四川省绵阳南山中学2012届高三数学考前模拟试题(5月) 理

南山中学2012年高考模拟题（一）数学（理工农医）
本卷分为第Ⅰ（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B = 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3
4π3
V R =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)(012)k k
n k k n P k C p p k n -=-=，，，，
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） ⒈
计算复数i
i 2124-+等于A.0
B.2
C. 2i
D. 2i -
2.等差数列{}n a 中，59710a a a +-=，记12n n S a a a =++
+，则13S =
A ．130
B 。

260 C.156 D.160 3. 已知()()()2
,log 0,1x a f x a
g x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，
y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是
4. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象如下图：将函数()y f x =()x R ∈的图象向左平移
4
π
个单位，得函数
()y g x =的图象（()g x '为()g x 的导函数），下面结论正确的是
C
A ．函数()g x 是奇函数
B ．函数()g x '在区间,03π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是减函数 C ．()()g x g x '⋅的最小值为3-
D ．函数()g x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 5. 已知三条不重合的直线l n m 、、，两个不重合的平面βα、，有下列命题： ①若m ∥n ,n ⊂α,则m ∥α； ②若l ⊥α,m ⊥β,且l ∥m ,则α∥β ③若m ⊂α,n ⊂α,m //β，n ∥β,则α∥β ④若α⊥β,
α
β=m ,n ⊂β,n ⊥m ,则n ⊥α
其中正确命题的个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨； 生产每吨，乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产2吨，消耗A 原料不超过1 3吨，消耗B 原料不超过1 8吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是
A ．1吨
B ．2吨
C ．3吨
D ．
3
11吨 7．已知,,,a b c d 是实数，且c d >.则“a b >”是“a c b d b c a d ⋅+⋅>⋅+⋅”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8. 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中点A 与B 、C 两点间的球面距离均为
2
π
，B 、C 两点间的球面距离均为
3
π
，则球心到平面ABC 的距离为
A
B
C
D 9. 已知函数()2log ,2
,22a x x f x b
x x x +≥⎧⎪
=⎨-<⎪-⎩
（,a b 为常数），在R 上连续，则a 的值是 A. 2 B. 1 C.3 D.4
10. 定义在R 上的函数()f x 满足：,4)1()1(,1)()(=-⋅+=-⋅x f x f x f x f 当]1,0[∈x 时，
)(x f 的值域为]2,1[，k a =()[]()min 2,22f x x k k k N ∈+∈，则01
lim n
n k k
a →∞=∑
=
A ． 1 B.
32 C .43 D. 54
11. 已知A B P 、、是双曲线22
221x y a b
-=上的不同三点，且A B 、连线经过坐标原点，
若直线PA PB 、的斜率乘积2
3
PA PB k k ⋅=
，则该双曲线的离心率e = A.
52 B. 62 C.2 D.153
12 抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中
的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为c b a ,,,求长度为
c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形的概率为
A
1172 B 2372 C 2572 D 2972
第Ⅱ卷
注意事项
1. 用钢笔或圆珠笔直接试题卷中，
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚.
3. 本卷10个小题，共90分.
二、填空题（本大题共4题，每小题4，共16分）
13. 4
5
)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.
