+y2−25y=0,即x2+ y−52=5.（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3−2t2+2t2=5,即t2−32t+4=0,由于Δ=322−4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=32,t1⋅t2=4.又直线l过点P 3,5,故由上式及t的几何意义得∣PA∣+∣PB∣=∣t1∣+∣t2∣=t1+t2=3 2.23. （1）由f x≤3得∣x−a∣≤3，解得a−3≤x≤a+3，又已知不等式f x≤3的解集为x∣−1≤x≤5，所以a−3=−1,a+3=5,解得a=2．（2）当a=2时，f x=∣x−2∣，设g x=f x+f x+5,于是g x=∣x−2∣+∣x+3∣=−2x−1,x<−3, 5,−3≤x≤2, 2x+1,x>2.所以，当x<−3时，g x>5；当−3≤x≤2时，g x=5；当x>2时，g x>5．综上可得，g x的最小值为5．从而若f x+f x+5≥m，即g x≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为−∞,5．。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，解析版）一、选择题： 1、【答案】A【命题意图】本题考查学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-，2130sin =。
【解析】2130sin 13sin 43cos 13cos 43sin ==-2、【答案】D【命题意图】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。
px y 22=的焦点为)0,2(pF ，求解圆方程时，确定了圆心与半径就好做了。
【解析】抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。
3、【答案】A【命题意图】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。
d n n na S d n a a n n 2)1(,)1(11-+=-+=。
【解析】由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 取得最小值时，6=n .4、【答案】C【命题意图】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。
【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x ex x x x f ，绘制出图像大致为所以零点个数为2。
5、【答案】C 【命题意图】本题考查学生对程序框图的理解。
选材较为简单，只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确作答。
【解析】s =0→i =1→a =2→2=s →2=i →8=a →10=s →3=i →24=a → 34=s →i =4→输出i =4，选择C 6、【答案】D【命题意图】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。
灵活，全面地考查了xye 2-4 -3考生对知识的理解。
【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，焦点必然在B 1C 1上，而EH 平行于B 1C 1，矛盾，所以FG 平行于EH ；由⊥EH 面11ABB A ，得到EF EH ⊥，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形。
【数学】2010年高考试题——数学(福建卷)(理)
所以，解得，
从而值，且最小值为，于是
当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，。
（i）求函数的单调区间；
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。
4．函数的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，
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【答案】①②④
【解析】对①，因为，所以，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。
【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。
0 1 4 9 P 所以=。
17．（本小题满分13分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，
求|PA|+|PB|。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
2010年福建普通高等学校招生全国统一考试数学(理)解析版
2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（数学理）解析版第I 卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题。
每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.122【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2,故选A 。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数,考查基础知识,属保分题。
2.以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.22x +y +2x=0B. 22x +y +x=0C. 22x +y -x=0D. 22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1,0）,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为22x-1)+y =1（,即22x -2x+y =0,选D 。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A【解析】设该数列的公差为d ,则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-,解得2d =, 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--,所以当6n =时,n S 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力。
4.函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】当0x ≤时,令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时,令2ln 0x -+=解得100x =,所以已知函数有两个零点,选C 。
2010年高考福建卷理科数学试题及答案
2010年高考福建理科数学试题及答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于A ．12B 3C ．2 D 32．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-=D ．2220x y x +-=3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。
若111a =-，466a a -=-，则当n S 取最小值时，n 等于A ．6B ．7C ．8D ．94．函数2230()2ln 0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，，，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何体 11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点， F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不 正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2221x y a-=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP uuu r uu u rg 的取值范围为A ．[3- +∞） B ．[3+ +∞） C ．[74-， +∞） D ．[74， +∞）8．设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。
2010年理科数学试题及答案-福建解析
2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A ．12 B. 3 C. 2 D. 22.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A. x 2+y 2+2x=0 B. x 2+y 2+x=0 C. x 2+y 2-x=0 D. x 2+y 2-2x=03.设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n . 若a 1= -11,a 4+a 6= -6 ,则当S n 取最小值时，n 等于 A.6 B. 7 C.8 D.94.函数f （x ）= 的零点个数为A. 0B. 1C.2D.35.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于 A.2 B.3 C.4 D.56.如图，若 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1 D 1，则下列结论中不正确的是 A. EH ∥FG B.四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台7.若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线2221x y a-=（a>0）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则op fp 的取值范围为A. [3- +∞）B. [3+ +∞）C. [74-, +∞）D. [74, +∞）8.设不等式组所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3x-4y-9对称。
对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，∣AB ∣的最小值等于 A.285B. 4C. 125 D. 29.对于复数a,b,c,d ，若集合S=｛a,b,c,d ｝具有性质“对任意x,y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当时，b+c+d 等于A. 1B. -1C. 0D. i10.对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k,b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的x 0∈D ，使得当x ∈D 且x>x 0时，总有则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）与y=g （x ）的“分渐近线”。
