福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
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d=2,
故选B.
点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题.
3.（ 5分）（2012?福建）下列命题中，真命题是（）
A .
/
:>X0€R,巳切切
B.
x2
?x€R, 2 >x
C .
a
a+b-0的充要条件是■,-1
b
D .
a>1,b> 1是ab> 1的充分条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应 用.
显然函数D（x）不是单调函数，
故D正确；
故选：C.
点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法, 法，函数单调性的意义，属基础题
& （ 5分）（2012?福建）已知双曲线丄--^=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则
4
该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
A..二B.心C.3D.5
2012
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出分四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1.（ 5分）（2012?福建）若复数z满足zi=1-i,则z等于（）
A .- 1 -iB.1 -iC.-1+iD. 1+i
考点：;
复数代数形式的乘除运算.
专题:
计算题.
考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质.
专题：计算题.
分析：确定抛物线y2=l2x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线 的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离.
解答：解：抛物线y=12x的焦点坐标为（3, 0）
/ 拚
•.•双曲线丄-岂=1的右焦点与抛物线y =i2x的焦点重合
3126
丄
则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为’=；
1 6
故选C.
点评：:
本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部 分的面积.
A . D(x)的值域为{0,1}
B.
D（xห้องสมุดไป่ตู้是偶函数
C. D（x）不是周期函数
D.
D（x）不是单调函数
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法.
分析：
1—i1—1）（—£）
由复数z满足zi=1-i，可得z=—=，运算求得结果.
i-1
解答：丿
解 :t复数z满足zi=1-i,
1-i(1_i)(_i)d.
•-z=.=_T-i,
i-
故选A.
点评：：
本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母冋时乘以分母的
共轭复数，虚数单位i的幕运算性质，属于基础题.
°
•4+b?=9
•b2=5
•双曲线的一条渐近线方程为尸返X，即一戈尸°
2.（ 5分）（2012?福建）等差数列｛an｝中，a1+a5=10,a4=7,则数列｛an｝的公差为（）
A .1B.2C.3D.4
考点：等差数列的通项公式.
专题：计算题.
分析：设数列｛an｝的公差为d,则由题意可得2a1+4d=10,a1+3d=7，由此解得d的值.
解答：解：设数列｛an｝的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得2a1+4d=10,a1+3d=7，解得
通过充要条件判断C、D的正误；
解答：解：因为y=ex> 0,x €R恒成立，所以A不正确； 因为x=- 5时25<（- 5）2,所以？x駅,2x>x2不成立.
a=b=0时a+b=0,但是迢没有意义，所以C不正确；
b
a>1,b>1是ab>1的充分条件，显然正确.
故选D.
点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假 判断与应用，考查基本知识的理解与应用.
专题：证明题.
分析：由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函
数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D解答：解：A显然正确；
氏为有理数
=D（X）
••• D（x）是偶函数,B正确；
• T=1为其一个周期，
故C错误；
••• D（匚）=0,D（2） =1 ,D（ ~） =0,
4.（5分）（2012?畐建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不 可以是（）
A .球
B.三棱锥C.正方体D.圆柱
考点：1
由三视图还原实物图.
专题：作图题.
分析：:
利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相
司，大小均等
解答：丿
[
解:A、球的三视图均为圆，且大小均等；
入特殊值排除即可
解答：解：A选项不成立，当x=g时，不等式两边相等；
B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+J^丝；
sins
2 2
C选项是正确的，这是因为x+1詔x|（x €R）?（凶-1） 为;
D选项不正确，令x=0,则不等式左右两边都为1,不等式不成立.
综上，C选项是正确的.
故选：C.
点评：本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题 设选择比较的方法是解题的关键
6.（ 5分）（2012?福建）如图所示，在边长为 1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好 取自阴影部分的概率为（）
C.1
考点：:
定积分在求面积中的应用；几何概型.
专题：计算题.
B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三 视图均为三角形且形状都相同；
C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；
D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形.
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱.
故选D.
点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象
冃匕力，属基础题
5.（ 5分）（2012?福建）下列不等式一定成立的是（）
A . l
21
g (x +：) > lgx (x > 0)
B .
sinx+—支(x^kx, k①)
sinx
宀2
C . x +1倒x| (x€R)
D .
Jh"1
(x €R)
考点：不等式比较大小.
专题：探究型.
分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A,B, D三个选项代
分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=.
围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积， 进而由几何概型公式计算可得答案.
解答：丿
1
解:根据题意，正方形OABC的面积为1X1=1,
1 2
而阴影部分由函数y=x与y=rj-1围成，其面积为J0（它1-x）dx=•）|o=,
故选B.
