【新课标】2012高三数学文《学海导航》一轮复习课件第9章9.10棱锥

BE BG 1 CC1 CG 3
1 BG CG 得 3
•
由△ABG∽△CMG，
CG 3 12 得CM AG AB 17 4 17
12 3 所以 CM CC1 4 33 17 CH C1M 11 12 2 2 ( ) 3 17
4 33 故点C到平面AEC1F的距离是 11 .
• 正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点， 则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 (C ) • A. 1∶1 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 3∶2
•
解：由于G是PB的中点,
•故P-GAC的体积等于B-GAC的体积. •如图，在底面正六边形ABCDEF中， •BH=ABtan30°= 于是VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC.
• 盘点指南：①多边形；②三角形；③公 共顶点的各三角形；④底面；⑤公共边；⑥公 共顶点；⑦垂线段；⑧正多边形；⑨底面中心； 13 11 12 ⑩相似； 平方比； 相等； 等腰三角形；
1 14 相等； 15 直角三角形； 16 直角三角形； 17 • 3
Sh;
18 平面多边形； • 19 面; 20 公共边； 21 公共点； 22 不 23同一侧； 24正多边形； 25正多面体； 在同一面上； 26 球面
•
1 1 1 1 1
VC1-B1EDF V多面体A1B1E-D1C1FD-VE-A1B1C1D1 -VE-C1D1D 1 3 a 6
题型2 棱锥表面展开图的应用 • 2. 设正三棱锥P-ABC的底边长为a，侧 棱长为2a，E、F分别为PB、 •PC上的动点，求△AEF的周 •长的最小值. • 解：将三棱锥侧面沿PA展开到同一平 面上，如图. •则AE+EF+FA′≥AA′. •取BC的中点D，连结PD，
• 解：(1)证明：作OD∥AA1交A1B1于D， 连结C1D.则OD∥BB1∥CC1.
•
•
因为O是AB的中点，
1 所以OD (AA1 BB1 ) 3 CC1 2
• 则四边形ODC1C是平行四边形，因此 平 有OC∥C1D.又C1 D 平面C1B1A1且OC 面C1B1A1，所以OC∥平面A1B1C1
• 在平面SAD中，作SO⊥AD,与AD交于O， 则SO为棱锥的高h.
2 OD 3 . •又AO=2DO，所以 3 1 1 • 由VS-ABC= · AB· BC· sin60°· h=1，得 3 2 3
h= ,
4
• •
所以tanα=
所以α=arctan 3
8
3 SO 3 4 DO 2 3 8 3
• 为M，连结C1M.
• 因为C1C⊥平面ABCD，所以 C1C⊥AG，于是AG⊥平面C1 CM，所以平 面AEC1F⊥平面C1CM.过点C作CH⊥C1M， 则CH⊥平面AEC1F.
• 所以CH的长即为点C到平面AEC1F 的距离.
• 由 •又BC=2，所以BG=1，
2 2 AG AB BG 17 •从而
• • 过棱锥高的三等分点作两个平行于底 面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的 面积的比(自上而下)为 . 1∶ 3∶ 5 • 解：由锥体平行于底面的截面性质知， 自上而下三锥体的侧面积之比为S侧1∶S侧2∶S 侧3=1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面 积之比为1∶3∶5.
题型1 棱锥中有关量的计算 • 1. 正三棱锥P-ABC的底面边长为a，D 为侧棱PA上一点，且AD=2PD.若PA⊥平面 BCD，求这个三棱锥的高. •
3 AB,而BD= 3
3 AB,故DH=2BH,
•
• 若正三棱锥底面边长为4，体积为1， 则侧面和底面所成二面角的大小为( A ) •
•
A.
C. arctan33 arctan 4
• 解：如图，取BC的中点D，连结SD、 AD，则SD⊥BC，AD⊥BC. •所以∠SDA为侧面与底面所成二面角的平 面角，设为α.
• • •
解：设PD=x，则AD=2x， PA=PB=PC=3x.
因为PA⊥平面BCD， 所以PA⊥BD. 所以AB2-AD2=PB2-PD2，
•
即a2-4x2=9x2-x2，
2 a x2 12
• 得 • 作PO⊥底面ABC， •垂足为O，则O为△ABC的中心，连结OC， 则 2 3 3 a a • OC 在 Rt △ POC 3 2 3 中， • a 15 PO PC OC 9 x 的高为 a • 故三棱锥 P-ABC .
7. 把一个多面体的任一个面伸展成平面， 同一侧 ， 如果其余的面都位于这个平面的 23_______ 这样的多面体叫做凸多面体。
正多边形 8. 每个面都是有相同边数的 24 _________, 每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面 正多面体 体，叫做 25 __________. 球面 的多 表面经过连续变形可变为 26 ______ 面体，叫做简单多面体.
•
•拓展练习 如图，课桌上放着一个正三棱 锥S-ABC，SA=1，∠ASB=30°，蚂蚁从点 A沿三棱锥的侧面爬行(必须经过三棱锥的 三个侧面)再回到A， •它按怎样的路线爬行， •才使其行迹最短. •
解：沿SA剪开得展开图如右. •在△SAE中， SA SE ， sin AES sin SAD •则 1 ， SE 0 0 sin 75 sin 45 •所以 .利用尺规作图 SE 3 1 F，从而确定蚂蚁的最佳行迹 •可以找到 E 和 AEFA.
•因为平面B1D1D⊥平面B1EDF，
•所以O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.
