[推荐学习]2018年高考数学总复习4.8解三角形的综合应用演练提升同步测评文新人教B版

[推荐学习]2018年高考数学总复习4.8解三角形的综合应用演练提升同步测评文新人教B版
4.8 解三角形的综合应用
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2017·山西太原五中4月模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若sin A＝22
3
，a＝2，S△ABC＝2，则b的值为
( )
A. 3
B.32 2
C．2 2 D．2 3
【解析】在锐角△ABC中，sin A＝22
3
，
S△
ABC
＝2，
∴cos A＝1－sin2A＝1
3
，
1
2
bc sin A＝
1
2
bc·22
3
＝2，
根据正弦定理得
BC
sin 30°
＝
AB
sin 45°
，解得
BC＝102(海里)．
【答案】 A
3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h B．6 2 km/h C．234 km/h D．10 km/h 【解析】设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin
θ＝0.61＝35，从而cos θ＝4
5
，所以由余弦定理
得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫110×22＋12
－2×110×2×1×45，解得
v ＝6 2.选B.
【答案】 B
4．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．240(3＋1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m
【解析】如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，
在Rt△ACD中，
CD＝
AD tan∠ACD
＝
60
tan 30°
＝60 3 m，
在Rt△ABD中，BD＝
AD
tan∠ABD
＝
60
tan 75°
＝
60
2＋3
＝60(2－3)m，
∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.
【答案】 C
5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C 测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A．5 6 B．15 3 C．5 2 D．15 6 【解析】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得
BC
sin 30°
＝
30
sin 135°
，所以
BC＝15 2.
在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝152×3＝15 6.
【答案】 D
6．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
【解析】如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，
ON＝AO tan 30°＝
3
3
×30
＝103(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝900＋300－2×30×103×
3 2
＝300＝103(m)．
【答案】 10 3
7．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.
【解析】如图，由已知可得∠BAC＝30°，
∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.
又AB＝200 m，∴AC＝400
3
3 m.
在△ACD中，由余弦定理得，
AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，
∴CD＝1
3
AC＝
400
3
m.
【答案】400 3
8．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC中，
sin ∠ABC
2
＝
3
3
，AB＝2，点D在线段AC上，且
AD＝2DC，BD＝43
3
，则cos∠C＝________．
【解析】 由条件得cos ∠ABC ＝1
3，sin ∠ABC
＝223
.
在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理得9b 2
＝a 2
＋4－4
3
a .①
因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ， 所以4b 2
＋163－41633b ＝－b 2＋163
－a
2
83
3
b ，
所以3b 2－a 2＝－6，②
联合①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.
在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB
2
2BC ·AC
＝
32
＋32
－22
2×3×3＝7
9
.
【答案】 79 9．(2017·辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东
45°＋θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C .
(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
【解析】 (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，
∠BAC ＝θ，sin θ＝2626. 由于0
°＜θ＜90°，
所以cos θ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得 BC ＝AB 2＋AC 2
－2AB ·AC cos θ＝10 5.
所以船的行驶速度为1052
3
＝155(海里/小时)．
(2)如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .
在△ABC 中，由余弦定理得，
cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC2 2AB·BC
＝402×2＋102×5－102×13
2×402×105
＝
310
10
.
从而sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝1－
9 10
＝
10
10
.
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ＝
AB sin∠ABC
sin（45°－∠ABC）
＝
402×
10
10
2
2
×
210
10
＝
40，
由于AE＝55＞40＝AQ，所以点Q位于点A 和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15.过点E作EP ⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在Rt△QPE中，
PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC
＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.
所以船会进入警戒水域．
10．(2016·江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，
cos B ＝45，C ＝π4
. (1)求AB 的长；
(2)求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6的值． 【解析】 (1)因为cos B ＝45
，0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 由正弦定理知AC
sin B ＝AB
sin C ，所以AB ＝
AC ·sin C sin B ＝6×223
5
＝5 2.
(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，
于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4
， 又cos B ＝45，sin B ＝35
， 故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210
. 因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2
A ＝7210
. 因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620
. B 组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水
柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
【解析】设水柱高度是h m，水柱底端为C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝3h.
在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
【答案】 A
12．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距
8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.
【解析】设航速为v n mile/h
在△ABS中，AB＝1
2
v，BS＝82，∠BSA＝
45°，
由正弦定理得
82
sin 30°
＝
1
2
v
sin 45°
，∴v＝
32.
【答案】 32
13．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O 沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．
【解析】如图，连接OC，在△OCD中，OD ＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.
【答案】 507
14．(2016·杭州二中月考)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，
测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为________km.
【解析】 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.
在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82
＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×
cos D ，cos D ＝－12
，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，故AC ＝7. 【答案】 7
15．(2017·河南六市3月联考)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信
号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离．
【解析】 (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝
PA2＋AB2－PB2 2PA·AB ＝
x2＋202－（x－12）2
2x·20
＝
3x＋32
5x
，
同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝
PA2＋AC2－PC2 2PA·AC ＝
x2＋502－x2
2x·50
＝
25
x
.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴3x＋32
5x
＝
25
x
，
解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持 由cos ∠PAD ＝2531
， 得sin ∠PAD ＝1－cos 2
∠PAD ＝42131， ∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131
＝421. 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。