(易错题)高中数学选修二第一单元《数列》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）
①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若
150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >
B ．01q <<
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为7T
3．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11
3
a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．
23
B ．
13
C ．2-
D ．3-
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．11
1143
3⨯- B ．12
1143
3⨯- C ．10
1243
3
⨯+
D ．11
1243
3
⨯+
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ）
A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列 B ．13n S n =
C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
6．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则8
1
i
i a
==
∑（ ） A ．376
B ．382
C ．749
D ．766
7．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
8．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列； ②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列； ③若n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，则{}n a 是等差数列； ④若{}n a 是等比数列，则()2
n n T ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列.
其中正确命题的个数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且72
3
n n S n T n +=+，则220715a a b b ++的值
为（ ） A ．
149
24
B ．
7914
C ．
165
D ．
5110
10．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b
是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则39
48
tan
1b b a a +-⋅的值是（ ）
A
．
B ．1-
C
．-
D
11．已知等比数列{}n a 的前n 项和()232n
n S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
12．数列{}n a 中，2n k
a n n
=+，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[]12,24
B ．(]12,24
C ．[]3,12
D ．[]3,12
二、填空题
13．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.
14．已知正项数列{}n a 中，2
1129
n n a a +=
+，若对于一切的*n N ∈都有1n n a a +>成立，则1a 的取值范围是________.
15．已知数列{}n a 满足11a =，11
22n n n a a n n
++=
++，则8a =_________. 16．已知{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，且
23
3
n n S n T n -=+，则55a b ＝
________.
17．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=______.
18．设数列{}n a 满足11a =，且()*
11n n
a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前2020项的和为________．
19．对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a A n
-++
+=
为数列{}n a 的“好数”，已知某数列
{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}-n a kn 的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*
n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围为________.
20．给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2
log x
f x x =-的零点有且只有1个；
2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的
序号是________.
三、解答题
21．等比数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，
2a ，3a 中的任何两个数不在下表的同一列.
（1）求数列n a 的通项公式；
（2）记m b 为数列{}n a 在区间()(0,]m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项的和.
22．在①4516a a +=；②39S =；③2
n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个
条件，补全下列试题后完成解答．
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，______．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1
2n n n b a a +=，前n 项和是n T ．若2
221n T m m <--恒成立，求实数m 的取值范围．
23．在①{}n a 是等比数列，且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列；②数列
{}n a 中，12a =，且
()13212
n n S S n n n --=-；③11a =，120n n a a ++=.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由. 已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足___________，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？（n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列
{}n b 的前n 项和）
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，
______，28b =，1334b b -=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前k 项和3
4k T ≥，
若存在，求出k 的最小值；若不存在，说明理由.从①420S =，②332S a =，
③3423a a b -=这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
2
2
0n n S n n S -+=
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
4
n n n b a a +=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：1n T < 26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2
n S n =，n *∈N ，数列{b n }满足：121
1
3
b b ==，，且21340n n n b b b ++-+=，n *∈N （1）求证：数列{}1n n b b +-是等比数列； （2）求数列{a n }与{b n }的通项公式.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，
使100
n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式
1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.
【详解】 ①若100S =，则
()()
110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0
的等差数列，所以50a >，60a <，那么
()()
()()18281212458402
a a S S a a a a a a ++=++
=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()
115158151502
a a S a +=
=>，
()()
11689161616022
a a a a S ++=
==，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502
a a S a +=
=>，()
()116168916802a a S a a +=
=+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B 【点睛】
方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质
求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2
n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n
的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.
2．B
解析：B 【分析】
根据11a >，66771
1,01
a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】
若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则671
01a a ->-，与67101
a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确； 因为
671
01
a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；
因为0n a >，01q <<，所以1
11n n a q a S q q
=
---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.
3．B
解析：B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+，且113
a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】
因为111n n n n a a a a ++-=+，且11
3
a =， 所以111n
n n
a a a ++=
-， 21
132113
a +
∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=⨯=. 故选：B 【点睛】
方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.
4．D
解析：D 【分析】 当2n ≥时，1n
n a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得
22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,
,2，结合等比数列的求
和公式，即可求解. 【详解】
由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===， 当2n ≥时，1n
n a S -=，又由1n n a S +=，
两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即
1
2n n
a a +=， 则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即2
2,2n n a n -=≥，
又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项， 则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，
可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为
111110
(112
44)11416413
431-++++
+=+=⨯+-.
