江西省南昌市2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析

江西省南昌市2019-2020学年数学高二下期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若身高x cm 和体重y kg 的回归模型为0.84985.712y =x -，则下列叙述正确的是（ ） A ．身高与体重是负相关
B ．回归直线必定经过一个样本点
C ．身高170cm 的人体重一定时58.618kg
D ．身高与体重是正相关 【答案】D 【解析】 【分析】
由线性回归直线方程可得回归系数大于0，所以正相关，且经过样本中心，且y 为估计值，即可得到结论． 【详解】
0.84985.712y x =-可得0.8490>，
可得身高与体重是正相关，A 错误，D 正确；
回归直可以不经过每一个样本点，一定过样本中心点(x ，)y ，故B 错误；
若170x cm =，可得ˆ0.84917085.71258.618y
kg =⨯-=，即体重可能是58.618kg ，故C 错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题．
210y -+=的倾斜角的大小为（ ） A ．30° B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
10y -+=,可知直线的斜率k =
设直线的倾斜角为α，则tan α=， 又[0,180)α∈︒︒，所以60α=︒， 故选B ．
3．定义在(,)a b 上的函数()f x 的导函数()f x '在(,)a b 的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b 的极大值点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
由导数与极大值之间的关系求解． 【详解】
函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在(,)a b 上有两个()f x '
有两个零点满足． 故选：B. 【点睛】
本题考查导数与极值的关系．属于基础题．
4．已知函数()sin x x f x e e x x -=-+-（其中e 为自然对数的底数），则不等式(
)
2
(3)f x x f x -<+的解集为（ ） A ．(1,3)-
B ．(3,1)-
C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞
D ．(,1)(3,)-∞-+∞U
【答案】D 【解析】 【分析】
求导得到'()1cos 0x
x f x e e x -+--=-≤，函数单调递减，故23x x x ->+，解得答案.
【详解】
()sin x x f x e e x x -=-+-，
则'()1cos 21cos 1cos 0x x x x f x e e x e e x x --=-+-≤-⋅-=---≤恒成立， 故函数单调递减，(
)
2
(3)f x x f x -<+，故23x x x ->+，解得3x >或1x <-. 故选：D . 【点睛】
本题考查了根据导数确定函数单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
5．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） A ．[
,]43
ππ
B ．[,]42
ππ
C ．[
,]62
ππ
D ．[,]63
ππ
【答案】D 【解析】
以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x y 、、z 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设点P 坐标为(,1,)x x x - ，则1(1,,),(1,0,1)BP x x x BC =--=-u u u r u u u u r 设1BP BC u u u r u u u u r
、 的夹角为α
，所以
11·cos BP BC BP BC α==
=u u u r u u u u r
u u u r u u u u r ，所以当13x = 时，cos α
取最大值6
π
α= ．当1x = 时，cos α 取最小值1,23πα=．因为11//BC AD ．故选D ．
【点睛】因为11//BC AD ，所以求1BC BP 、 夹角的取值范围．建立坐标系，用空间向量求夹角余弦，再求最大、最小值．
6．若双曲线2
2
1y x m
-=的一条渐近线为20x y +=，则实数m =（ ）
A ．
12
B ．2
C ．4
D ．
14
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得m 的值． 【详解】
双曲线22
1y x m -=中，0m >，令22
0y x m
-=，得22y mx =，
所以y =；又双曲线的一条渐近线为20x y +=，
2=，解得4m =，所以实数4m =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题．
7．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）
A ．0.42
B ．0.12
C ．0.18
D ．0.28
【答案】B 【解析】 【分析】
由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。

【详解】
所求概率为()()10.610.70.12-⨯-=.故选B. 【点睛】
本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题。

8．已知21n
x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．40
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据二项展开式的各项系数和012232n n
n n n n C C C C +++==L ，求得5n =，再根据二项展开式的
通项为211()()r r
n r
r n T C x x
-+=，求得2r =，再求二项展开式中x 的系数.
