第二章 反z变换

外处处解析，C为D
D
zn C3 z 3
Cn C2
z1 z2
C
1
C
留数法思路
1. 2. 由于积分围线c在X(z)的收敛域内，所以首先要确定收敛域， 如未给定要根据其极点确定。 考虑被积函数X(z)zn-1在c内或c外的极点的情况确定用(a)式或 (b)式来计算。原则是选择X(z)zn-1有有限个极点且极点阶次有 限的区域来求留数，而尽量避免求z=∞的留数。 如收敛域在一圆外，应计算n>0时的x(n)，选择（a）式，因 为此时在c内有有限个阶次有限的极点，zn-1在z=0处解析； 如收敛域在一圆内，应计算n<0时的x(n)，选择（b）式； 当收敛域在某一圆环内，应利用X(z)在c内的极点求得n>0的 x(n)，而利用c外的极点求得n<0的x(n). n=0的情形要单独地与n>0的情况同样处理
2.7.3 Z反变换
即由Z变换式X(z)求相应的序列x(n)， 常用 Z-1[x(z)]表示， 1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz c ( Rx , Rx ) 2j c 逆z变换是一个对X(z)zn-1进行的围线积分，积 分路径C是一条在X(z)收敛环域（Rx-，Rx+） 以内反时针方向绕原点一周的单围线。
(3) 收敛域1/3 <∣z∣< 1:
此时收敛域在一个环内，
X0(z)的极点 z1=1在围线c之外，而 z2=1/3在围线c之 内, 于是有：
1 1 1 x3 (n) Re s[ X 1 ( z ), z ] ( ) n 3 2 3 • 当n≥1-m=0时，
• 当n<1-m=0时，
由Z变换X(z)求其相应的序列x(n)，有下面的Z反变换关系式：
1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz 2j c
积分路径C是一条在X(z)收敛环域（Rx-，Rx+）内的一条包围 原点的闭合曲线。 上式中的积分，应用留数定理来求
x (n )
1 2j
1 2j
n 1 X (z )z n 1dz X z z 在c 内极点上的留数 ,
1 1 u n 5 u 5 n 2 2
5 n
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法 来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项 b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项 例：
分子分母按降幂排列
分子分母按升幂排列
对其进行多项式除法
求解反z变换的常用方法有常见的方法有

幂级数法 部分分式法 留数法
1.幂级数法
由上已知，Z变换是一个幂级数表示式
X z Z xn xn z
n
n
那么，求X(z)的反变换只要将其展开为幂级数形式， 再与上式相比较，其系数便是所求的序列x(n)。 幂级数的展开形式还必须依据收敛域
3.
4.
•
例2.17
换。
用留数法求 X ( z )
X ( z)
z 3z 2 4 z 1
的 z 反变
•
解：
X 1 ( z) X ( z) z
z z 1 4 1 3 z 2 z 3( z 1)(z ) 3 3 3
n 1

zn 3( z 1)( z 1 ) 3

X (z) 4 1 1 1 z 3 ( z 2) 3 ( z 0.5)
4 z 1 z X (z) 3 ( z 2) 3 ( z 0.5)
4 1 1 1 X (z) 1 3 (1 2 z ) 3 (1 0.5 z 1 )
4 n 1 n x( n) 2 (0.5) u( n) 3 3
3 z 1 X (z) (1 3 z 1 )2 , | z | 3, 求x( n)
X (z)
1 (1 2 z )(1 0.5 z )
1 1
, | z | 2, 求x( n)
1 2 z 1 X ( z ) 1 z 2
| z |
1 2
3 z 1例：设： X (z) , | z | 3, 求x( n) 1 2 (1 3 z )
1 n 1 Re s X z z , z z 0 s 1 !
若z0是一阶极点，即s=1，则此留数为
d s 1 z dz s 1
z z 0
n 1 Re s X z z ,z z0 z 0
留数定理：设函数 在区域 D内除有限个孤立奇点 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
2
1 z 3 2
将其化为部分分式之和 解：
1 1 z 1 z X z z z z 3 2z 1 z 3 2 z 1 2
1 1
n 1
于是，
11 xn 3 u n 1 1 u n 1 2 2
n 1
3. 留数法
(a )
x (n )
n 1 X (z )z n 1dz X z z 在c 内极点上的留数 ,
(b )
若X(z)zn-1是z的有理函数，设z0是它的一个s阶极点，可以将X(z)zn-1表示为
X z z
n 1

