dsp1002

5、单位冲激信号 、 定义1： 定义 ：脉冲函数的极限
1
τ
τ
t
其它脉冲 极限模型
δ (t ) = lim [u(t + ) − u(t − )] τ →0 τ 2 2
1
τ
τ
定义2： 定义 ：
∫
+∞
−∞
δ ( t ) dt = 1
δ (t ) = 0，当t ≠ 0时
δ (t )
冲激信号的图形表示
第2章 连续时间信号分析 章
信号：连续确定信号、 信号：连续确定信号、采样信号 周期、 周期、非周期 分析：时域分析：卷积及其计算 分析：时域分析：卷积及其计算 频域分析：傅里叶分析方法 频域分析：傅里叶分析方法 采样：连续 离散 采样：连续→离散
一、典型的连续信号
1、正弦信号 、
f (t ) = A sin(ω0t + ϕ )
f (t0 ) (t
t
t0
t0
t
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
二、冲激信号的性质 2、抽样特性 、
∫
∫
∞ −∞
∞
−∞
f (t )δ (t − t0 )dt = f (t0 )
∞
f (t )δ (t − t0 )dt = ∫
−∞
f (t0 )δ (t − t0 )dt
∞ −∞
= f (t0 ) ∫ δ (t − t0 )dt = f (t0 )
相当于在t=t 相当于在 0处采样
二、冲激信号的性质 3、对称性 、
δ (t ) = δ (−t )
冲激信号是偶函数。 冲激信号是偶函数。
二、冲激信号的性质 4、冲激信号与阶跃信号的关系 、
∫
1 t > 0 δ (τ )dτ = −∞ 0 t < 0
f(t-t0)，则表示信号 ， 右移t 单位； 右移 0单位；
f(t+t0)，则表示信号 ， 左移t0单位。 左移 单位。
4. 信号的相加 f(t)=f1(t)+ f2(t)+ ……fn(t)
5 .
信号的相乘
f(t)=f1(t)· f2(t) · …… · fn(t)
f ( t ) = f1 ( t ) ⋅ f 2 ( t )
−α t
练 习 已知f1 (t ) = u(t )，f 2 (t ) = e u(t )，求f1 (t ) ∗ f 2 (t )
f1 ( t ) ∗ f 2 (τ )u (t − τ )dτ
t≥0
=∫ e
0
−ατ
dτ
1 −ατ t 1 −αt = e ⋅ u(t ) = (1 − e )u (t ) 0 −α α
（4）任意函数与冲激函数的卷积等于函数 ） 自身
x (t ) ∗ δ (t ) = x (t )
x (t ) ∗ δ (t ) = x (t )
∫
∞
−∞
∞
x (τ )δ (t − τ )dτ = x (t )
f (τ )δ (t − τ )dτ 信号分解
f (t ) = ∫
−∞
的抽样性 δ (t)的抽样性
2卷积的性质1交换律2卷积的性质3结合律4任意函数与冲激函数的卷积等于函数自身思思考考45cos基本信号的matlab表示正弦信号矩形脉冲信号sinct指数信号ae信号基本运算的matlab实现尺度变换翻转时秱相加相乘微分与积分连续信号的matlab仿真基本信号的matlab表示正弦信号cos或者sin抽样函数sinctsinct指数信号aeyaexpat三角脉冲信号ytripulstwidthskew矩形脉冲信号yrectpulstwidth基本信号的matlab表示正弦信号的matlab表示progsinusoidalsignalw02pi
∫
∞
−∞
f (t )δ (t − t0 )dt = f (t0 )
t →τ t0 → t
思 考
∞
∫
−∞
x (t − t0 )δ (t )dt =
x(t ) ∗ δ (t − t0 ) =
∫
∞
−∞
x (t − t0 )δ (t )dt = x ( −t0 )
