《广东省惠州市二零一六届高三数学第一次调研考试试题理新人教a版》.doc

惠州市2014届高三第一次调研考试
数学试题（理科）
（本试卷共4页,21小题，满分150分。

考试用时120分钟）
注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将白己的姓名和考生号、试室号、廉位号 填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题瓦上对应题冃选项的答案信息点涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净示，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题H 指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准便用铅笔和涂改 液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求.
1 •己知集合M ={1,2,3},N = {xwZ|1<x<4］，则( )
■
2. 复数z =— 在复平面上对应的点位于（ ）
\ — i
A. 笫一•象限
B.第二象限
C.笫三象限 3•已知平而向量a =（1,-2）, b =（4,771）,且a 丄方，则向>5a-36=（）
B. (-7,-34)
C. (-7,-4)
D. (-7,14)
4. 已知直线I 、与宜线/2:3X + 4^-6 = O 平行且与圆：F +才+ 2y = 0相切，则肓线1、的方 程是（） A. 3x +4^-1 = 0 B. 3x + 4y + l = 0或3x + 4y-9 = 0
D. 3% + 4『一1 = 0或3尤 + 4『+ 9 = 0
5.
对于平iMa 、0、
了和直线a 、b 、m 、心下列命题中真命题是（ ）
A.若a 丄 m.a 丄〃，加 u u a,,処Id 丄 a
B.若 all b,bua,贝 UaH a
C.
若 a 丨丨 P ，a 人丫 = = b,则 a 〃b D.若 au 队bu 卩,all a,bH
a ,则 0//Q
D. M U W = (1,4)
D •第四象限 A. (—7, — 16)
C. 3x + 4y + 9 = 0
B. N = M
C. M"N = {2,3}
x<2
6.不等式组《y>0表示的平面区域的面积是（）
y<x-\
A 冷 B
- ° C
7•己知函数/（X ） = X 3
-3X ,若过点A （0,16）且与曲线歹=产（兀）相切的切线方程为 y = or + 16,则实数。

的值是（ ） A. -3
B. 3
C.6
D.9
8. 对于任意两个正整数加丿，定义某种运算“※”如下：当加丿都为正偶数或正奇数 fit, m n = m + n ;当m 9n 屮一个为正偶数，另一个为正奇数时,m n = mn .则在此定 义下，集合M = ｛（a,b ）k 探h = \Zae N*,b G N*｝屮的元素个数是（ ）
A. 10 个
B. 15 个
C. 16 个
D. 18 个
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分.其中14〜15题是选做题，考生 只
能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分.
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答. 9. 右图是某高三学牛进入高中三年来笫次到14次的数学考试成绩 7 Q 茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为 ________ . 9
10. 已知等差数列a ｝,满足為=1心=6,则此数列的前io 项 1° 11 的和S] 0 = _______ .
11. 已知直线与直线x-y-\ = 0垂直，则直线的倾斜角.
12. 设/(X )是(-00, +00)上的奇函数，/(兀+ 3) = f(x).当0<x< 1 时有/(x) = 2x, 则/（8.5）= ______ •
13. 一物体在力F （x ） J 5' °~A ~2, （W ： N ）的作用下沿与力F 相同的方向，
[3兀 + 4, x>2 从兀=0处运动到x = 4 （单位：加）处，则力FCr ）做的功为 _______ 焦. 14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系屮，圆° = 4sin0的圆心 到
总线&亠pw R ）的距离是 ______________ •
壮/
6
B E C
15. （几何证明选讲选做题）如图，AD 为圆O 直径，BC 切圆O 于点
E, AB 丄 BC,DC 丄 BC , AB = 4, DC = 1,则 AD 等于 _______ .
9 638 3988415 3 1 4
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知函数f(x) = >/2sin2x +5/2cos 2x,xe R .⑴求f(x)的最大 值和最小正周期;⑵若仁卜孕“是第二象限的角，求sig
17. (本小题满分12分)某社团组织50名志愿者利用周末和节假LI 参加社会公益活动，活动 内容是：1、到各社区宣传慰问，侣导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工，帮助那些 需要帮助的人.各位志愿者根据各白的实际情况，选择了不同的活动项目，相关的数据如下表 所示:
宣传慰问
义工 总计 20至40岁 11 16 27 人于40岁
15 8 23 总计
26
24
50
(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名，年龄大于40岁的应该抽取几名？ (2) 上述抽取的6名志愿者中任収2名，求选到的志愿者年龄大于 40岁的人数的数学期望.
18. (本小题满分14分)如图，已知三棱锥O-ABC 的侧棱
OAQBQC 两两垂直，且0/1 = 1, OB = OC = 2, E 是OC 的中
点.⑴求O 点到而ABC 的距离；⑵求二而角E-AB-C 的正弦值.
19. (本小题满分14分)已知等差数列｛色｝的公差d 工0 ,它的前兀项和为S”，若55=70,
求证:-<T<-.
6 ” 8
20. (本小题满分14分)在平血直角处标系xoy 中，点
P(a,b)(a >b>0)为动点，存,笃分别为椭圆
2 2
—+^ = 1的左右焦点.已知△百P 尺为等腰三角 CT /T 形.(1)求椭圆的离心率0;
(2)设直线PF 2Lj 椭圆相交于两点，M 是
且吆知如成等比数列•⑴
求数列｛色｝的通项公式；(2)设数列
的前兀项和为町,
直线PF 2上的点,满足AMDBM = -2 , 求点M 的轨迹方程.
21. (本小题满分14分)已知二次函数/(%) = ax 2
-\-bx+c,{a 0),且不等式f(x) < 2x 的 解集为(-1,2). (1)方程/(兀)+ 3。