【详解】
因为二项展开式的各项系数和012232n n
n n n n C C C C +++==L ，所以5n =，
又二项展开式的通项为211()()
r r
n r
r n T C x x
-+==3r r n n C x -，351r -=，2r =
所以二项展开式中x 的系数为2
510C =．答案选择B ．
【点睛】
本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．
9．某快递公司共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人送货，每人至少送货2天，其不同的排法共有（ ）种. A ．1060 B ．5040
C ．630
D ．210
【答案】C 【解析】
分析：把7天分成2,2,3天3组，然后3人各选一组值班即可. 详解：7天分成2天，2天，3天3组，
3人各选一组值班，
共有223
753
2
2
630C C A A =种，故选C. 点睛：本题主要考查分组与分配问题问题，着重考查分步乘法计数原理，意在考查综合运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.
10．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为(),0b
y x a b a
=±>，若双曲线上有一点()00,M x y ，使00b x a y <，则双曲线的焦点（ ） A ．在x 轴上
B ．在y 轴上
C ．当a b >时在x 轴上
D ．当a b >时在y 轴上
【答案】B 【解析】 【分析】
设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的22
00
220y x b b
->，进而可判断出焦点的
位置． 【详解】
Q 渐近线方程为(),0b y x a b a =±>，22
22(0)x y a b λλ∴-=≠ 00||||0a y b x >≥Q ，平方2222
00a y b x >，
两边除22
a b ，22
00
220y x b b
->，
∴22
22(0)x y a b λλ-=>， ∴双曲线的焦点在y 轴上.
故选：B. 【点睛】
本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在x 轴或y 轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力．
11．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos b c A =⋅，则ABC V 的形状为 A ．正三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
【答案】C 【解析】
根据题目,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos b c A =⋅可知，利用边化角的方法，将式子化为
sin sin cos B C A =，利用三角形的性质将sin B 化为sin()A C +，化简得cos 0C =，推出90C ∠=︒，
从而得出ABC V 的形状为直角三角形． 【详解】 由题意知，
cos b c A =⋅Q
∴由正弦定理得sin sin cos B C A =
又()B A C p =-+Q
∴sin()sin cos A C C A +=
展开得，sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=
∴sin cos 0A C =
又Q 角A ，B ，C 是三角形的内角
sin 0
cos 0
A C ∴>∴=
又0<C<πQ
2
C π
∴=
综上所述，ABC V 的形状为直角三角形，故答案选C ． 【点睛】
本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意A B C π++=的应用．
12．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5
(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）
A ．
115
B ．
215
C ．
15
D ．
415
【解析】 【分析】
先求得二项式5
(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05:一共6个数字中任选
两个，和为4的概率，由此得出正确选项. 【详解】
令1x =代入5
(31)x -得5232=，即二项式5
(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种，其中和为
36324-=的有04,13共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为
2
15
，故选B. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______. 【答案】0.65 【解析】
设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为P ，再设红球在红盒内的概率为1P ，黄球在黄盒内的概率为2P ，红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为3P ，则()1231P P P P =-+-
:P 红球不在红盒且黄球不在黄盒
由古典概型概率公式可得，1234!3!,5!5!P P P ==
=，则()1234!3!131125!5!20P P P P ⎛
⎫=-+-=-⨯-=
⎪⎝⎭
，即0.65P =，故答案为0.65.
14．已知() y f x =为R 上的连续可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x
'+
>，
则函数()()1
g x f x x
=+的
零点有__________个． 【答案】1 【解析】 【分析】 令()()1
0g x f x x
+==得()1f x x =-，即()1xf x =-，然后利用导数研究函数()xf x 的单调性和极值，
即可得到结论． 【详解】 令()()1
0g x f x x
+
==，得()1f x x =-，
即()1xf x =-，即零点满足此等式
不妨设()()h x xf x =，则()()()h x f x xf x '=+'． ∵当0x ≠时，()()0f x f x x
'+
>，
∴当0x ≠时，()()
0xf x x
f x '+>，
即当0x >时，()()0xf x f x '+>，即()0h x '>，此时函数()h x 单调递增， 当0x <时，()()0xf x f x '+<，即()0h x '<，此时函数()h x 单调递减， ∴当0x =时，函数()h x 取得极小值，同时也是最小值()00h =， ∴当0x ≠时，()0h x ≥，∴()1h x =-无解，即()1xf x =-无解， 即函数()()1
0g x f x x
+==的零点个数为1个，故答案为1． 【点睛】
本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．
15．设函数224
()e x f x x
+=，2()x x g x e -=，对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，不等式()()
12(1)kf x k g x ≥+恒成立，则正实数k 的取值范围________ 【答案】1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
先分析()()f x g x 、的单调性，然后判断k 的正负，再利用恒成立的条件确定k 的范围.