x (t ) ∗ δ (t − t0 )
k
σ =0
t
3、抽样函数 、
sin t sinc(t ) = t
1
sinc(t )
−π
π
2π 3π
t
3、抽样函数 、
sinc(0) = 1
1
sinc(t )
sinc( kπ ) = 0, k = ±1,±2 L
−π
π
2π 3π
t
∫
∞
−∞
sinc(t )dt = π
∫ sinc(t )dt = 2
0
∞
π
4、单位阶跃信号 、
1 u (t ) = 0 t>0 t<0
u (t )
1
0
t
u (t − t0 )
1 u(t − t0 ) = 0
t > t0 t < t0
1
0
t0
t
阶跃信号的作用示例 例1、方波脉冲信号 、
f (t )
1 1
u(t ) t T (b)
2T
t
T 2T
(a )
2、复指数信号 、
f ( t ) = ke = ke
st
( σ + jω ) t
2、复指数信号 、
f ( t ) = ke
σ=0
( σ + jω ) t
ω=0，实指数信号 ，
f (t ) = ke
σt
f (t ) = ke σt
f (t ) = ke
jωt
σ <0
σ >0
= k (cos ω t + j sin ω t )
四、信号在时域上的分解 连续信号可分解为冲激函数的线性组合
f (t)
f ( k∆ )
− ∆ 0 ∆ 2∆
k∆ (k +1)∆
t
连续信号表示为冲激信号的迭加
f (t)
f ( k∆ )
− ∆ 0 ∆ 2∆
k∆ (k +1)∆
t
连续信号表示为冲激信号的迭加
f (t ) ≈ L + f (0)[u (t ) − u (t − ∆ )] + f (∆ )[u (t − ∆ ) − u (t − 2∆ )] + L
1 −2 0 3 t
右移1 翻转 右移1 f (t ) → f (−t ) → f (−(t − 1))
练习： 练习：
b f ( − at ± b) = f [ − a (t m )] a
先翻转
再展缩
后平移
0<a<1，扩展a倍 ，扩展 倍 a>1， 压缩 倍 ， 压缩1/a倍 −：右移b/a单位 右移 单位 +：左移 单位 ：左移b/a单位
若0<a<1，则f(at)是f(t)的扩展。 的扩展。 ， 是 的扩展 若a>1， ， 的压缩。 则f(at)是f(t)的压缩。 是 的压缩
例：尺度变换后语音信号的变化
f(t)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
f(2t)
f(t/2) f (0.5t)
x1 (t ) ∗ x 2 (t ) = x 2 (t ) ∗ x1 (t )
（2）分配律 ）
x1 (t ) ∗ [ x2 (t ) + x3 (t )] = x1 (t ) ∗ x2 (t ) + x1 (t ) ∗ x3 (t )
2、卷积的性质 、 （3）结合律 ）
[ x1 (t ) ∗ x2 (t )] ∗ x3 (t ) = x1 (t ) ∗ [ x2 (t ) ∗ x3 (t )]
1
o -1
t
sgn(t ) = 2u (t ) − 1
练习： 练习：
sin ω 0t ⋅ u (t )
t
0
sin ω 0t ⋅ u (t − t0 )
t
0
t0
5、单位冲激信号 、 1）定义 ） 定义1： 定义 ：脉冲函数的极限
1
τ
面积为1 面积为
1 τ → 0， → ∞
τ
t
τ
t=0时有一冲激 时有一冲激
t
= u (t )
du (t ) = δ (t ) dt
三、连续时间信号的基本运算 • • • • • • • 信号的尺度变换 信号的翻转 信号的平移 信号相加 信号相乘 信号的微分 信号的积分
1.
尺度变换
f(t) → f(at) a>0 >
f (2t) 1
0
1
2
t
1.