= 0有两个相等的实根，求于(兀)的解析式.
(2) /(%)的最小值不大于-3d,求实数a 的収值范围.
(3) Q 如何取值时，函数y = /(x)-(x 2 -ox + m) (| m |> 1)存在零点,并求出零点.
惠州市2014届高三笫一次调研考试
数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
题号 1
2
3
4 5
6
7
8 答案
C
B
A
D
C
A
D
B
1. 故选C.
2. 选 B.
3. 选 A.
4. 选 D. 6.选 A. 7•选 D.
&选B
14〜15题是选做题，考牛只能选做一•题. 3
9. 94.5
10. 35
11. -71 (或 135°)
12. -1
13. 36
14.
^3
15. 5
4
9.从茎叶图屮可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114屮
位数为94与95的平均数94. 5 •
(a 3 +^z 8)xlO 7x10
* —
—
—3D ■
2 2
11. V 直线与直线x —y-
3
■1 = 0垂直得《=-1 = tan<7 , /. a =—^.
12. /(8.5) = /(5.5 + 3) = /(5.5) = /(2.5 + 3) = /(2.5) = /(-0.5 + 3)
(二)选 C 二.填空题：共7小题，每小题5分,
=/(-0.5) = -/(0-5) = —2 x 0.5 = —1 •
14.由。

二4sin &得圆O 为亍+ (y _2尸=4,圆O 的圆心C(0,2)直线0 = -(p G R)的在 6
角坐标方程为x-y/3y = 0,所以点C(0,2)到直线0 = -(peR)的距离是亦・
6 15•连接OE , v BC 切圆 0于点 E, :.OE 丄 BC •乂T 4B 丄 BC.DC 丄 BC, O 是 AD'p 点，••.OE = *(AB + DC). ・・AD = 2OE = 5 三、解答题：
13. W = £ F(x)dx =£ 5d/x+£ (3x + 4)tZr = 5爲 + — x 2 +4x
12
36
16•解(1) V f(x) = 2
(近.
V2
.................... —sin 2x H --------- cos 2x =2 cos — sin 2x + sin — cos 2x 2 2
/
7
1 71 =2si T x+
iJ
••• /(%)的最大值为2,……5分，最小正周期为T (2)由(1)知，f(x) = 2sin(2x + -
l 4丿
= 2sin "=f }BPsin "=
T
又Q 是第二象限的角，所以cos a = -71-sin 2 a
所以 sin 2a = 2 sin a cos a = 2x
4
V3 r
V39
----- X ---------------- = ------------------
8
17
徽⑴若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例码=+
・・•年龄人于4。