【详解】
222
4()(0)
e x
f x x x -'=>，令()0f x '=，则2x e =，所以()f x 在2(0,)e 单调递减，在2(,)e +∞单调递增，则min 2
()()4f x f e e ==；2
1()x x
g x e
--'=
，令()0g x '=，则1x =，所以()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，则max ()(1)==g x g e ；
当()()0x f x g x →+∞→+∞→，，，所以0k ≤不成立，故0k >； 因为()()12(1)kf x k g x ≥+恒成立，所以121()()k f x g x k +≥
恒成立，所以min max 1
()()k f x g x k
+≥，即14k k +≥
，解得13
k ≥，即1
[,)3k ∈+∞. 【点睛】
恒成立问题解题思路：当12()()f x g x ≥恒成立时，则min max ()()f x g x ≥； 存在性问题解题思路：当存在x 满足12()()f x g x ≥时，则有max min ()()f x g x ≥. 16
．在二项式5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．
【答案】5
2
. 【解析】 【分析】
由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r 的值，然后求解2x 的系数即可. 【详解】
结合二项式定理的通项公式有：355215512r
r
r r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝
⎭⎝， 令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：2
2511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n 、r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．在ABC ∆中，A ∠，B Ð，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos b C a c B =-，
（1）求B Ð的大小；（2
）若b =，4a c +=，求a ，c 的值.
【答案】（1）3
π
（2）1，3或3，1. 【解析】
分析：（1）利用正弦定理把()cos 2cos b C a c B =-化成sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，即为
()sin 2sin cos B C A B +=⋅，从而解得3
B π
=
.
（2）利用余弦定理及4a c +=构建关于,a c 的方程，解出,a c .
详解：（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅.
∵B C A +=π-，∴sin 2sin cos A A B =⋅. ∵(),0,A B π∈，所以sin 0A ≠，∴1
cos 2B =
，所以3
B π= （2）∵2222cos b a c ac B =+-，即()2
73a c ac =+-，∴31679ac =-= ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =，3c =或3a =，1c =
点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
18．已知二阶矩阵A 对应的变换将点(1,1)M 变换成'(3,3)M ，将点(1,2)N -变换成'(3,0)N . （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；
（2）若向量15β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
v ，计算3
A βv
.
【答案】（1）1
12332133A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦；（2）8379⎡⎤⎢⎥⎣⎦．
【解析】
分析：（1）利用阶矩阵A 对应的变换的算法解出a b A c d ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，再求1A - （2）先计算矩阵A 的特征向量，再计算3
A βv
详解：（1）a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则
133133a b a b a b c d c d c d ++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧==⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩
， 1232322020a b a b a b c d c d c d --+-+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧==⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩
， 解得1a =，2b =，2c =，1d =，
所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
， 所以112332133A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
； （2）矩阵A 的特征多项式为()()2121421f λλλλ--==---- 223λλ=--， 令()0f λ=，解得13λ=，21λ=-，
从而求得对应的一个特征向量分别为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u v ，211α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
u u v . 令12m n βαα=+u u v u u v v
，求得3m =，2n =-， 所以()()()
333312123232A A A A βαααα=-=-u u v u u v u u v u u v v ()()
3331122132331λαλα⎡⎤=-=⋅⎢⎥⎣⎦u u v u u v ()318321179⎡⎤⎡⎤-⋅-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换．
19．已知平面直角坐标系，直线过点，且倾斜角为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，圆的极坐标方程为
. （1）求直线的参数方程和圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于、两点，若
，求直线的倾斜角的值. 【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），圆的标准方程为：.