尺度变换
f(t) → f(at) a>0 >
连续信号的MATLAB仿真 仿真 连续信号的
• 基本信号的 基本信号的MATLAB表示 表示 （正弦信号，矩形脉冲信号，sinc(t)， 正弦信号，矩形脉冲信号， ， 指数信号Ae 三角脉冲信号） 指数信号 at，三角脉冲信号） • 信号基本运算的 信号基本运算的MATLAB实现 实现 （尺度变换、翻转、时移、 相加、相乘、 尺度变换、翻转、时移、 相加、相乘、 微分与积分） 微分与积分）
基本信号的MATLAB表示 表示 基本信号的
正弦信号 cos( )或者 或者sin( ) 或者 抽样函数sinc(t) 抽样函数 sinc(t) 指数信号Ae 指数信号 at y=A*exp(a*t)
基本信号的MATLAB表示 表示 基本信号的
+ f ( k∆ )[u (t − k∆ ) − u (t − k∆ − ∆ )] + L
[u (t ) − u (t − ∆)] [u (t − ∆) − u (t − 2∆)] f (t ) ≈ L + f (0) ∆ + f (∆) ∆ +L ∆ ∆
[u (t − k∆ ) − u (t − k∆ − ∆ )] + f (k∆ ) ∆ +L ∆
t
说明： 说明： · 冲激信号可以延时至任意时刻 0，以 冲激信号可以延时至任意时刻 至任意时刻t 表示， 符号δ (t-t0)表示，波形如图： 表示 波形如图：
δ (t − t )dt = 1 ∫−∞ 0 δ (t − t0 ) = 0，当t ≠ t0时
∞
δ (t − t 0 )
五、卷积 1、卷积的定义： 、卷积的定义： 定义
y (t ) = ∫ x1 (τ ) x2 (t − τ )dτ
−∞ ∞
记作： 记作：
y (t ) = x1 (t ) ∗ x2 (t )
∞
y (t ) = x1 (t ) ∗ x2 (t ) = ∫ x1 (τ ) x2 (t − τ )dτ
−∞
2、卷积的性质 、 （1）交换律 ）
f (t ) ≈
k = −∞
∑
∞
[u (t − k∆) − u (t − k∆ − ∆)] ∆ f (k∆) ∆
当∆→0时，k∆→τ，∆→dτ，且
[u (t − k∆) − u (t − k∆ − ∆)] → δ (t − τ ) ∆
f (t ) = ∫
∞
−∞
f (τ )δ (t − τ )dτ
信号分解为δ (t)的物理意义与实际应用 的物理意义与实际应用
截取
6 . 信号的微分 y(t)=df(t)/dt=f '(t)
注意： 注意：对不连续点的微分
7.
信号的积分
y (t ) = ∫
t
−∞
f (τ )dτ
f (t) 1
y (t ) = ∫
2 1
t
−∞
f (τ )dτ
1
0
1
t
1 0 1
t
的波形如图所示， 例：已知f(t)的波形如图所示，试画出 已知 的波形如图所示 f(1−t)的波形。 的波形。 − 的波形 f(t)
f (t)
f (1.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
语音信号： 对了” 语音信号：“对了”
2. 信号的翻转
f (t) → f (− t)
以纵轴为中心作180° 将f (t)以纵轴为中心作 °翻转 以纵轴为中心作
f ( t) 1
4
2
0
t
3.
时移（平移） 时移（平移）
f(t) → f(t−t0) −
f (t ) = ∫
∞
−∞
f (τ )δ (t − τ )dτ
物理意义： 物理意义： 不同的信号都可以分解为冲激信号的叠加， 不同的信号都可以分解为冲激信号的叠加， 信号不同只是它们的系数不同。 信号不同只是它们的系数不同。
实际应用： 实际应用： 当求解信号f(t)通过 当求解信号 通过LTI（线性时不变） 通过 （线性时不变） 系统产生的响应时，只需求解 求解冲激信号 系统产生的响应时，只需求解冲激信号 通过该系统产生的响应，然后利用 利用线性 通过该系统产生的响应，然后利用线性 时不变系统的特性，进行迭加、延时， 系统的特性 时不变系统的特性，进行迭加、延时， 即可求得信号f(t)所产生的响应 所产生的响应。 即可求得信号 所产生的响应。
= ∫ x (τ )δ (t − t0 − τ )dτ
−∞
∞
= x (t − t0 )
延时
练 习 1． 已知 f1 (t ) = δ (t ), f 2 (t ) = cos(ωt + 45°) ．
求 f1 (t ) ∗ f 2 (t )＝？
2． 已知f1 (t ) = u (t )，f 2 (t ) = e u (t )， 求f1 (t ) ∗ f 2 (t )
f(t)=u(t-T)-u(t-2T)
练习： 练习：
Rect(t/ τ)
1
窗函数 τ：窗宽 ： 脉宽） （脉宽）
t
-τ/2
o
τ/2
Rect (t / τ ) = u(t + ) − u(t − ) 2 2
τ
τ
阶跃信号的作用示例 例2、表示符号函数 、
sgn(t)
1 t>0 sgn(t ) = − 1 t < 0
t0
t
· 冲激信号的物理意义：表征作用时间 冲激信号的物理意义： 极短， 极短，作用值很大的物理现象的数学模型 · 冲激信号可以： 冲激信号可以： 表示其它任意信号； ① 表示其它任意信号； 表示信号间断点的导数。 ② 表示信号间断点的导数。
二、冲激信号的性质 1、筛选特性 、
f (t )
1
f (t )δ (t − t 0 )