故选：D. 【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
5．C
解析：C 【分析】
由1
(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】
2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，A 正确；
1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n
n n S =+-=，所以13n S n
=，B 正确； 11
3
a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；
1313n n S +=
，数列113n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，D 正确．
【点睛】
易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，
在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错．
6．C
解析：C 【分析】
利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解8
1
i i a =∑即可
【详解】
由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q
，
∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+
-=2
3632
n -++
+⨯11332323
12
n n ---⨯==⨯--，
1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，
8
7
128
1
8123(122)2831612
i i
a
a a a =-=++=⨯++
+-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=
故选：C 【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
7．C
解析：C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n
a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则11
1121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n
n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭
，
所以121n n a =-，故10
1011
211023
a ==-. 故选：C
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 8．D
解析：D 【分析】
结合等比数列、等差数列的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】
对于①，设等差数列{}n a 的公差为d ，则
()()121n n n n a a a a ++++-+=()()1212n n n n a a a a d +++-+-=为定值，故{}1n n a a ++是等差
数列，即①正确；
对于②，设等比数列{}n a 的公比为q ，则
12111
n n n n n n n n a a a q a q
q a a a a +++++++==++为定值，故
{}1n n a a ++是等比数列，即②正确；
对于③，等差数列n S n ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的首项为11
1S a =，设公差为d ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的通项公式为n
S n
=()11a n d +-，所以()11n S na n n d =+-， 则2n ≥时，
1n n n a S S -=-()()()()111112na n n d n a n n d =+---+--⎡⎤⎣⎦()121a n d =+-，
由1a 符合()121n a a n d =+-，可知{}n a 的通项公式为()121n a a n d =+-，
则()()11121222n n a a a n d a n d d -⎡⎤-=+--+-=⎣⎦为定值，即{}n a 是等差数列，故③正确；
对于④，设等比数列{}n a 的公比为q ，则
()()
()21123
1111n n n T a a a a a a q a q a q -===()
12311n n a q +++
+-()
12
1
n n n a q
-=，所以
()()
121
2
2211n n n
n n n
n T a q
a q --⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
， 则
()()
211222121
1n n n n n n a q q a q T T ----==为定值，即()2
n n T ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，故④正确. 所以正确命题的个数有4个. 故选：D. 【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的判定，考查学生的推理能力，属于中档题.
9．A
解析：A 【分析】
在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：22021
71521
a a S
b b T +=+，再根据题意得到答案．
【详解】
解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．
所以12122021
71521
121
1
21()2121()2
a a a a S
b b T b b ⨯+⨯
+==+⨯+⨯， 又因为723
n n S n T n +=+， 所以
220715149
24
a a
b b +=+． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．
10．A
解析：A 【分析】
由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出39
48
tan 1b b a a +-⋅的值
【详解】
解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b
是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，
所以36a =-，637b π=，
所以6a =673
b π=， 所以3961423
b b b π+==
，2
4863a a a ⋅==，
所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333
b b a a π
ππππ+==-=-+=-=-⋅-，
故选：A 【点睛】
此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题
11．C
解析：C 【分析】
分别求出等比数列的前三项，利用等比数列的性质能求出入的值. 【详解】
∵等比数列{}n a 的前n 项和()232n
n S λλ=+-⋅（λ为常数），
∴()1123246a S λλλ==+-⨯=-，
()()222123223226a S S λλλλλ=-=+-⋅-+-⋅=-⎡⎤⎣⎦
()()32332232232412a S S λλλλλ⎡⎤=-=+-⋅-+-⋅=-⎣⎦，
123,,a a a 成等比数列，
∴()()()2
2646412λλλ-=--，
解得1λ=或3λ= ∵
3λ=时，2n S λ=是常数，不成立，故舍去3λ=.
1λ∴=
故选：C 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质等基础知识，求和公式与通项的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
根据题意，可知当0k ≤时，数列{}n a 单调递增，不符合题意；当0k >时，对任意
n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，得出234
3a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即可求出实数k 的取值范围，再通过数列的
单调性进行验证，符合题意，即可得出答案. 【详解】
解：由题可知，2n k
a n n
=+
，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立， 当0k ≤时，可知数列{}n a 单调递增，不符合题意； 当0k >时，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，
则2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即4623
864
3k k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，解得：1224k k ≥⎧⎨≤⎩，
1224k ∴≤≤，
此时，数列在()1,2上递减，()3,+∞上递增，或在()1,3上递减，()4,+∞上递增， 故符合题意，
所以实数k 的取值范围为[]12,24. 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的恒成立问题，根据数列的单调性求参数范围，考查分析解题和运算能力.