点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题.
3.（ 5分）（2012?福建）下列命题中，真命题是（）
A .
/
:>X0€R,巳切切
B.
x2
?x€R, 2 >x
C .
a
a+b-0的充要条件是■,-1
b
D .
a>1,b> 1是ab> 1的充分条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应 用.
显然函数D（x）不是单调函数，
故D正确；
故选：C.
点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法, 法，函数单调性的意义，属基础题
& （ 5分）（2012?福建）已知双曲线丄--^=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则
4
该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
A..二B.心C.3D.5
2012
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出分四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1.（ 5分）（2012?福建）若复数z满足zi=1-i,则z等于（）
A .- 1 -iB.1 -iC.-1+iD. 1+i
考点：;
复数代数形式的乘除运算.
专题:
计算题.
考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质.
专题：计算题.
分析：确定抛物线y2=l2x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线 的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离.
解答：解：抛物线y=12x的焦点坐标为（3, 0）
/ 拚
•.•双曲线丄-岂=1的右焦点与抛物线y =i2x的焦点重合
3126
丄
则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为’=；
1 6
故选C.
点评：:
本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部 分的面积.
A . D(x)的值域为{0,1}
B.
D（xห้องสมุดไป่ตู้是偶函数
C. D（x）不是周期函数
D.
D（x）不是单调函数
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法.
分析：
1—i1—1）（—£）
由复数z满足zi=1-i，可得z=—=，运算求得结果.
i-1
解答：丿
解 :t复数z满足zi=1-i,
1-i(1_i)(_i)d.
•-z=.=_T-i,
i-
故选A.
点评：：
本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母冋时乘以分母的
共轭复数，虚数单位i的幕运算性质，属于基础题.
°
•4+b?=9
•b2=5
•双曲线的一条渐近线方程为尸返X，即一戈尸°
2.（ 5分）（2012?福建）等差数列｛an｝中，a1+a5=10,a4=7,则数列｛an｝的公差为（）
A .1B.2C.3D.4
考点：等差数列的通项公式.
专题：计算题.
分析：设数列｛an｝的公差为d,则由题意可得2a1+4d=10,a1+3d=7，由此解得d的值.
解答：解：设数列｛an｝的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得2a1+4d=10,a1+3d=7，解得
通过充要条件判断C、D的正误；
解答：解：因为y=ex> 0,x €R恒成立，所以A不正确； 因为x=- 5时25<（- 5）2,所以？x駅,2x>x2不成立.
a=b=0时a+b=0,但是迢没有意义，所以C不正确；
b
a>1,b>1是ab>1的充分条件，显然正确.
故选D.
点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假 判断与应用，考查基本知识的理解与应用.
专题：证明题.
分析：由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函
数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D解答：解：A显然正确；
氏为有理数
=D（X）
••• D（x）是偶函数,B正确；
• T=1为其一个周期，
故C错误；
••• D（匚）=0,D（2） =1 ,D（ ~） =0,
4.（5分）（2012?畐建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不 可以是（）
A .球
B.三棱锥C.正方体D.圆柱
考点：1
由三视图还原实物图.
专题：作图题.
分析：:
利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相
司，大小均等
解答：丿
[
解:A、球的三视图均为圆，且大小均等；
入特殊值排除即可
解答：解：A选项不成立，当x=g时，不等式两边相等；
B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+J^丝；
sins
2 2
C选项是正确的，这是因为x+1詔x|（x €R）?（凶-1） 为;
D选项不正确，令x=0,则不等式左右两边都为1,不等式不成立.
综上，C选项是正确的.
故选：C.
点评：本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题 设选择比较的方法是解题的关键
6.（ 5分）（2012?福建）如图所示，在边长为 1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好 取自阴影部分的概率为（）
C.1
考点：:
定积分在求面积中的应用；几何概型.
专题：计算题.
B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三 视图均为三角形且形状都相同；
C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；
D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形.
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱.
故选D.
点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象
冃匕力，属基础题
5.（ 5分）（2012?福建）下列不等式一定成立的是（）
A . l
21
g (x +：) > lgx (x > 0)
B .
sinx+—支(x^kx, k①)
sinx
宀2
C . x +1倒x| (x€R)
D .
Jh"1
(x €R)
考点：不等式比较大小.
专题：探究型.
分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A,B, D三个选项代
分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=.
围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积， 进而由几何概型公式计算可得答案.
解答：丿
1
解:根据题意，正方形OABC的面积为1X1=1,
1 2
而阴影部分由函数y=x与y=rj-1围成，其面积为J0（它1-x）dx=•）|o=,