marc非线性分析介绍

总纲
• 基础知识 • 几何非线性 • 接触非线性 • 材料非线性
PAT328, Section 3, March 2001
非线性：基础知识
结构间的接触 严重畸变的网格 荷载增量的自动施加 正确的材料准则 精确健壮的单元技术 健壮的求解技术 大规模存储要求 大量CPU时间
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平面梁的横向崩塌屈曲和崩塌与应力硬化相反壳一类的结构载压力荷载下可以突然失效发生崩塌在许多结构设计应用中非常重要pat328sectionmarch2001屈曲和崩塌超过临界屈曲点荷载后壳会发生崩塌若不进行非线性分析此临界荷载会偏大这是很危险屈曲案例
第4部分 非线性介绍
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几何非线性
几何非线性的处理范围:
屈曲
弹性突跳（snap through） 失稳回跳（snap back） 崩塌
指定大位移 另外指定要求的约束方法……
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几何非线性
几何非线性的处理范围:
非线性假设
[K]与{P}和{u}有关 [K] = K(E,ν P,u) {P} = [K(E,ν P,u)] {u}
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例：线弹性杆-弹簧
P
线弹性弹簧问题的求解是很简单 的。其位移u与力P 是成比例的。 可以写成: P=ku 位移通过一个常刚度与荷载联系 起来，很容易从下式得到: u=P/k 但是，即使所有材料都是线弹性 的，应变也很小，大位移情况下 依然要求进行非线性分析。
因此有：
εx = cosϕ – 1 ≠ 0 εy = sinϕ ≠ 0
！刚体转动得到非零的应变
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几何非线性：客观性
Green-Lagrange应变：
⎡ 1 ⎧⎛ ∂u ⎞ 2 ⎪ ∂u ⎤ ⎢ 2 ⎨⎜ ∂x ⎟ ⎡ ⎠ ⎩ ⎥ ⎢ ⎪⎝ ⎢ ∂x 2 ⎢ ⎧ ⎥ ⎢ ∂v ⎢ 1 ⎪⎛ ∂ u ⎞ ⎥ ⎟ ⎡ ε xx ⎤ ⎢ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ∂y ⎥ ⎢ 2 ⎪⎝ ∂y ⎠ ⎢ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎩ ⎥ ⎢ yy ⎥ ⎢ ∂ w 2 ⎪ ⎥ ⎢ 1 ⎧⎛ ∂u ⎞ ⎢ ⎢ ε zz ⎥ ∂z ⎟ ⎥ + ⎢ ⎨⎜ ⎥= ⎢ ⎢ ⎩ γ xy ⎥ ⎢ ∂ u + ∂ v ⎥ ⎢ 2 ⎪ ⎝ ∂ z ⎠ ⎢ ⎢ γ yz ⎥ ⎢ ∂ y ∂ x ⎥ ⎢ ∂ u × ∂ u + ⎥ ⎢ ∂v ∂w ⎥ ⎢ ∂x ∂y ⎢ + ⎢ γ zx ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ∂z ∂y ⎥ ⎢ ∂u × ∂u + ⎢ ⎢ ∂w + ∂u ⎥ ⎢ ∂y ∂z ⎢ ⎢ ∂x ∂z ⎥ ⎢ ∂u × ∂u + ⎦ ⎣ ⎣ ∂z ∂x
大应变
例: 橡胶套
• • •
大应变和大变形 自接触 材料非线性
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几何非线性
几何非线性的处理范围:
非保守力 (follower force)
压力方向保持与变形形状法向一致 由于荷载方向发生改变，它将引起反力和力 矩的改变 MSC.Marc数据文件命令中使用“FOLLOW FOR”考虑其方向和面积的变化。
刚体转动
没有应变
二次项给出了应变轴之间的耦合(因此考虑了 应力刚度) 二阶项不会自动消除小应变假设
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几何非线性： 刚度衰减
考虑一个简单的杆
刚度(KT)可以写成下式：
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几何非线性: 应变测量
例:
用半球形的冲压机伸展一个 薄板 (demo e8x52.dat)
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几何非线性: Getting Detailed…
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几何非线性: 客观性
工程应变定义： εx = du/dx 小应变. 不是客观的应变测量－在刚体运动下 也有应变
目标：保证位移增量不致引起荷载P 的错误。
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非线性的多种来源
鎚 MSC.Marc从一开始 就是按非线性程序进 行开发的。 它提供了所有单元和 材料的非线性性能 几乎所有的单个非线 性性能都可以一起使 用
橡胶皮带 未变形的外形
印
扳机
滑动接触
碰撞接触对
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屈曲案例: 壳的崩塌
屈曲和崩塌 超过临界屈曲点荷载后，壳 会发生崩塌 若不进行非线性分析，此临 界荷载会偏大，这是很危险 的
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大应变案例: 薄片冲压
大应变:
橡胶成分设计 金属成形过程设计 例：发动机固定装置，垫圈 和密封，固体推进剂
2 2 ⎪ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂w ⎞ ⎫ ⎤ +⎜ +⎜ ⎟ ⎟ ⎬⎥ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎪ ⎥ ⎭ 2 2 ⎥ ⎛ ∂w ⎞ ⎫ ⎥ ⎛ ∂v ⎞ ⎪ ⎟ +⎜ +⎜ ⎟ ⎜ ∂y ⎟ ⎬ ⎥ ⎜ ∂y ⎟ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎭⎥ 2 2 ⎫⎥ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂w ⎞ ⎪ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎬⎥ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎪ ⎥ ⎭ ∂v ∂v ∂w ∂w ⎥ × + × ⎥ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎥ ∂v ∂v ∂w ∂w ⎥ × + × ∂y ∂z ∂y ∂z ⎥ ∂v ∂v ∂w ∂w ⎥ ⎥ × + × ∂x ⎦ ∂z ∂z ∂x
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几何非线性: 应力测量
σE = Engineering (nominal, conventional) = F/Ao