二、填空题
13．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；
解析：1347 【分析】
当2n ≥时131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到113n n a a +--=，得到
31,2231,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，代入数据计算得到答案. 【详解】
解：当1n =时，2112312S a a a =+∴=
当2n ≥时，由131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到()113n n n n a a a a +-=- 因为0n a ≠
113n n a a +-∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为
首项，3为公差的等差数列；
所以3
1,22
31,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨
⎪-⎪⎩为奇数为偶数 当k 为奇数时，2020134731
22k a k k ==-=∴，成立； 当k 为偶数时，404220203
312k a k k ∴==-=，不成立； 故答案为：1347 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是解题的关键.
14．【分析】根据列出关于的不等式求解出的取值范围从而的取值范围可确定出【详解】因为所以解得满足所以即故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过之间的不等关系求解出的取值范围由此可确定出的取值范围 解析：()3,6
【分析】
根据1n n a a +>列出关于n a 的不等式，求解出n a 的取值范围，从而1a 的取值范围可确定出. 【详解】 因为2
1129
n n n a a a +=
+<，所以29180n n a a -+<，解得36n a <<，满足0n a >， 所以136a <<，即()13,6a ∈， 故答案为：()3,6. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过1,n n a a +之间的不等关系求解出n a 的取值范围，由此可确定出1a 的取值范围.
15．【分析】先化简整理已知条件得是等差数列求其通项公式得到数列通项公式再计算即可【详解】由得即故故是以为首项以2为公差的等差数列所以所以故故答案为：【点睛】本题解题关键在于化简已知条件得到构造数列是等差 解析：120
【分析】
先化简整理已知条件得n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，求其通项公式，得到数列{}n a 通项公式，再计算8a 即可. 【详解】 由11
22n n n a a n n
++=
++得()()1121n n na n a n n +=+++， 即()()1121n n na n a n n +-+=+，故121n n a a n n +-=+，故n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以111a =为首项，以2为
公差的等差数列，所以
()11221n
a n n n
=+-⨯=-，所以()21n a n n =-，故8815120a =⨯=.
故答案为：120. 【点睛】
本题解题关键在于化简已知条件得到
121n n a a n n +-=+，构造数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，进而通过其通项公式求得数列{}n a 的通项公式，以突破难点.
16．【分析】根据等差数列的前n 项和公式有结合已知条件令即可得进而求【详解】∵均为等差数列令公差分别为则有∴令则有∴故答案为：【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列通项公式的特点合理假设
解析：5
4
【分析】
根据等差数列的前n 项和公式有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)
2n n n T nb d -=+，结合已知条件，令122,1d d ==即可得11,a b ，进而求5
5
a b .
【详解】
∵{}{},n n a b 均为等差数列，令公差分别为12,d d ，
则有11(1)2n n n S na d -=+
，12(1)
2
n n n T nb d -=+， ∴11121222323n n S nd a d n T nd b d n +--==+-+，令122,1d d ==，则有111,22
a b =-=， ∴
5115124544
a a d
b b d +==+， 故答案为：54
【点睛】
思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量
11(1)2n n n S na d -=+
，12(1)
2n n n T nb d -=+，则有111212
22n n S nd a d T nd b d +-=+-.
结合已知23
3
n n S n T n -=+，假设122,1d d ==，即可求11,a b . 17．23【分析】先设奇数项公差为偶数项公比为根据已知条件列关系求解和再计算即得结果【详解】设数列的奇数项依次成公差为的等差数列偶数项依次成公比为的等比数列由故解方程得故则故答案为：23【点睛】本题考查了
解析：23 【分析】
先设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，根据已知条件列关系求解d 和q ，再计算78,a a ，
即得结果. 【详解】
设数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，
由11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，故127d q ++=，2
12213d q ++=， 解方程得2d q ==.故3
718237,16a a d a a q =+==⋅=，则7823a a +=.
故答案为：23. 【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题.
18．【分析】由得到用累加法求得从而得到然后利用裂项相消法求解【详解】因为所以左右分别相加得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查累加法求通项裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：
4040
2021
【分析】
由(
)*
11n n a a n n N
+-=+∈得到
1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，用累加法求得
22
n n n
a +=
，从而得到2121
12
1
n a n n
n
n ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】
因为()*
11n n a a n n N
+-=+∈,
所以1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ， 左右分别相加得()()112234 (2)
-+=++++=
-n n n n a a ，
所以22
n n n
a +=，
所以
212112
1
n
a n n
n
n ，
所以20201111111
140402...2122320202021120212021⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
S ， 故答案为：40402021
【点睛】
本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．【分析】计算再结合已知条件得到根据题意计算得到答案【详解】由题意当时由可得两式相减可得整理得由于则数列的通项公式为则由于对任意的恒成
立则且解得故答案为：【点睛】本题考查了数列的新定义求数列的通项公式
解析：167,73⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
计算14a =，再结合已知条件得到22n a n =+，()22n a kn k n -=-+，根据题意
660a k -≥，770a k -≤，计算得到答案.