14. 为了保障生命安全，国家有关部门发布的《车辆驾驶人员血液呼气酒精含量值与检验》中规定:车辆驾驶人员血液酒精含量(单位:mg/l00m1)大于或者等于20，且小于80的为“饮酒驾车”，大于或者等于80的为“醉酒驾车”.某城市3月份的交通执法部门对200名车辆驾驶人员的血液酒精含量(单位:mg/l00ml )进行测试，并根据测试的数据作了如下统计:
估计该城市3月份“饮酒驾车”发生的概率
15.在曲线()4cos 4sin x t y θ
θθ=+⎧⎨
=⎩
为参数上，
仅存在四个点到点()1,0距离与到直线1x =-的距离相等，则t 的取值范围是
16. 定义：对于映射:f A B →，如果A 中的不同元素有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称:f A B →为一一映射.如果存在对应关系ϕ，使A 到B 成为一一映射，则称A 和
B 具有相同的势．给出下列命题：
①A ={奇数}，B ={偶数}，则A 和B 具有相同的势；
②A 是直角坐标系平面内所有点形成的集合，B 是复数集，则A 和B 不具有相同的势； ③若A ={}
,a b ，其中,a b 是不共线向量，B ={}
|,c c a b 与共面的任意向量，则A 和B 不可能具有相同的势；
④若区间A =()-1,1，B =(),-∞+∞，则A 和B 具有相同的势． 其中真命题为
三、解答题（本大题共6小题，共74分）每题要求写出详细的计算或解答过程. 17．（本小题满分12分）
在某社区举办的《环保知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道环保知识的问题，已知甲回答这道题对．的概率是34，甲、丙两人都回答错．．．．的概率是1
12，乙、丙两人都回．．答对．．的概率是1
4
. （Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；
（Ⅱ）用ξ表示回答该题对的人数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.
18．（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱111ABC A B C -各棱长都为a ，P 为线段1A B 上的动点. （Ⅰ）试确定1:A P PB 的值，使得PC AB ⊥；
（Ⅱ）若1:2:3A P PB =，求二面角P AC B --的大小；
19．（本小题满分12分） 在△ABC
中角
A 、
B 、C
的对边分别为
a b c 、、，设向量
(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠且，
1
（Ⅰ）若sin sin A B +
，求A ； （Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆19
42
2=+y x 上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段Q P ，垂足为Q ，点M 在Q P 上，且2PM MQ =，点M 的轨迹为C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点)2,0(-D 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点)17
4
,0(-
且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON OA OB =+ (O 为原点)，且四边形OANB 为矩形，求出直线l 的方程.
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n
p S p pa -=-（p 1≠±的常数），记12
121C C C ()2n n n n n
n n
a a a f n S ++++=
．
(Ⅰ) 求n a ； (Ⅱ)求()
()
1lim
n f n f n →∞
+；
(Ⅲ)当1p >时，设()()
112n f n p b p f n ++=-，求数列{}11k k k p b b ++的前n 项和.
22. （本小题满分14分）
已知()y f x =是函数x e y a =()
0,a a R ≠∈的反函数，()1
x g x x
-= （Ⅰ）解关于x 的不等式：()
()10f x e
g x ++>；
（Ⅱ）当1a =时，过点()1,1-是否存在函数()y f x =图象的切线？若存在，有多少条？若
不存在，说明理由；
（Ⅲ）.若a 是使()()()1f x g x x ≥≥恒成立的最小值，试比较111n
k k
λ=+∑与()()112n f n λλ-⎡⎤+⎣⎦的大小()
01,n N λ*<<∈ .
南山中学2012年高考模拟题（一）参考答案
一、CABDB;ACBBC;DB
12题：连续抛掷三次, 点数分别为c b a ,,的基本事件总数为216666=⨯⨯ 长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形
①当c b a ==时, 能构成等边三角形,有;1,1,1;2,2,2; 6,6,6共6种可能. ②当c b a ,,恰有两个相等时,设三边长为z y x ,,,其中}6,5,4,3,2{∈x ,且y x ≠;
若2=x ,则y 只能是1或3,共有2种可能; 若3=x ,则y 只以是5,4,2,1,共有4种可能; 若6,5,4=x ,则y 只以是集合}6,5,4,3,2,1{中除x 外的任一个数,共有53⨯种可能; ∴当c b a ,,恰有两个相等时,符合要求的c b a ,,共有63)5342(3=⨯++⨯ 故所求概率为7223
6
6363
=+=
P 二、
13.-5; 14.0.17; 15.()4,5； 16.①③④
三、
17.（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、
C ，则()34P A =，且有()()
()()11214P A P C P B P C ⎧
⋅=⎪⎪⎨
⎪⋅=⎪⎩，即()()()()1111214P A P C P B P C ⎧⎡-⎤⋅⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎨⎪⋅=
⎪⎩
∴()38P B =
，()2
3
P C =.…………6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）()()114P A P A =-=
，()
()113
P B P B =-=. ξ的可能取值为：0、1、2、3.
