精品解析：人教新版九年级下学期《第27章相似》单元测试卷(解析版)

《第27章相似》单元测试卷一．选择题
1. 已知
3
2
x
y
=，那么下列等式中一定正确的是（）
A. 39
2
x
y
= B.
3
3
x
y
+
+
=
6
5
C.
33
22
x x
y y
-
=⋅
-
D.
5
2
x y
x
+
=
【答案】A
【解析】
分析：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积来判断.
详解：A.3x•2＝9y，则2x＝3y，所以A选项正确；
B.5(x＋3)＝6(y＋3)，则5x﹣6y＝3，所以B选项错误；
C.2y(x﹣3)＝3x(y﹣2)，则xy﹣6x＋6y＝0，所以C选项错误；
D.2(x＋y)＝5x，则3x＝2y，所以D选项错误．
故选A．
点睛：本题考查了比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，即a c
b d
＝，则ad＝bc；反之如
果ad＝bc，则a c
b d ＝.
2. 已知a：b＝3：2，则a：（a﹣b）＝（）
A. 1：3
B. 3：1
C. 3：5
D. 5：3
【答案】B
【解析】
试题分析：利用分比性质进行计算．
解：∵=，
∴==3．
故选B．
考点：比例的性质．
3. 在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为()
A. 320cm
B. 320m
C. 2000cm
D. 2000m
【答案】D
【解析】
【分析】
首先设它的实际长度是xcm ，然后根据比例尺的定义，即可得方程：1:800025:x =，解此方程即可求得答案，注意统一单位.
【详解】设它的实际长度是xcm ，
根据题意得：1:800025:x =，
解得：200000x =，
2000002000cm m =，
∴它的实际长度为2000m .
故选D .
【点睛】此题考查了比例线段.此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位.
4. 已知线段AB ＝1，C 是AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，则BC 的长为（ ）
A. 1
B. C. 35
D. 【答案】C
【解析】
【分析】 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分
）叫做黄金比． 【详解】解：根据黄金分割的概念得：
AC=
12
AB=12 ∴
BC=AB-AC=
32
. 故选C ． 【点睛】本题考查黄金分割定理，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．
5. 如图，若////DC FE AB ，则有（ ）
A. OD OC
OF OE
= B.
OF OB
OE OA
= C.
OA OD
OC OB
= D.
CD OD
EF OE
=
【答案】D
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，根据题意直接列出比例等式，对比选项即可得出答案．
解：∵DC∥FE∥AB，
∴OD：OE=OC：OF（A错误）；
OF：OE=OC：OD（B错误）；
OA：OC=OB：OD（C错误）；
CD：EF=OD：OE（D正确）．
故选D．
6. 我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（）A. ①③ B. ①② C. ①④ D. ②③
【答案】C
【解析】
试题分析：根据相似形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
解：①两个圆，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；
②两个菱形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；
③两个长方形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；
④两个正六边形，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确．
故选C．
考点：相似图形．
点评：本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
7. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A. 60°
B. 75°
C. 87°
D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫
故选C
【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.
8. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）
A. 1：2
B. 2：1
C. 1：4
D. 4：1
【答案】A
【解析】
∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)
∴它们的周长之比为1：2．
故选A．
【点睛】相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．
9. 如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连接BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为
A. 3
B. 6
C. 3或8
D. 2或8
【答案】D
【解析】
【分析】
因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．
【详解】设线段BE的长为x．
如果三角形ADN和BME相似，因为AD∥BC，所以∠ADN和∠MBE一定不相等，
故应分两种情况进行讨论．
①如图1，当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，
过点D作DF⊥BE，垂足为F，tan∠ADB=tan∠BEM．
AB：AD=DF：FE=AB：（BE–AD）．
即2：4=2：（x–4）．解得x=8．即BE=8．
②如图2，当∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∴DE BE BE EM
，
∴BE2=DE•EM=1
2
DE2，
∴BE2=x2=1
2
[22+（4–x）2]，
∴x1=2，x2=–10（舍去），
∴BE=2．
综上所述线段BE的长为8或2，
故选D．
【点睛】考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
10. 如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）
A. 3：2：1
B. 5：3：1
C. 25：12：5
D. 51：24：10
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】连接EM，
CE：CD=CM：CA=1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3
∴AH=（3﹣3
5
）ME，
∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5 设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k
∴BH=51
2
K，
∴BH：HG：GM=51
2
k：12k：5k=51：24：10
故选：D．
11. 1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是()
A. 80米
B. 85米
C. 120米
D. 125米
【答案】D
【解析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：=，
解得：x=125米．
故选D．
命题立意：考查利用所学知识解决实际问题的能力．
12. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（）
A. 3
B. 3
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用射影定理得到BC2=BD•BA，然后把AD=3，BD=1代入计算即可．
【详解】解：根据射影定理得BC2=BD•BA，
即BC2=1×（1+3），
所以BC=2．
故选C．
【点睛】本题考查射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
13. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（）
A. 4：9
B. 2：5
C. 2：323
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
二．填空题
14. 已知线段a＝10cm，b＝2m，则b
a
＝__．
【答案】20
1
.