【详解】
由题意，当1n =时，2
1124a A ===，
由11222n n n nA a a a -=++
+，
可得()()121212221n n n a a n A a n ---++⋅⋅⋅+-=≥， 两式相减可得()1
112
n n n n nA n A a ----=，
整理得()()1111
121222
n n
n n n n n nA n A n n a +-----⋅--⋅==()42122n n n =--=+， 由于12124a =⨯+=，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =+， 则()22n a kn k n -=-+，
由于6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则2k >且660a k -≥，770a k -≤， 解得
167
73
k ≤≤. 故答案为：167,73⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦. 【点睛】
本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
20．④【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项【详解】对于①因为是幂函数但它与不是同一个函数前者要求而后者故不是幂函数故①错误对于②在同一坐标系画出的图象（如图所示）：则的图象没有公共点故没有零
解析：④ 【分析】
逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项. 【详解】
对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者
x ∈R .
故1y =不是幂函数，故①错误.
对于②，在同一坐标系画出22,log x
y y x ==的图象（如图所示）：
则22,log x
y y x ==的图象没有公共点，故2()2log x f x x =-没有零点，故②错误.
对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.
对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件， 故④正确.
对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,1
0,2n n a n -=⎧=⎨
≥⎩
，
该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误. 故答案为：④. 【点睛】
本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度.
三、解答题
21．（1）3n
n a =；（2）284.
【分析】
（1）由题可得等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，即可得出通项公式；
（2）根据题意得出当1
33n n m b +≤<时，m b n =，再分组求和即可求出.
【详解】
（1）由题意结合表中数据可得13a =，29a =，327a =， 所以等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，
所以{}n a 的通项公式为1333n n
n a -=⨯=；
（2）由题设及（1）知120b b ==，且当1
33n n m b +≤<时，m b n =.
所以
()()()()()
10012348910262728808182100S b b b b b b b b b b b b b b =+++++++++++++++++
2061182543204=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯284=. 【点睛】
解题关键：由题得出120b b ==，且当1
33n n m b +≤<时，m b n =是解题的关键，再利用分
组求和即可.
22．（1）答案见解析；（2）3m ≥或1m ≤-． 【分析】
（1）若选①，利用等差数列的通项公式以及2d ≥，d *∈N 可解得结果；若选②，根据等差数列的求和公式以及2d ≥，d *∈N 可解得结果；若选③，根据
1(2)n n n a S S n -=-≥可求得结果；
（2）利用()()
2
1121212121n b n n n n =
=
--+-+裂项求和得到11121
n T n =-<+，将不等式恒成立化为2212m m --≥，解得结果即可. 【详解】
（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d ≥，d *∈N ， 若选①，由4516a a +=得12716a d +=，
由2d ≥，d *∈N ，得11a =，2d =，∴21n a n =-． 若选②，由39S =得1339a d +=，13a d +=， 由2d ≥，d *∈N ，得11a =，2d =，∴21n a n =-．
若选③，由2
n S n r =+得()()2
112n S n r n -=-+≥，
∴()()2
211212n n n a S S n r n r n n -=-=+---=-≥，
∴23a =，35a =，
又因为{}n a 是等差数列，∴2d =，11a =，∴21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()()
2
11
21212121
n b n n n n ==
--+-+， 所以11111111335572121
n T n n =-+-+-++
--+1
121n =-+，
∴1
1121
n T n =-
<+， 因为2
221n T m m <--恒成立，∴2212m m --≥，解得3m ≥或1m ≤-．
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；
④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；
23．若选①或②则不存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项，选③存在
8k ，使得k T 是数列{}n a 中的项.