岁的应该抽取8牛2人.
⑵在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为⑺ ••• 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁，其余4人的年龄在20到40岁之间, •••歹可能的取值为0丄2.
则陀=0)二晋=|, p(^ = l) = ^ = l,陀=2)二菩诂 ............................... 8分
12分
§ 0
2
P
2 5
8 15 1 15
o Q 1 9
・・・ §的数学期望为E^ = Ox-+lx —+ 2x —= - ........... 12分
5 15 15 3
18 （木小题满分14分）解：（1）取〃 C 的屮点D,连AD. OD
・・・OB = OC,则OD 丄BC 、4D 丄BC,・•・BC 丄面Q4D 过O 点作OH 丄AD 于H, 则OH
丄面ABC, OH 的长就是所要求的距离.
BC = 2近,OD = VOC 2-CD 2 = VI 3 分 ・・・OA 丄OB 、Q4丄OC,・•・OA 丄平面03C,则OA
丄OD.
AD = sjOA 2 + OD 2
= V3 ,在直角三角形OAD 中，有OH =坐竺二芈二也.・・・6分
AD 也 3
（另解：由 v =-S^BC OH =-OAOBOC = -^OH =—.）
3 6
3 3
⑵连结CH 并延长交A3于八连结OF 、EF • ••• OC 丄 \k\OAB.:. OC 丄 AB •又•••
OH 丄 \k\ABC.:. CF 丄 AB. EF 丄 AB.
则ZEFC 就是所求二面角的平面角.
在直角三角形⑷―警
Vf
.EG T V30 sin ZEFG = =
EF 3
在直角三角形OEF 中，EF 二J OE ? + OF?
1+|=
^
12分
・•・歹的分布列为
作EG 丄CF 于G,则EG = -OH
2
V6
6
忑,故所求的正弦值是迈
18
14分
方法二：（1）以0为原点，OB 、OC. OA 分别为工、y 、Z 轴建立空间直角坐标系.
则有 71(0,0,1). 3(2,0,0)、C(0,2,0)、£(0,1,0).……2 分 设平而
ABC 的法向量为斤=(兀,y, z),
则由 q 丄 AB^\ :耳• AB = 2兀一 z = 0;
由叫丄 AC 知:叫・n A =(1,1,2), ....... 4 分
OA
则点O 到而ABC 的距离为〃= 2 J1 + 1 + 4 (2) 丽= (2,0,0) — (0,1,0) = (2,— 1,0),而= (2,0,0) — (0,0,1) = (2,0,—1)……8 分
设平面EAB 的法向量为n = （x, y, z ）,则由斤丄AB 知：n - AB = 2x-z = 0; 由〃丄 EB 知:/? • EB = 2x- y = 0.取〃 =(1,2,2).
................... 10 分
由⑴知平面ABC 的法向量为n ｝ = （1,1,2）.
贝II cos < > = ——► n
兀.q 1 + 2 + 4 7 7A /6 V9-V6 ~3V6 - 18 结合图形可知，二面角—的正弦值是穹
11分 •13分
•14分
19.（本题满分14分）解：（1）・・•数列｛色｝是等差数列且*=70,
5q+10d = 70 ・
①…2 分
•.•冬‘⑷卫耳成等比数列，.I =色心22即（。

| +6d ）2 =（Q| +〃）（® +21〃）・② ........................................................................4分 由①,②解得马=6,d = 4或a 〕=14," = 0（舍去） ......... 5分
a n =4/1 + 2 .......... 6 分
(2)证明；由(1)可得5w =2n 2+4n, .............. 7分
所以丄=」=丄(丄-丄)•
....... 8分
s ft 2n 2 +4n 4 n n + 2
尔I 、" 111 1 1
所以人= — + — + — + ••• + ——+ —
$2 * S n
丄—丄一丄)+丄(丄一丄)+•••+丄(丄
4
1 3 4
2 4 4
3 5
4 /?-1
口 （丄+丄） 8 4舁+1灯+2
T…-- = -丄(丄+ —!—)<0 “ 8 4 n+1 n +2
20 解:(1)设 F { (-c, 0), F 2 (C , 0)(C > 0),
山题意，可得|P 坊| = |斥鬥I ，即J （d-cy+戾 = 2c, .................. 2分 整理得2（£）2+£+1 = 0,得£ = -1＜舍）或£丄所以e 丄
........ 4分
a a a a 2 2 (2 )由(1) g = 2c,
b = £
c ，可得椭圆方程为 3X 2+4/=12C 2. 直线PF 2方程为y = V3（x-c ）,
.................................................................. 5分
A,B 两点的坐标满足方程组严+4）亠曲，消去y 并整理得5X 2
-8CX = 0,……6分 丿=馆（兀
-C ） 8 r r _0 [8
解得西=0,兀2= —c,得方程组的解 x,_u
氐宁 ............................. 8分
5 辰,3岳
不妨设你备3岳）,砲，阳 设M 的坐标为（兀，刃则 5
丽=（_*,），-警），而=（兀 y +爺。