【解析】
【分析】
根据比例的定义即可直接写出（注意保持单位一致）．【详解】解：根据题意，b=2m=200cm，
则b
a
＝
200
10
=
20
1
.
故答案为201. 【点睛】本题考查求线段的比，解题关键是求线段的比的时候，要统一单位． 15. 若 x y z 0234==≠ ，则 2x 3y z
+ =________． 【答案】134 【解析】
【分析】
【详解】设234
x y z k ===， 即x=2k, ,y=3k , z=4k .
代入2322331313444
x y k k k z k k +⨯+⨯===. 考点：比例的应用．
16. 已知线段b=2，c=8，若线段a 是线段b 与c 的比例中项，则a=_____．
【答案】4
【解析】
2a bc = 即216a =，则a=4.
17. 黄金分割比是=
510.61803398-=⋯，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是 ．
【答案】0.618
【解析】
根据四舍五入的原则将510.61803398-=⋯用四舍五入法精确到0.001的近似数是0.618 18. 如图，
点D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，如果AD ：DB=3：2，那么BF ：FC=_____．
【答案】3:2
【解析】
因为DE ∥BC,所以32AD AE DB EC ==,因为EF ∥AB ,所以23CE CF EA BF ==,所以32
BF FC =,故答案为: 3:2. 19. 利用复印机的缩放功能，
将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是________．
【答案】1：4
【解析】
【分析】
根据是相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答即可．
【详解】因为原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4．
故答案为1：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答． 20. 已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为__；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是___．
【答案】 (1). 49， (2).
10049
. 【解析】
【分析】
根据相似多边形的对应边的比相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为5：7，较小的一个多边形的周长为35．
∴较大的一个多边形的周长为35×75=49； ∵面积之比等于相似比的平方，即(75)2=2549
． 较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是4×
2549=10049. 故答案为(1). 4； (2).
10049. 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
21. 如图，在钝角三角形ABC 中，6AB cm =，12AC cm =，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1/cm 秒，点E 运动的速度为2/cm 秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似时，运动的时间是___．
【答案】3秒或4.8秒 【解析】 【分析】
如果以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，由于A 与A 对应，那么分两种情况：①D 与B 对应；②D 与C 对应．再根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：根据题意得：设当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是x 秒， ①若△ADE ∽△ABC ，则AD ：AB=AE ：AC ， 即x ：6=（12-2x ）：12， 解得：x=3；
②若△ADE ∽△ACB ，则AD ：AC=AE ：AB ， 即x ：12=（12-2x ）：6， 解得：x=4.8；
所以当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故答案为：3秒或4.8秒．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．
22. 如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，∠A =∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】∠B=∠DEC（不唯一） 【解析】
试题解析：答案不唯一，如.B DEC ∠=∠ 可添加.B DEC ∠=∠ B DEC A D ∠=∠∠=∠，，
.ABC DEF ∴∽
故答案为.B DEC ∠=∠
点睛：两角分别相等的两个三角形相似.