（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据直线参数方程的几何意义得出参数方程，根据极坐标与直角坐标的关系化简得出圆的标准方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆的标准方程，根据参数的几何意义及根与系数的关系得出α．
【详解】
（1）因为直线过点，且倾斜角为， 所以直线的参数方程为（为参数）， 因为圆的极坐标方程为， 所以
， 所以圆的普通方程为：
， 圆的标准方程为：
. （2）直线的参数方程为，代入圆的标准方程得， 整理得， 设、两点对应的参数分别为、，则恒成立， ，=-4<0 所以，. 因为，所以或.
【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 20．已知复数212121(10),(25)(0),z a i z a i a z z R =+-=->+?．
（1）求实数a 的值；
（2）若2,||2z z z C ?=，求||z 的取值范围．
【答案】（1）3a =；（2）[1,3]．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先计算出12z z +，再由12z z R +∈即可求出结果；
（2）先由（1）知2z i =，再由复数的几何意义即可求出结果.
【详解】
（1）因为()21110z a
i =+-，()225(0)z a i a =->， 所以()()()
2212=110251215z z a i a i a a i +--+-=++-， 因为12z z R +∈，所以2215=0a a +-，
解得5a =-或3a =，
因为0a >，所以3a =．
（2）由（1）知2z i =，
因为22z z -=，所以z 在复平面内对应点的轨迹为以（0,1）为圆心，以2为半径的圆．
故||z 在复平面内表示z 对应的点到坐标原点的距离，
所以||z 的取值范围即：以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离，
所以21||21z -≤≤+，即1||3z ≤≤．
故||z 的取值范围为[]1,3．
【点睛】
本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记概念和几何意义即可求解，属于基础题型. 21．如图，在三棱锥S ABC -中，SB ⊥底面ABC ，且2SB AB ==，6=BC ，2ABC π
∠=，D 、
E 分别是SA 、SC 的中点.
(1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；
(2)求二面角S BD E --的平面角的大小.
【答案】（Ⅰ）证明过程详见解析；（Ⅱ）
． 【解析】
【分析】
（Ⅰ）已知SB 、AB 、BC 两两互相垂直，故可建立空间直角坐标系如下图．根据线段长度可求出相应点的坐标，从而可推出AD BC 0AD BD 0⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则，所以平面ACD ⊥平面BCD ． （Ⅱ）求出两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角平面角的关系求出平面角的大小．
【详解】
（Ⅰ）
． 又因，所以建立如上图所示的坐标系．
所以A （2，0，0），()0,0,0B ，()0,6,0C ， D （1，0，1），，S （0，0，2）
易得，AD -101=u u u r （，，），BC 060=u u u r （，，），BD 101=u u u r （，，）
又AD BC 0AD BD 0⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，AD BC AD BD AD BC AD BD ∴⊥⊥∴⊥⊥u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，
又
又因， 所以平面ACD ⊥平面BCD ．
（Ⅱ）又
设平面BDE 的法向量为，
则BE 0{0n BD n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ,即602z 0
y z x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 所以
又因平面SBD 的法向量为BC 060=u u u r （，，）
所以1cos ,28
63BC n BC n BC n ⋅===-⋅⨯u u u r r u u u r r u u u r r
由图可得二面角为锐角，所以二面角S BD E --的平面角的大小为
．
考点：•平面与平面的垂直的证明 二面角大小的求法．
22．已知函数f(x)＝3x
，f(a ＋2)＝81，g(x)＝11x
x a a -+. (1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；
(2)求函数g(x)的值域.
【答案】（1）12()12
x
x g x -=+,()g x 为奇函数; （2）()1,1-. 【解析】
试题分析：(1)先求出a ,即可得()g x 的解析式，然后利用奇偶性的定义判断()g x 的奇偶性;
(2)根据分式的特点，结合指数函数的性质求解值域.
试题解析：（1）由()22381a f a ++==，得24a +=，故2a =，所以()1212
x x g x -=+. 因为x R ∈，而()()122112122121
x x x
x x x g x g x ------===-=-+++， 所以函数()g x 为奇函数. （2）()()
2121221121212x x x x x g x -+-===-+++，()()()120,211,0,121x x x ∞∞∈+⇒+∈+⇒∈+，所以()()220,211,12112x x
∈⇒-∈-++，即函数()g x 的值域为（1,1-）.。