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2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于A ．12B ．33C ．22D ．322．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-=D ．2220x y x +-=3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。
若111a =-，466a a -=-,则 当n S 取最小值时，n 等于A ．6B ．7C ．8D ．9 4．函数2230()2ln 0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，，，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A ．2B ．3C ．4D ．5 6．如图，若Ω是长方体1111ABC D A B C D -被平面EFGH 截去几何体11EFG H B C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点， F 为线段1B B 上异于1B 的点，且E H ∥11A D ，则下列结论中不正确的是A ．E H ∥F GB ．四边形E F G H 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台 7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2221x y a-=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则op fp的取值范围为A ．[3- 23, +∞）B ．[3+ 23, +∞）C ．[74-, +∞） D ．[74, +∞）8．设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。
对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于A ．285B ．4C ．125D ．29．对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当2211a b c b=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，时，b c d ++等于 A ．1 B ．-1 C ．0 D ．i10．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m h xg x m <-<⎧⎨<-<⎩，，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”。
给出定义域均为D={}1x x >的四组函数如下： ①2()f x x =，()g x x =； ②()102xf x -=+，()g x =23x x-;③()f x 21x x+,()g x =ln 1ln x x x+; ④22()1xf x x =+，()2(1)xg x x e -=--．其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④ B ．②③ C ． ②④ D ． ③④第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
11．在等比数列{a n }中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n （ ） 12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（ ）。
13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。
假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）。
14．已知函数f(x)=3sin(ωx-6π)( ω>0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图像的对称轴完全相同。
若x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则f(x)的取值范围是（ ）。
15．已知定义域为（0，+∞）的函数f(x)满足：（1）对任意x ∈(0, +∞),恒有f(2x)=2f(x)成立；（2）当x ∈(1,2]时，f(x)=2-x 。
给出结论如下：①对任意m ∈Z,有f(2m)=0；②函数f(x)的值域为[0，+∞ ）;③存在n ∈Z,使得f(2n+1)=9;④“函数f(x)在区间（a,b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z,使得(a,b)(2k ,2k+1)”．其中所有正确结论的序号是（ ）。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）设S 是不等式x 2-x-6≤0的解集，整数m,n ∈S 。
（Ⅰ）记“使得m+n=0成立的有序数组（m,n ）”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； （Ⅱ）设ξ=m 2,求ξ的分布列及其数学期望E ξ。
17．（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2．0）为其右焦点。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线L ，使得直线L 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等于4？若存在，求出直线L 的方程；若不存在，说明理由。
18．（本小题满分13分）如图，圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC-A 1B 1C 1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径。
（Ⅰ）证明：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）设AB=AA 1。
在圆柱OO 1内随机选取一点，记该点取自于 三棱柱ABC-A 1B 1C 1内的概率为P 。
（i ） 当点C 在圆周上运动时，求P 的最大值；（ii ）记平面A 1ACC 1与平面B 1OC 所成的角为θ（0°< θ ≤90°）。
当P 取最大值时，求cos θ的值。
19．（本小题满分13分）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
20．（本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数f(x)=x 3-x ,其图像记为曲线C ．（i ） 求函数f(x)的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数x 1 ,曲线C 与其在点P 1 （x 1,f(x 1)））处的切线交于另一点P 2（x 2,f(x 2)），曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3（x 3,f(x 3)），线段P 1 P 2, P 2 P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S2，则12SS为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a ≠0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。
21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。
如果多做，则按所做的前两题记分。
作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=，N=，且MN=。
（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=25sinθ。
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线L交于点A,B。
若点P的坐标为（3，5），求∣PA∣+∣PB∣。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)= ∣x-a∣．（Ⅰ）若不等式f(x) ≤3的解集为{}15x x-≤≤，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题4分，满分20分。
11． 14-n 12． 326+ 13． 128.0 14． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,2315．①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。
满分13分。
解：（I ）由062≤--x x 得32≤≤-x ，即{}32|≤≤-=x x S由于Z n m ∈,，S n m ∈,且0=+n m ，所以A 包含的基本事件为： )2,2(-，)2,2(-，)1,1(-，)1,1(-，)0,0( （II ）由于m 的所有不同取值为-2，-1,0,1,2,3， 所以2m =ξ的所有不同取值为0,1,4,9， 且有()610==ξP ，()31621===ξP ，()31624===ξP ，()619==ξP故ξ的分布列为： ξ149P61 3131 61所以619619314311610=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE17．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
满分13分。
解法一：（I ）依题意，可设椭圆C 的方程为12222=+by ax （a>b>0），且可知左焦点为)0,2(-'F 2=c2=c 解得从而有853||||2=+='+=F A AF a ， 4=a又222c b a =+，所以122=b ，故椭圆C 的方程为1121622=+yx（II ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为t x y +=23t x y +=23 得0123322=-++t tx x由1121622=+yx因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以()()01234322≥-⨯-=∆t t ， 解得3434≤≤-t另一方面，由直线OA 与l 的距离4=d 可得4149||=+t ，从而132±=t 。