【分析】
若选①解方程可得等差数列{}n a 的通项公式，求出n T ，根据通项公式验证即可；若选②， 由
()13212n n S S n n n --=≥-，得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以32为公差的等差数列，利用1n n n a S S -=-求出即可求解；若选③由120n n a a ++=可得1
2n
n a a -=-，数列为等比数列，求出()12n n a -=-即可求解. 【详解】
选①，设数列{}n a 是公比为q 的等比数列， 且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列， 可得()213211a a a +=++，即()2
212q q +=+，解得2q
（0舍去），
则11
12n n n a a q --==；
故148b a ==，2232b a a =-=-， 则等差数列{}n b 的公差10d =-，()
()218101352
n n n T n n n -=+
-=-， 当3n ≥时，0n T <，0n a >，故不存在()320,N k k n <<∈使得使得k T 是数列{}n a 中的项； 选②由()13212n n S S n n n --=≥-，得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以32为公差的等差数列， 又
11211S a ==，所以()33121222
n S n n n =+-=+， 则231
22
n S n n =
+；所以()1312n n n a S S n n -=-=-≥ 验证12a =适合上式，所以31n a n =-；
1411b a ==，2235830b a a =-=-=-<，
则等差数列{}n b 的公差14d =-，()
()2111147182
n n n T n n n -=+
-=-+， 当3n ≥时，0n T <，0n a >，故不存在()320,N k k n <<∈使得使得k T 是数列{}n a 中的项；
选③由11a =，120n n a a ++=可得，
1
2n
n a a -=-，
以数列{}n a 是以2-为公比以1为首项的等比数列，所以()1
2n n a -=-，
148b a ==-，2236b a a =-=-，则等差数列
{}n b 的公差2d =，29n T n n =-，
()3
8482T a ==-=，故存在8k ，使得k T 是数列{}n a 中的项；
【点睛】
关键点点睛：本题主要根据所选的条件，去求数列{}n a 的通项公式，求出通项公式后，利用公式判断项是否在数列中即可，属于中档题. 24．答案见解析 【分析】
设等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，将13,b b 用2,b q 表示，建立q 的方程，求解得出4b ，即为1a ，选①或②或③，均可求出等差数列的公差，进而求出n S ，从而得出
1
n
S ，最后利用裂项相消法求出1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前k 项和k T ，然后求解不等式3
4k T ≥，即可求出k 的最小值.
【详解】
解：由题可知，28b =，1334b b -=， 设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则218
b b q q
==，328b b q q ==， 于是
8384q q -⨯=，即2620q q +-=，解得：1
2q =，23
q =-（舍去）， 所以2
2
421822b b q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
，
若选①：则142a b ==，420S =， 则4143
4202
S a d ⨯=+
=，解得2d =， 所以()2
1222
n n n S n n n -=+⨯=+，则
()111111
n S n n n n ==-++， 于是121111111111122311k k T S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令13
114
k -
≥+，解得：3k ≥， 因为k 为正整数，所以k 的最小值为3； 若选②：则142a b ==，332S a =， 则()31132
3222
S a d a d ⨯=+
=+，解得：12a d ==，下同①； 若选③：则142a b ==，3423a a b -=，
则()()113238a d a d +-+=，解得：43
d =， 于是()2142422333
n n n S n n n -=+⨯=+，则()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭， 于是3111111114324112k T k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 311114212k k ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭93118412k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
， 令34k T ≥，即9311384124k k ⎛⎫-+≥ ⎪++⎝⎭， 得111122
k k +≤++，得240k k --≥，
所以k ≥
或k ≤， 又因为k 为正整数，解得：3k ≥，所以k 的最小值为3.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的基本量的计算、等差数列的前n 项和以及利用裂项相消法求数列和，解题的关键在于熟练掌握等差等比和数列相关公式以及裂项相消法求和，考查计算求解能力.
25．（1）2n a n =，n *∈N ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和，即可得证；
【详解】
解：（1）因为0n a >，所以0n S >，故2n S n n =+
当1n =时，112a S ==，
当2n ≥时，()()()2
21112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦
且1a 也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，n *∈N
（2）()1411111
n n n b a a n n n n +===-++⋅ 所以()1211112231n n T b b b n n =++⋅⋅⋅+=
++⋅⋅⋅+⨯⨯+ 11111111122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 26．（1）证明见解析；（2）21n a n =-，113n n b -=
． 【分析】
（1）利用等比数列的定义证明；
（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求n a ，由累加法求n b ．
【详解】
（1）因为21340n n n b b b ++-+=，所以2111()3n n n n b b b b +++-=-，又21203
b b -=-≠， 所以21113
n n n n b b b b +++-=-，*n N ∈，所以数列{}1n n b b +-是等比数列； （2）2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，
又111a S ==适合上式，
所以21,*n a n n N =-∈，
由（1）112133n n n b b -+⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭
，
所以，2n ≥时，2
12132122121()()()133333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-+-⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121133111313
n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+= ⎪⎝⎭-．又11b =，所以113n n b -=． 【点睛】
易错点睛：本题考查等比数列的证明，考查由n S 求n a ，累加法求数列的通项公式．在由n S 求n a 时要注意公式1n n n a S S -=-中2n ≥，而11a S =，求法不相同，易出错，同样在用累加法求通项公式时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+
+-，括号中的各项成等比数列，这里不包含1b ．要特别注意首项．。