则()(
)
1155
043896
P P A B C ξ==⋅⋅=⋅⋅=；
()()()()
3511323527
148348348324P P A B C P A B C P A B C ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
； ()()()()
15232
P P A B C P A B C P A B C ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； ()()3
316
P P A B C ξ==⋅⋅=.…………9′
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
3 P
596 724
1532 316
ξ的数学期望5715343
01239624321624
E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=.…………12′
18. 【法一】（Ⅰ）当PC AB ⊥时，作P 在AB 上的射影D . 连结CD .
则AB ⊥平面PCD ，∴AB CD ⊥，∴D 是AB 的中点，又1//PD AA ，∴P 也是1A B 的中点，
即1:1A P PB =. 反之当1:1A P PB =时，取AB 的中点D '，连接CD '、PD '. ∵ABC ∆为正三角形，∴CD AB '⊥. 由于P 为1A B 的中点时，1//PD A A ' ∵1A A ⊥平面ABC ，∴PD '⊥平面ABC ，∴AB PC ⊥.……6′
（Ⅱ）当1:2:3A P PB =时，作P 在AB 上的射影D . 则PD ⊥底面ABC . 作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE AC ⊥. ∴DEP ∠为二面角P AC B --的平面角.
又∵1//PD AA ，∴132BD BP DA PA ==，∴2
5
AD a =.
∴3605DE AD sin =⋅=，又∵
135PD AA =，∴3
5
PD a =. ∴3PD
tan PED DE
∠=
=P AC B --的大小为60PED ∠=.…12 【法二】以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 轴， 1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示， 设(),0,P x z ，则(),0,0B a 、()10,0,A a 、32a a C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
（Ⅰ）由0CP AB ⋅=得()3,,,0,0022a a x z a ⎛⎫
-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
， 即02a x a ⎛
⎫-⋅= ⎪⎝
⎭，∴12x a =，即P 为1A B 的中点，
也即1:1A P PB =时，AB PC ⊥.…………4′
（Ⅱ）当1:2:3A P PB =时，P 点的坐标是23,0,5
5a a ⎛⎫
⎪⎝⎭.
取()
3,2m =-.
则()
233,2,0,055a a m AP ⎛⎫
⋅=-⋅= ⎪⎝⎭
，(
)
3,202a m AC ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
.
∴m 是平面PAC 的一个法向量.
又平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =. ∴1
,2
m n cos m n m n
⋅〈〉=
=
⋅，∴二面角P AC B --的大小是60.……8′ 19. 解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==且，
所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，
即sin 2sin 2
A B =-------------------------------------------------2分 又,m n ≠所以22,A B π+=即
2
A B π
+=
.--------------------------------3分
(1)sin sin A B +=sin sin(
)sin cos )24
A
A A A A ππ
+-=+=+ ------4
分
30,,2444A A ππππ<<∴<+<sin 4242x A ππ⎛⎫⎛
⎫+=⇒+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
得12
A π
=,
512
π
6分
(2)若,abx a b =+则a b
x ab
+=
, 由正弦定理，得sin sin 2sin sin A B
x A B
+=
8分
设sin cos A A +
=t ∈(,则2
12sin cos t A A =+
,
所以21
sin cos 2
t A A -=-------------------------------------------10分
即2
11/1t x t t
t ==--x 的取值范围为)
+∞.---------12分
20
(1)设),(y x M 是曲线C 上任一点，x PM ⊥轴，2PM MQ =，所以点P 的坐标为)3,(y x ，
点P 在椭圆19422=+y x 上，所以193422=+y x ，因此曲线C 的方程是14
22