23. 如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM⊥AB ，M 为垂足，AM=
AB ．若
四边形ABCD 的面积为，则四边形AMCD 的面积是 ．
【答案】1． 【解析】
试题分析：如图所示：延长BA 、CD ，交点为E ．
∵CM 平分∠BCD ，CM⊥AB ，∴MB=ME ． 又∵AM=
AB ，∴AE=
AB ，∴AE=
BE ． ∵AD∥BC ，∴△EAD∽△EBC ，∴，∴S 四边形ADBC =
S △EBC =
，∴S △EBC =
，∴S △EAD =
×
=
，
∴S 四边形AMCD =
S △EBC ﹣S △EAD =
﹣
=1．故答案为1．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
24. 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB ，在点D 和点F 处分别竖立高是2米的标杆CD 和EF ，两标杆相隔52米，并且建筑物AB 、标杆CD 和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD 后退2米到点G 处，在G 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4米到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，则建筑物的高是__________米．
【答案】54 【解析】
设建筑物的高为x米，根据题意易得△CDG∽△ABG，∴CD DG
AB BG
=，∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x，再由
△EFH∽△ABH可得EF FH
AB BH
=，即
24
x BH
=，∴BH＝2x，即BD＋DF＋FH＝2x，亦即x－2＋52＋4＝2x，
解得x＝54，即建筑物的高是54米．
25. 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为．
【答案】（4，4）或（5，2）.
【解析】
【分析】
要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】根据题意得：OA=2，OB=1，5
∴当AB与AC对应时，有AB OA
AC AB
=或者
AB OB
AC AB
=，
∴AC=5
2
或AC=5，
∵C在格点上，
∴AC=5
2
（不合题意），则AC=5，
∴C点坐标为（5，2），
同理当AB与BC对应时，可求得BC=5
2
或者BC=5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4），
∴C点坐标为（5，2）或（4，4）．
故答案为（4，4）或（5，2）．
26. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝1，则CD的长为_____．
【答案】2．
【解析】
【分析】
根据射影定理得到：CD2=BD•AD，代入求值即可．
【详解】∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=1，
∴由射影定理得：CD2=BD•AD=1×4=4，
∴CD=2（舍去负值）．
故答案是：2．
【点睛】本题考查了射影定理．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
27. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形
OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1
4
，B的坐标是（4，2），
那么点B′的坐标是___．
【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）．【解析】
【分析】
利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1
4
，
∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（4，2），
∴点B′的坐标是：（2，1）或（-2，-1）．
故答案为（2，1）或（-2，-1）．
【点睛】本题考查位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标特点是解题关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，
则矩形AOCB的对称中心的坐标是___；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的3 2
倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大3
2
倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规
律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是___．
【答案】(1). （﹣1，1
2
），(2). （﹣
81
16
，
81
32
）．
【解析】
【分析】
先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标．
【详解】解：∵OA=2．OC=1，
∴B（-2，1），
∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，1
2），
∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的3
2
倍，得到矩形A1OC1B1，
∴B 1（-3，
32
）， 同理可得B 2（-92，94），B 3（-274，278），B 4（-818，81
16
），
∴矩形A 4OC 4B 4的对称中心的坐标是（﹣8116，81
32
）．
故答案为（-1，12），（﹣8116，81
32
）．
【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
三．解答题
29. 若x 、y 、z 满足
y z x
+＝z x y +＝x y
z +＝k ，求k 的值．
【答案】k ＝﹣1；k ＝2． 【解析】 【分析】
可分x+y+z=0和x+y+z ≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解． 【详解】①当x+y+z ＝0时，y+z ＝﹣x ， ∴k ＝
y z x -＝x
x
-＝﹣1； ②x+y+z≠0时，
k ＝y z z x x y x y z +++++++＝()2x y z x y z
++++＝2．
即k 的值为：-1或2.
【点睛】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解题关键． 30. 已知：2a ＝3b ＝4c ，求a b
b c
++的值． 【答案】
57
. 【解析】 【分析】
设
2a ＝3b ＝4
c
＝k （k≠0），则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，代入求值即可. 【详解】设2a ＝3b ＝4
c
＝k （k≠0），
则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，
则a b
b c + +
=
23
34
k k
k k
+
+
=
5
7
．
【点睛】本题考查了比例的性质.
