2020版新高考复习理科数学专项小测：15“17～19题”+“二选一”含解析

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2020版新高考复习理科数学专项小测：15“ 17～ 19题”＋“二选
一”含分析
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专项小测 (十五 )
“17～19 题”＋“二选一 ”
时间： 45 分钟 满分： 46 分
17．(12分)
在△ ABC 中.角所对的边分别是2A ＋sin 2B ＝4sinAsinB
cosC.
(1)求角 C 的最大值；
π
(2)若b ＝2.B ＝ 3 .求△ ABC 的面积．
思路剖析： (1)由 sin 2
A ＋sin 2
B ＝4sinAsinBcos
C 推出 cosC.而后借助
基本不等式得出 cosC 的最小值 .进一步得出角 C 的最大值； (2)将已知
π
条件转变为 2c 2＝a 2＋b 2,4＝a 2＋c 2－2accos 3 .而后得出 a ＝c ＝ 2.最后
1
由公式 S ＝2acsinB 求出头积．
sinA sinB
解： (1)由 sin 2A ＋sin 2B ＝4sinAsinBcosC.得 4cosC ＝sinB ＋sinA
sinA sinB
≥2.当且仅当 sinB ＝sinA 时取等号．
(3 分)
1 π
因此 cosC ≥2.因此 0<C ≤ 3 .
因此角 C 的最大值为 π
3 .此时△ ABC 为正三角形． (5 分) (2)由 sin 2A ＋sin 2B ＝4sinAsinBcosC 及正、余弦定理可得 .
a2＋b2－c2
a 2＋
b 2＝4ab ·
.
2ab
因此 2c 2
＝a 2
＋b
2
① .
(7 分)
π
π
又 b ＝2.B ＝ 3 .因此 4＝a 2 ＋c 2－2accos 3 ②. (9 分)
由①和②得 a ＝c ＝2.
1 π
18．(12分)
如图 .在直三棱柱 ABC－A1B1C1中.D为B1C1的中点 .平面 AA1D⊥平面AB1C1.
(1)证明： B1C1⊥平面 AA1D；
π
(2)若AC＝ 2.BC＝22.且二面角 B－ AD－ C的大小为3 .求AA1的长．
思路剖析： (1)作协助线结构线面垂直.利用线面垂直的性质定理
证明线线垂直 .再利用线面垂直的判断定理获得线面垂直；(2)利用勾
股定理的逆定理获得线线垂直.成立空间直角坐标系 .分别求出两个平面的法向量 .利用向量的夹角公式列方程求
解．解： (1)如图 .过点 A1作 A1O⊥AD 于点 O.
∵平面 AA 1 ⊥平面 1 1 平面 1 ∩平面 1 1＝AD.∴A 1 ⊥
D ABC. AA D AB C
O 平面 AB 1C 1.
(2 分) ∵B 1 1
平面
1 1
∴
1
⊥ 1 1
(3 分
)
C ? ABC. AO BC.
又在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中.AA 1⊥B 1C 1.A 1O ∩A 1A ＝A 1.∴B 1C 1
⊥平面 AA 1D. ⊥A 1
1 的中点 .∴A 1 1＝A 1 (5 分) (2) 由 (1) 得 1 1 ∵ D 为 1 1＝AC ＝2. .B C D. B C B C
又 BC ＝B 1C 1＝2 2.
π
∴B 1A21＋A 1C21＝B 1C21.∴∠ C 1A 1B 1＝ 2 .
令 AA 1＝a.以 A 为坐标原点1 所在直线分别为 x.y.z 轴建
立如下图的空间直角坐标系
→
.则 A(0,0,0).B(2,0,0).C(0,2,0).D(1,1.a).AB
→
→
＝(2,0,0).AD ＝ (1,1.a).AC ＝(0,2,0)．
(7 分)
→
设平面 ADC 的法向量为 m＝(x1.y1.z1).则m·AD＝0，即
→
m·AC＝0，
x1＋y1＋az1＝0，
得 y1＝0.令 z1＝1.得 m＝(－a,0,1)为平面 ADC
2y1＝0，
的一个法向量．(9 分)
→
设平面 BAD 的法向量为 n＝(x2 2 2n·AD＝0，
则即
·→＝，
n AB 0
x2＋y2＋az2＝0，
得 x2＝0.令 z2＝1.得 n＝(0.－a,1)为平面 BAD 的
2x2＝0，
一个法向量．(11分 )
|m·n|11
依题意 .得|cos〈m.n〉|＝|m||n|＝1＋a2＝2.得 a＝1.即 AA1的长为1.(12分)
19．(12分)
某工厂有甲 .乙两个车间生产同一种产品 .甲车间有工人 200人 .乙车间有工人 400人.为比较两个车间工人的生产效率 .采纳分层抽样的方法抽取工人 .甲车间抽取的工人记作第一组 .乙车间抽取的工人记作第二
组.并对他们中每位工人生产达成一件产品的时间 (单位： min) 进行统计.依据 [55,65).[65,75).[75,85).[85,95)进行分组 .获得以下统计图．
第一组
第二组
(1)分别估量两个车间工人中.生产一件产品时间少于 75
min的人数；
(2)分别预计两个车间工人生产一件产品时间的均匀值.并推断哪个车间工人的生产效率更高？
(3)从第一组生产时间少于 75
min的工人中随机抽取 3人 .记抽取的生产时间少于 65
min的工人人数为随机变量X.求X的散布列及数学希望．思路剖析： (1)由图表分别计算出两个车间生产一件产品时间少于75min 的人数； (2)分别计算两个车间工人生产一件产品时间的均匀
值.从而获得结果； (3)X 可取值为 0,1,2.计算出相应的概率值 .获得散布列与希望．
解： (1)由题意得 .第一组工人 20 人 .此中在 75 min 内(不含 75 min)生产达成一件产品的有 6 人.
∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数为 6×10＝60(人)．(2 分)第二组工人 40 人. 此中在 75 min 内(不含 75 min)生产达成一件产品的有 40×(0.025＋0.05)×10＝ 30(人 ).
∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数为 30×10＝300(人)．(4 分)
(2)第一组均匀时间为
60×2＋70×4＋80×10＋90×4
(5 分)
x 甲＝20＝78(min ).
第二组均匀时间为 x 乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)．(6 分)∵ x 甲＞ x 乙.∴乙车间工人生产效率更高．(7 分)
(3)由题意得 .第一组生产时间少于75 min 的工人有 6 人.从中抽取3 人.此中生产时间少于65 min 的有 2 人.X 可取值为 0,1,2.
C02C3441
P(X＝0)＝C36＝20＝5.(8 分)
C12C24123
P(X＝1)＝C36＝20＝5.(9 分)
C2C1441
P(X＝2)＝C36＝20＝5.(10分)
X 的散布列为：
X 012
P 131
555
(11分)
1
3 1
数学希望 E(X)＝0×5＋1×5＋2×5＝1.
(12 分 )
(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答 .假如多做 .则按所做的第一题计分．
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程 ](10分)
已知曲线 C 1：x 2＋(y －3)2＝9.A 是曲线 C 1上的动点 .以坐标原点 O 为极点 .x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系 .以极点 O 为中心 .将点 A 绕点 O 逆时针旋转 90°获得点 B.设点 B 的轨迹为曲线 C 2.
(1)求曲线 C 1.C 2的极坐标方程；
5π
(2)射线 θ＝ 6
(ρ＞0)与曲线 C 1.C 2分别交于 P.Q 两点 .定点 M(－4,0).求△ MPQ 的面积．
x ＝ρ cos θ， 代入曲线 C 1 的直角坐标方程 .
思路剖析： (1)把
y ＝ρ sin θ
可得曲线 C 1 的极坐标方程 .而后设出点 B 的极坐标 .得点 A 的极坐标 .代
5π
入即可得曲线 C 2 的极坐标方程； (2)第一求出 M 到直线 θ＝ 6 的距离 . 而后分别求出射线与曲线 C 1.C 2 的交点坐标 .从而求得 |PQ|.从而求得三 角形的面积．
解： (1)曲线 C 1：x 2
＋(y －3)2
＝9.把
x ＝ρ cos θ， 代入可得 .
y ＝ρ sin θ
曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ＝6sin θ.
π
设 B(ρ.θ).则 A ρ，θ－ 2 .
π
则 ρ＝ 6sin θ－ 2 ＝－ 6cos θ.
因此曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ＝－ 6cos θ.
(5 分)
(2)M 到直线 θ＝ 5π 5π
6 的距离为 d ＝4sin ＝2.
6
π
5π
射线 θ＝
5
.
与曲线 C 1 的交点 P 3，
5π
5π
射线 θ＝ 6 与曲线 C 2的交点 Q 3 3， 6 . 因此 |PQ|＝ 3 3－3.
1
故△ MPQ 的面积 S ＝2×|PQ|×d ＝3 3－3. (10分)
23．[选修 4－5：不等式选讲 ](10分)
已知函数 f(x)＝ |x －m|－|x ＋2m|的最大值为 3.此中 m ＞0.
(1)求m 的值；
2
＋b 2＝m
2
(2) 若
a.b ∈
＞
R.ab 0.a
.
a3 b3
求证： b ＋ a ≥1.
思路剖析： (1)分段议论 .依据函数分析式求解函数的最大值 .即得
m 的值； (2)将所求式子通分转变为只含有 ab 的式子 .将 ab 视为一个整
体.结构函数 .依据函数的单一性求最值即可证
明．解： (1)∵m>0.∴ f(x)＝ |x －m|－ |x ＋2m|＝
－3m ，x ≥m －2x －m ，－ 2m<x<m
.
3m ，x ≤－ 2m
(3 分)
∴当 x ≤－2m 时 .f(x)获得最大值 3m.∴3m ＝3. (4 分)
∴m ＝1.
(5 分)
(2) 由
得
2＋b 2＝1.
(1). a
a3 b3 a4＋b4 错误 ! ＝ 错误 ! －2ab.
(7 分)
b ＋ a
＝
ab
＝
∵a 2＋b 2
＝1≥2ab.当且仅当 a ＝b 时等号成立 .
1
∴0<ab ≤2.
(8 分)
1 1
1
令 h(t)＝t －2t,0<t ≤2.则 h(t)在 0，2 上单一递减 .
1
9/10
2020版新高考复习理科数学专项小测：15“17～19题”+“二选一”含解析
11a3b3
∴当 0<ab≤2时.ab－2ab≥1.∴b＋a≥1.(10分)
10/10。