=+y x (6分) (2)当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线l 的方程为2-=kx y ，直线l 与 椭圆交于),(),,(2211y x B y x A ，N
点所在直线方程为，由 22
2
14
y kx x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 得
01216)41(22=+-+kx x k ，2
2
12214112
,4116k x x k k x x +=+=
+……………………(8分) 由0)41(48162
2
2
>+-=∆k k 得4
3
2
>
k ，即23>k 或23-<k
因为ON OA OB =+，四边形OANB 为平行四边形…………………………………(9分) 又因OANB 是矩形，则0OA OB ⋅=
即04)(2)1(4)(221212
21212
212121=++-+=++-+=+x x k x x k x x k x x k x x y y x x ，所以2,4,04411624112)1(2
2
22
±===++⋅-+⋅
+k k k
k k k k …………………(10分) 设),(00y x N ，由ON OA OB =+得
174414441164)(22221210-=+-=-+=-+=+=k k k x x k y y y ，即N
点在直线17
4
-=y ，四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22-±=x y …(12分) 21
解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，
① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．
②
②－①，得
11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，
即1n n a pa +=．
（3分）
在①中令1n =，可得1a p =．
∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =．
（4分）
(2) 由题意知， 1p ≠±时，由(1)可得(1)(1)
11
n n n p p p p S p p --==
--． 12
121C C C n n n n n a a a +++
+122
1C C C (1)(1)n n
n n n n n p p p p p =+++
+=+=+．
∴12
121C C C ()2n n n n n
n n
a a a f n S ++++=
1(1)2(1)
n
n n p p p p -+=⋅
-，
(1)f n +1
111(1)2(1)
n n n p p p p +++-+=
⋅-． （5分）
()()1lim n f n f n →∞+=()()11
,112
1lim 121,1
2n n n p p p p p p p p +→∞+⎧<⎪-⎪+=⎨+-⎪>⎪⎩， 所以()()1
,1
12
lim 1,1
2n p p f n p f n p p
→∞+⎧<⎪+⎪=⎨
+⎪>⎪⎩ (8分) （3）由(2)可得()()()()111111221
n n f n p p p b p f n p p ++-++=
-=⋅-， 又()()
21
12
121111411k k k k k p p p
b b p p p +++++-⎛⎫
=
⋅- ⎪--⎝⎭
， 所以()()2112
22
1
1111411n
k k k n k p p p b b p p p +++=+-⎛
⎫
=
- ⎪--⎝⎭
∑. （12分） 22.
(1)由已知可得()ln f x ax =，当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞；当0a <时，
()f x 的定义域为(),0-∞
① 当0a >时，0x >，原不等式等价于：1
10x ax x
-++
>2210ax x ⇔+->，可得
x ⎫
∈+∞⎪⎪⎝⎭
； ②当0a <时，0x <，原不等式等价于：1
10x ax x
-++<2210ax x ⇔+-<，可得 (),0x ∈-∞. 4分
（2）设()y f x =图象上的切点坐标为()()
00,x f x ，显然01x ≠， 可得()0000ln 11x f x x x '==-001ln x x ⇒=-， ()()000001ln 01h x x x x x =+>≠设， ()000
1
x h x x -'=
，可得()()()01+1h x ∞在，为增区间；0，为减区间,()()011h x h >= 所以()00h x =没有实根，故不存在切线. .9分 （3）
1ln x ax x -≥
对1x ≥恒成立，所以1ln ln x a x x -+≥1
ln 1ln a x x
⇒≥--，
令()()()21111ln ,01h x x h x x x x x
'=-
-=-≤≥，可得()h x 在区间[)1,+∞上单调递减， 故()ln 10a h ≥=，min 1a =.得()1ln 1x x x x -≥≥，()ln f x x =. 令()*1k x k N k λλ+=∈，()1ln 1ln 1k k k λλλ+->+，而1122k k λλ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即 ()1121k k λλλ-+≤+，所以
()()11ln 1ln ln 1ln ln 21k k k k k
λλλλλλ-<+-≤+-++，
()111ln 1ln 21n k n n k λλλ-=<+++∑=()()112n f n λλ-⎡⎤+⎣⎦. 14分。