31. 如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AC BC
AB AC
=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：
直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S，2S，如果12
1
S S
S S
=，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线AB是ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点D，再过点D 作直线DF CE，交AB 于点D ，连接AB（如图3），则直线AB也是ABC的黄金分割线．
请你说明理由．
（4）如图4，点D是ABCD的边AB的黄金分割点，过点D作DF CE，交AB于点D ，显然直线AB 是ABCD的黄金分割线．请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点．【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能（3）理由见解析（4）见解析
【解析】
【分析】
【详解】（1）直线CD是ABC的黄金分割线．理由如下：
设ABC的边AB上的高为h．
1
2
ADC
S AD h
=
△
，
1
2
BDC
S BD h
=
△
，
1
2
ABC
S AB h
=
△
，
所以，ADC
ABC
S AD
S AB
=
△
△
，BDC
ADC
S BD
S AD
=
△
△
．
又因为点D 为边AB
的黄金分割点，所以有AD BD AB AD =．因此ADC BDC ABC ADC
S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC 的黄金分割线．
（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时121
2
s s s ==
，即 12
1
s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． （3）因为DF
CE ，所以DEC 和FCE △的公共边CE 上的高也相等，
所以有DGE FGC S S =△△．
设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△． 所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形
DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =四边形△．
又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFC
AEF ABC AEF
S S S S =四边形△△△．
因此，直线EF 也是ABC 的黄金分割线． （4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，EF 于M ，G 点，则直线DC 就是ABCD 的黄金分割线．
画法二：如答图2，在EF 上取一点G ，连接EF ，再过点G 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接DC ，则直线DC 就是ABCD 的黄金分割线． （1）由于,,ACD
BCD
ABC
S
S
S
是同高，而点D 为边AB 的黄金分割点，则
AD BD
AB AD
=，所以ADC BDC
ABC ADC
S S S S =△△△△，故直线CD 是ABC 的黄金分割线
（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是
（3）根据平行线间的距离相等，则DGE FGC S S =△△，通过图形面积的转化，直线EF 分三角形的图形面积
有BEFC
AEF
ABC AEF
S
S
S S
=
四边形
△
△△
，故直线EF也是ABC的黄金分割线
（4）画法不惟一，只需分成图形面积比相等即可
32. 如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，51
2
AB
BC
-
=≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
【答案】矩形ABFE是黄金矩形．说明见解析.
【解析】
【分析】
只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．
【详解】矩形ABFE是黄金矩形．
∵AD=BC，DE=AB，
∴
51
11
51
AE AD DE BC AB BC
AB AB AB AB
---
===-=-=
-
.
∴矩形ABFE是黄金矩形．
【点睛】本题考查黄金分割定理，解题关键是根据已知条件和正方形的性质进行分析求解．
33. 如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC 于G．
(1)说明点G是线段BC的一个三等分点；
(2)请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据矩形对角线的性质可以判断E 为BC 的二等分点，再由OE ∥CD ，OE=12CD ，得出EG=1
2
GC ，从而得出GC=
2
3CE=13
BC ． （2）依题意，根据平行线分线段成比例定理直接在图中作图即可． 【详解】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，∴OE∥CD． ∵△OEF∽△CDF， ∴
12
EF OE OB FD CD BD === ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC． ∴
1
2
CG CE EF BG AF FD === ． ∴G 是BC 的三等分点 （2）解：依题意画图所示，
【点睛】本题考查的知识点是平行线分线段成比例, 矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例, 矩形的性质.
34. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ． 某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当BC FE =时，有22
321
AO AD ==+，如图（1） （2）当
11312AE AC ==+时，有113222n n
n n b b -+-=⋅=，如图（2） （3）当11
413
AE AC ==+时，有数与式，如图（3）
在图（4）中，当
1
1
AE
AC n
=
+
时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示
AO
AD
的一般结论，并给出证明（其
中n是正整数）
【答案】AO
AD
＝
2
2
n+
,证明见解析.
【解析】【分析】
作DF∥BE交AC于F，如图4，根据平行线分线段成比例定理，由DF∥BE得到CF
EF
=
CD
BD
，则EF=CF，
再利用比例性质由AE
AC
=
1
1n
+
得到
AE
EF
=
2
n
，再由OE∥DF得到
AO
OD
=
AE
EF
=
2
n
，然后根据比例性质求解．
【详解】过D作DF∥BE交AC于F，∴AO：AD＝AE：AF．
∵D为BC边的中点，
∴CF＝EF＝0.5EC．
∵AE
AC
=
1
1n
+
，
∴AE：（AE+2EF）＝1：（1+n），AE+2EF＝AE+AEn
AEn＝2EF，
∴AE：EF＝2：n．
∴AE：AF＝2：（n+2）．
∴AO
AD
＝
2
2
n+
．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
35. 下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH．
【答案】（1）形状相同．它们的对应角相等，都是60°．对应边的比相等；（2）形状相同．它们的对应角相等，都是90°．对应边的比相等．
【解析】
【分析】
（1）两个正三角形的形状相同，对应角相等，对应边的比相等．
（2）两个正方形的形状相同，对应的角相等，对应边的比相等．
【详解】（1）正△ABC与正△DEF的形状相同．它们的对应角相等，都是60°．根据正三角形的边长相等可以得到对应边的比相等．
（2）正方形ABCD与正方形EFGH的形状相同．它们的对应角相等，都是90°．根据正方形的边长相等可以得到对应边的比相等．
【点睛】本题考查相似图形，相似图形是指形状相同的图形，判断两个正多边形的形状是否相同，就看它们的对应角是否相等，对应边的比是否相等．
36. 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m 的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，
根据题意，得x·2x＝288.
