2020年江苏省苏州市张家港暨阳高级中学高三数学理联考试题含解析

2020年江苏省苏州市张家港暨阳高级中学高三数学理联考试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题中为真命题的是( )
A.若,则
B.命题:若,则或的逆否命题为:若且,则
C.""是"直线与直线互相垂直"的充要条件
D.若命题,则
参考答案：
B
2. 将函数R的图象向左平移个单位长度后得到函数，则函
数
A．是奇函数 B．是偶函
数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数
参考答案：
B
3. 若曲线在点处切线与坐标轴围成的三角形的面积为，
则
（）
A. B. C. D.
参考答案：
A 4. 已知函数满足，当时，函数在
内有2个零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
5. 已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
参考答案：
A
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．
令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．
解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），
f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，
∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．
令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=，
故选：A．
点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
6. 设复数（i为虚数单位），则z的虚部是
A. B. C. D.
参考答案：
B
7. 关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，则实数m的取值范围为（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（3，+∞）D．（﹣∞，3]
参考答案：
D
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】由题意可得|x﹣1|+|x+2|的最小值大于或等于m，而由绝对值三角不等式求得|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，从而求得m的范围．
【解答】解：∵关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，
故|x﹣1|+|x+2|的最小值大于或等于m．
而由|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，可得|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，故有m≤3，
故选：D
8. 已知实数满足约束条件若，设表示向量在向量方向上射影的数量，则z的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：【知识点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．E5 F3
C 解析：画出约束条件的可行域，
由可行域知：时，向量在方向上的射影的数量最大，此时，所以向量
在方向上的射影的数量为；当时，向量在方向上的射影的数量最小，此时
，所以向量在方向上的射影的数量为.所以的取值范围是.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论.
9. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）
．B ．
参考答案：
A
略
10. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为
A. B． C. D
．
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在
中，
为
的对边，
成等比数列，
，则
＝
．
参考答案：
12. 若实数
满足约束条件
，则目标函数
的最小值是
（ ）
A ．0
B ．4
C ．
D ．
参考答案：
A 略
13. 已知双曲线﹣y 2=1(a ＞0)的一条渐近线方程为y+2x=0，则a= ．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，真假求解即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y+2x=0，则a=．
故答案为：．
14. 函数
的值域是_______.
参考答案：
略
15.
表示不超过x 的最大整数，已知，当x 时，有且仅有三个零
点，则a 的取值范围是
参考答案：
16. 若函数f （x ）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f （x ）
=
，则f （）+f （）=
．
参考答案：
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．
解答： 解：函数f （x ）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f （x ）
=
，
则f（）+f（）
=f（8﹣）+f（8﹣）
=f（﹣）+f（﹣）
=﹣f（）﹣f（）
=
==．
故答案为：．
点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
17. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
参考答案：
60
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
参考答案：
解：(1)时，，得
时，有，所以，即：，满足时，,
所以是公比为2，首项为1的等比数列
故通项公式为：
(2)
19. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b．（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若b=，求sinC．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）利用余弦定理即可得出．
（II）由b=，及b2+c2﹣1=bc，解得c，再利用正弦定理即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵a=1，2cosC+c=2b．，
由余弦定理得+c=2b，即b2+c2﹣1=bc．…
∴cosA===…
由于0＜A＜π，∴A=．…
（Ⅱ）由b=，及b2+c2﹣1=bc，得﹣1=c，…
即4c2﹣2c﹣3=0，c＞0．…
解得c=．…
由正弦定理得=，…
得sinC==．
20. （09 年聊城一模文）（12分）
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验。

（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
参考答案：
解析：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5），其中数据为12月份的日期数。

（2分）
每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种。

所以。

所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是（4分）（2）由数据，求得（5分）
由公式，求得。

（7分）
所以y关于x的线性回归方程为。

（8分）
（3）当x=10时，（10分）
同样，当x=8时，
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的。

（12分）
21. （本小题满分12分）若是公差为不为等差数列的前n项和为，且成等比数列。

（I）求数列的公式q；
（II）若＝4，，求数列的通项公式。

参考答案：
（Ⅰ）设等差数列的公差为．…………………………..….1分
由题意得．…………………………………....….2分
∴，整理得．…...….3分
又，所以．………………………………..….4分
故公比．…………………..….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴．………….….8分
又．∴．
∴，．……….…………………………………...10分
故．……….………12分
22. 设向量=（2cosx，﹣2sinx），=，f（x）=?．
（1）求函数f（x）的单调增区间和图象的对称中心坐标；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（C）=0，c=1，求a+b的取值范围．参考答案：
【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质；解三角形．
【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）
=2cos（2x+）+3，利用余弦函数的图象和性质即可求解函数f（x）的单调增区间和图象的对称中心坐标；
（2）由f（C）=0，且C为锐角，由余弦函数的图象可求C，由正弦定理可解得a+b=2sin（A+），求得A的范围，利用正弦函数的性质即可得解．
【解答】解：（1），
所以由2x+∈[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z可解得f（x）的单调增区间为
，
由2x+=kπ+，k∈Z可解得对称中心为：．
（2）由f（C）=0，得，
∵C为锐角，
∴，
∴，．
由正弦定理得，
a+b==∴△ABC是锐角三角形，∴，得．
所以，
从而a+b的取值范围为．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数，余弦函数的图象和性质，考查了正弦定理在解三角形中的应用，综合性较强，属于中档题．。