）, ............... i o 分
化简得 18兀2_ 16>/3xy-15 = 0, .............................................. 13 分 将宀5代入。

十旦y 得c 」心,
16\/3x
3 \6x
由c>0Wx>0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2-16>/3xy-15 = 0(x>0).・・・14分 21 解:V/(x)<2% 的解集为(-1,2),)>0
•••数列｛人｝是递增数列，.•.仏》
7]=丄.
6
13分
14分
10分
11分
由 y = V3(x-c),得
V3 3 y-
11分
3^x) BA? = (x,V3x) 由 AMfBM = -2
3&x
~5-
:.ax 1
-v^b-2） x + c< 0 的解集为（-1,2）,
…
・・・d > 0,且方程q? + （b — 2）兀+ c = 0的两根为一 1和2
即”"+2+c = 0 n" = 2-a,・・./（兀）=俶2+（2_0）工一2G ,（G >0）……2 分 （1）
・・・
4a + 2b-4 + c = 0 \c = -2a 方程/（x ） + 3a = 0有两个相等的实根，即a* +（2-a ）x + a = Q 有两个相等的实根
/. A = （2 — a ）2
— 4c 『=0 => 3a 2
+ 4G - 4 = 0, 2
•； a = —2 或 a = — .......... 3 分
3
2 . 4 4 — AT +—X ——
3 3 3 （2）
g ）"+（2F2“ +
穿人竺严
则-8/一（2-4）2 § _3d
4a
（3） illy = /（兀）一U 2一血+加）=0,@>0,|刈>1）,得（a — l ）兀2 +2兀一（2a +加）=0
ITI
① 当d = l 时,方程滋）有一解兀=—1,
2
函数y = /（X ）一 （兀2 一处+ 771）冇一零点兀=号+ 1 ； ....... 9 ② 当
吋，A = 4[2^2+（m-2）^ + （l-m ）]
方程（探）有一解 o A = 4 2a 2
+ （m - 2）a + （l-m ）l = 0 , 令△】=4m 2 + 4m - 4 > 0 得m > 2>/2 一2或”2 < -2A /2 一2, T | m\> 1 即加 > 1 或m< -1,
i ）当 77? > 1 , d = 2-加+ J4
加2+4加一4日寸,（“2-〃
7-j4〃『+4〃7-4 （负根舍
去）），函数 ii ） 当m<-2V2-2时，Q 的两根都为正数，.••当“ 2-加+曲亍+怖-4或
/W =
T G 〉0 , /• /（X ）的授小值为
一8夕—（2 —G ）2
.......... 7分 8分
戾） 4 4 y = /（兀）_（兀2_处 + 777）冇一零点牙=—!—....... 10 1-a
4
a=2—j4〃r+4〃_4 时，函数y = f（x）-（x2 -ax + m）有一零点X = —^—. 11 分4i-a
iii）当—2迥— 2<m<一1 时，A）= 4m2+4//Z-4<0 , A > 0
③方程（探）有二解o △ = 4 [2； + （加—2）a + （1-m）] > 0,
i） ^rm>l, Ai = W+4/?7-4>0,心2-加 +丁4”+4加-4 时.
4
^^2-m-V4m24-4/n-4 （负根舍去）），函数y =/（对 _（〒一做 +加）4（
有两个零点”-2土』4[2/ +伽-2）“ + （1 -肋]_]±血? + （加一2）Q + （1 一川）；
…12分
兀1.2 = --------- 7---- r ------------ =-----------------------------
2（a-l）A-1
ii）当771 <-2^2-2 时，Ai = 4m2+4m-4>0, d的两根都为正数,
当&> 2—〃+>/4肿+4〃?一4 或0<Q v 2—加一、‘4〃
F+4加一4 吋, ° 4 (1<4
两数y = f(x)-(x2 -ax + nt)有两个零点力二j±如+ (加-2)°+(1-加)。

.... 13分iii）当-2yl2-2<m<一1 时，Ai = W+4/?2-4<0 , .•.△>0恒成立,
•••。

収大于0(QH1)的任意数，函数
y = f(x)-(x2-ax + m)有两个零点
•••14 分
_ _ 1 ±JIxC + （m - 2）a + （1 - tn）
Ai.2 = ----------- 2----------------------------------------。