解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，
所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)
答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.
结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？
(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC 与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形
ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．
【答案】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由；（2）a c
b d
+
+
＝2.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可;
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得A D
A B
''
''
＝
AD
AB
，然后利用比例的性质.
【详解】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：
设温室的宽为x m，则长为2x m.
则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.
∵231
11
x
x
--
--
＝
24
2
x
x
-
-
＝2，
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；
(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要A D
A B
''
''
＝
AD
AB
，即
()
()
AD a c
AB b d
-+
-+
＝
2
1
，
即()()2AB a c AB b d -+-+＝21
， 即2AB －2(b ＋d )＝2AB －(a ＋c )，
∴a ＋c ＝2(b ＋d )， a c b d
即++＝2.
【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.
37. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交AD 于点F ，连接BF ．
（1）求证：BF 平分∠ABC ；
（2）若AB ＝6，且四边形ABCD ∽四边形CEFD ，求BC 长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC ＝5
【解析】
【分析】
（1）首先证明四边形ABEF 是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠BAE=∠AEB ，证出AB=EB ，得出四边形ABEF 是菱形，即可得出结论；
（2）由相似多边形的性质得出对应边成比例，即可得出BC 的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，
∴∠FAE ＝∠AEB ，
∵EF ∥AB ，
∴四边形ABEF 是平行四边形，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠FAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；∴BE＝AB＝6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴AB BC
CE CD
=，即
6
66
BC
BC
=
-
，
解得：BC＝3±35（负值舍去），
∴BC＝3+35．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、相似多边形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ABEF是菱形是解题关键．
38. 将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，它们的较短直角边长为6
（1）将△DCE沿直线l向右平移到图②的位置，使E点落在AB上，求平移的距离；
（2）将△DCE绕点C按顺时针方向旋转到图③的位置，使点E落在AB上，则△DCE旋转了多少度数；（3）将△DCE沿直线AC翻折到图④的位置，ED′与AB相交于点F，求证：BF＝EF．
【答案】（1）CC′＝6﹣3；（2）△DCE旋转的度数是30度；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数求得AC的长，易证△BEC′∽△BAC，根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BC′，则可得CC′的长；
（2）根据旋转的定义得到：CE=CB，易证△BCE是等边三角形，则∠BCE可得，则△DCE旋转的度数即可求解；
（3）证明△AEF≌△DBF即可证得．
【详解】（1）在直角△ABC中，AC＝BC•tan60°＝63．
∵△BEC′∽△BAC，
∴
'
BC
BC
＝
'C E
AC
即
'
6
BC
＝
63
，
解得：BC′＝23，
∴CC′＝BC﹣BC′＝6﹣23；
（2）∵△BCE中，CE＝CB，∠EBC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝90﹣60＝30°，即△DCE旋转的度数是30度．
（3）∵AC＝CD，CE＝CB，
∴AE＝BD，
又∵∠AFE＝∠DFB，∠A＝∠EDC，
∴△AEF≌△DBF，
∴BF＝EF．
【点睛】本题考查旋转的定义，注意先确定旋转角，并且在证明线段相等的问题时，一般是转化为证明三角形全等的问题来解决．
39. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；
（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3对，分别是：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD ，△ACD∽△CBD；（2）4.8；（3）存在，（1.35，3）或（3.15，1.8）．
【解析】
【分析】
（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；
（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到1
2
AB•CD=
1
2
AC•BC，即可
求出CD的长；
（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：
①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．
【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；
（2）如图1，在△ABC中，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴==6．
∵△ABC的面积=1
2
AB•CD=
1
2
AC•BC，
∴CD=
68
10
AC BC
AB
⋅⨯
==4.8；
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴==3.6．
分两种情况：①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，。