通过初始面积和初始几何定义
σC = Cauchy (true) stress = F/A
通过当前面积和变形后当前几何定义(变形后单位面积的力) 最能真实反映材料行为
非线性：基础知识
非线性的重要性
经典的分析技术仅限于应用在符 合线性假设的问题 大部分真实结构都存在非线性行 为，但有时候线性响应也是合理 的。
确定非线性
非线性的来源是什么？ 非线性行为是否可以忽略？ 最合适的数学工具是什么？ 以前是否用过？
非线性分析
问题越来越复杂，导致存储要求越来越高 分析时间显著增加 大分析耗费调试时间 先通过小例子理解非线性行为
悬臂梁如果考虑大变形，其轴 向应变将吸收应变能，这将导致 梁端的竖向位移要小于线弹性结 果。 当位移会改变结构的有效刚度 时，就要考虑几何非线性。
Nonlinear Solution
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几何非线性
几何非线性的处理范围:
应力硬化（小提琴琴弦） 大变形（位移和转动） 大应变
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几何非线性: 应力测量
各应力间的转换:
σC = Cauchy (true) stress = σE (1 + εE)2ν τ = 2nd Piola-Kirchhoff stress = σE/(1 + εE)
根据采用总体或是更新的Lagrangian分析确定 MSC.Marc要使用的应变定义 MSC.Marc分析中可以采用2PK或Cauchy应力，还可 以进行相应的转换
εE = Engineering (infinitesimal) strain = (L – L0)/L0
结构工程 工程应力 仅用于小变形、小应变中
εL = Logarithmic (natural) strain = δL/L = ln(L/L0)
冶金，递增 Cauchy应力 大变形，大应变
εG = Green-Lagrange strain = (L2 – L20)/2L20
也称Eulerian应变 Almansi应力 Not used in Marc
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几何非线性: 应变测量
后三个张量在刚体转动情况是不变的 其它的应变：Stretch、Biot 如果应变较小(<3-4%), 不同的应变/应力测量将给出同样的结果 小应变例子包括鱼杆弯曲，直升机螺旋桨叶片受静态荷载左右，机械手表 的细弹簧 各个应变直接的转换关系: εG = εE (1+ εE/2) εL = ln(1+ εE) = ½ ln(1+ 2εG) εA = (2εE + εE2)/2(1 + εE)2 根据采用总体或是更新的Lagrangian分析确定MSC.Marc要使用的应变 定义
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几何非线性: 大应变
大变形问题有两类:
1. 大位移, 小应变
应力-应变关系的变化被忽略 考虑一个各向同性细薄梁的材料矩阵：
⎡ EA ⎢ EI xx ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ EI yy GI xx GI yy ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ GA⎥ ⎦
塑料密封 砧骨
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几何非线性基础
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几何非线性
非线性刚度矩阵的集成:
[ K ] = ∫ [ B]T [ D][ B] dV
应变-位移关系通过[B]矩阵定义。 它包含了线性项和非线性项。
Linear Solution
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应力硬化案例: 喷气发动机上的叶片
当喷气发动机按工作速度转 动时，其特征模态和特征频 率要比静止时高很多。
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屈曲案例: 平面梁的横向崩塌
屈曲和崩塌
与应力硬化相反，壳一类的结构 载压力荷载下可以突然失效，发 生崩塌 在许多结构设计应用中非常重要
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非线性：来源
材料非线性
塑性 渐进失效 蠕变
几何非线性
结构不稳定性和崩塌 大位移 大转动 预载
接触 案例
加固橡胶密封包含了以上所 有的非线性。
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非线性 虎克定律和平衡
线性假设
[K]与{P}或{u}无关 [K] = K(E,ν) {P} = [K] {u}
Green-Lagrange应变是一个客 观的度量 正确处理刚体运动，由客观性/不 变性提供了大变形的能力
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几何非线性：客观性
采用Green应变，任意刚体转动给出：
ε = cosϕ – 1 + ½(cosϕ – 1)2 + ½(sinϕ)2
ε=0
1 in.
Spring
100 in.
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例：非线性杆-弹簧
P = k(u) u
刚度k与位移u有关. P可以根据u计算得到，但根据P直 接计算u就不可能了. u = P / k(u) 必须采用迭代求解方法。 Marc中默认的求解方法是NewtonRaphson法。
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几何非线性: 客观性
考虑小的刚体转动：
u2 ≈ 0, v2 ≈ ϕL
对很小的角度 ϕ (tan(ϕ) ≈ ϕ)
εx = u2 / L ≈ 0 εy = v2 / L = ϕL / L = ϕ ≈ 0
对任意的刚体转动
u2 ≈ L (cosϕ – 1), v2 ≈ L sinϕ
τ1 = 1st Piola-Kirchhoff stress
通过初始面ola-Kirchhoff stress
通过初始面积和变形后当前几何定义(transformed current force per unit undeformed area) Green-Lagrange应变 对于小应变问题，2P-K应力可解释为材料旋转轴的Cauchy应力 不提供关于变形的额外信息，很难解释2P-K应力 对工程师而言，很少需要将2P-K应力转换为Cauchy应力，以得到“真实”应力
大变形，小应变 应力－应变关系的发展，可扩展到大应变情况 (Green’s strain accommodates finite rotations but not finite strains) the 2nd Piola-Kirchhoff stress
εΑ = Almansi strain = (L2 – L20)/2L2