z
z z 0
s
则 z 在z=z0解析， X(z)zn-1在z=z0的留数为
1 2z X z 1 2z z
1 1
2
a.先按降幂排列，同上。
X z 1 4 z 7 z xnz
1 2 n 0
1 2 1
n
2z 1 b. 先按升幂排列 X z z 2z 1
2
利用多项式除法得
得：X(z)=3z-1+18z-2+81z-3+…
=3z-1+2×32×z-2+3×33×z-3+… ∴ x(n)=n3nu(n-1)
X (z)
(1 2 z )(1 0.5 z )
解：
例：设： 1
1
1
, | z | 2, 求x( n)
z2 X (z) ( z 2)( z 0.5)
1 x1 (n) Re s[ X 1 ( z ), z 1] Re s[ X 1 ( z ), z ] 3 1 (z - 1)X1 ( z ) z 1 2 2 3
n z 1 3
zn 1 z 1 3( z 1) 3( z ) 3
2 z z 2
n 2 2 2
在c内只有一个一阶极点z=0，此时
z
综上可知
2 所以 x 0 Re s X 1 z , z 0 0 1 z 2 x n 2n u n
求下列Z反变换
收敛域 某一圆外 某圆内 某圆环内
级数形式 z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
z 1 e 1 z z 2! n!
1 z 2 1 n 0
n
所以得
1 xn u(n) n!
例2.6 ：已知 解：
zn
z
1 3
(2）收敛域|z|<1/3: 此时收敛域在|z|=1/3的园内，围
线c之外包含X0(z)的两个极点，所以有：
• 当n≥1=m=0时，x(n)=0；而当n<1-m=0时，有：
1 x 2 (n) Re s[ X 1 ( z ), z 1] Re s[ X 1 ( z ), z ] 3 1 1 1 ( )n 2 2 3
解：∵|z|>3，所以x(n)为右边序列，X(z)应按z的降幂排列。
3z 3z X (z) 2 2 ( z 3) z 6z 9
3z-1+18z-2 +81z-3
z2-6z+9 3z 3z-18+27z-1
+…
18-27z-1 18-108z-1+162z-2
81z-1-162z-2 81z-1-486z-2+729z-3 ………………………………
Z axn byn aX z bY z
Z xn n0 z n0 X z
于是可知X(z)所对应的序列为
对应序列为
1 u n 2
n
Rx z Rx
1 1 xn 2 2
n 5
3 1 n
X z 2 z 5 z 8 z xn z
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
查得其对应的反Z变换.根据Z 变换的线性
得到对应的序列
例如: 1. 如可将X(z)表示成
z X z A za 则对右边序列有 xn A a u n 则对左边序列有 xn A a u n 1
z X z , z2
5
0 z 2
求X(z)的反z变换。
z 1 z z 1 1 X z z z 2 1 z / 2 2 2 2 2
5 5 5 0 n 0 n
n
n
n
再利用Z变换的线性和位移特性
n 1

z n 1
1 1 z 2
2z n 1 z 2
n>0时：X1在c内和c上解析，故Z反变换积分为0，即有x(n)=0; n<0时： X1在c外只有一个一阶极点z=2。此时
z 2z n 1
故有 x n Re s X 1 z , z N=0时： X 1 z
A1 A2 X (z) z z ( z 2)( z 0.5) ( z 2) ( z 0.5)
X (z) z 4 A1 ( z 2) z z 2 ( z 0.5) z 2 3 z X (z) 1 A2 ( z 0.5) z z 0.5 ( z 2) z 0.5 3
X 0 ( z ) z m n 1
•
，显然，
X 0 ( z) 1
1 3( z 1)( z ) 3
并且 m=1。
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能 的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1:
此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有： • 当n<1-m=0时，x(n)=0；而当n≥1-m=0时，有：
收敛域|z|>2
例：求z的反变换，设：
1 2 z 1 1 X ( z ) 1 | z | z 2 2 解： 1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz 2j c 1 z2 n 1 z dz 2j c 2( z 1 / 2)
① 当 n>0 时，围线内有一个极点：z=1/2
x3 (n) Re s[ X 1 ( z ), z 1]
1 2
n
1 1 1 x3 (n) u(n 1) u(n) 2 2 3 • 因此，当收敛域在环内，
例
X z
1 , 1 1 z 2
z 2
则被积函数可写为
X 1 X z z
i i i
n i i i n i i i
2. 如可将X(z)表示为
z z X z B C z b z c
i i i i i
于是，
xn B b un C c u n 1
i i i i i i
i
例2.7 已知
z2 X z , 2z 7z 3