•因为△B1O1H∽△B1DD1，
•所以O1H B1O1 DO1
B1D
1 1 1 VC1 B1EDF S B1EDF O1 H EF B1 D O1 H 3 3 2 1 1 6 1 3 2a 3a a a 3 2 6 6
6 a 6
解法2：连结EF，设B1到平面C1EF 的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2， •则 ， h1 h2 B1D1 2a •所以 1 1 3 VC -B EDF VB -C EF VD-C EF SΔΔ 1 EF (h1 h2 ) a • 解法3： 3 6
2 2 2 2
3
6
15 a 6
•
点评：与棱锥有关量的计算问题， 一般先作出棱锥的高，根据需要可设所求 量的大小为参数，然后利用方程思想，找 到参数的方程，再求解方程以得出所求.这 是方程思想在解题中的具体应用.
• 拓展练习 已知E、F分别是棱长为a的正 方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点， 求四棱锥C1-B1EDF的体积. • 解法1：连结A1C1、B1D1交于O1，过O1 作O1H⊥B1D于H.因为EF∥A1C1， •所以A1C1∥平面B1EDF. • 所以C1到平面B1EDF的距离 •就是A1C1到平面B1EDF的距离.
多边形 1.如果一个多面体的一个面是①________, 三角形 那么 其余各面是有一个公共顶点的②________, 这个多面体叫做棱锥.在棱锥中有③__________ 公共顶点 的各三角形 叫做棱锥的侧面，余下的那个多边 ___________ 形叫做棱锥的④_____, 底面 两个相邻侧面的⑤______ 公共边 叫做棱锥的侧棱，各侧面的⑥公共顶点 ________叫做棱 垂线段 锥的顶点，由顶点到底面所在平面的⑦______ 正多边形，并且顶点在 叫做棱锥的高.底面是⑧________ 底面的射影是⑨_________ 底面中心 的棱锥，叫做正棱锥.
则PD⊥BC.设∠CPD=θ， • 则sinθ= DC 1 .设PD交AA′于H，则 PC PH 4 ⊥AA′. H为AA′的中点，且 • 所以AH=PAsin3θ= 11 ，所以 a AA′= . 8 11 aAEF的周长的最小值为 • 故△ . 4 11 • 点评：求与多面体有关的表面距离的 a 4 最小值问题，常常将其展开成平面图，然 后在其平面展开图上求其最值.
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•
•
• 点评：不规则多面体一般是先分割 (或是补形)成棱锥和棱柱的组合体，然后 运用棱锥或棱柱的性质解决所求问题.
拓展练习
右图是一个直三棱柱(以△A1B1C1为底 面)被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC. 已知A1B1=B1C1=1， ∠A1B1C1=90°，AA1=4， BB1=2，CC1=3. (1)设点O是AB的中点， 证明：OC∥平面A1B1C1； (2)求二面角B—AC—A1的大小； (3)求此几何体的体积.
•
题型3 多面体背景中的线面关系问题 • 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中 AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. •求点C到平面AEC1F的距离. • 解：延长C1E、CB相交于G，连结AG， 则平面AEC1F∩平面ABCD= •AG.过点C作CM⊥AG，垂足
•
1. 对于三棱锥，它的每一个面都可 作为棱锥的底面，每一个顶点都可作棱锥 的顶点，而体积总保持不变.因此，计算三 棱锥的体积时，要注意顶点和底面的选择. 根据三棱锥的体积不变性，可得到处理问 题的一种重要方法——等体积法.
•
2. 棱锥的侧棱均相等，则顶点在底 面上的射影为底面多边形的外心；棱锥的 各侧面与底面所成的二面角均相等，则顶 点在底面上的射影为底面多边形的内心； 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点 在底面上的射影为底面三角形的垂心.
• (2)如图，过B作截面BA2C2∥平面A1 B1 C1，分别交AA1、CC1于A2、C2.作BH⊥A2C2 于H，连结CH.
因为CC1⊥平面BA2C2，所以CC1 ⊥ B H，则BH⊥平面A1C1CA.又因为A B = 5 ， BC= 2 ，AC= 3，所以AB2=BC2+AC2，所 以BC⊥AC.根据三垂线定理知，CH⊥AC， 所以∠BCH就是所求二面角B-AC-A1的平面 角.因为BH= 22 ，所以 sin BCH BH 1 ，
•
2. 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那 相似 ，截面面积与底面 么所得的截面与底面⑩______ 面积的比等于顶点到截面距离与棱锥的高的 • 11 平方比 _______. 12 相等 • 3. 正棱锥各侧棱 _____，各侧面都是全 等腰三角形 ，各等腰三角形底边上的高 等的 13 ____________ 相等 它叫做正棱锥的斜高). ____________( 14 •
第 九 章
直线、平面、简单几何体
9.9
棱
锥
考 点 搜 索
●棱锥及其底面、侧面、侧棱、高 等概念，正棱锥的概念
●棱锥的基本性质及平行于棱锥底 面的截面性质 ●多面体的有关概念
高 考 猜 想
1. 通过判断命题真假考查棱锥有关概念 和性质. 2. 有关棱锥的棱长、高、面积等几何量 的计算. 3. 以棱锥为背景，分析线面位置关系， 以及空间角和距离的计算.
4. 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的 15 直角三角形 射影组成一个 ___________ ,正棱锥的高、侧棱、 直角三角形 侧棱在底面内的射影也组成一个 16___________.
• 体积V= •
5. 设棱锥的底面积为S，高为h，则其
1 Sh 17 ______. 3
6. 由若干个 ____________围成的空 18 平面多边形 间图形叫做多面体，围成多面体的各个多边 面 ，两个面的 20 ______ 公共边 形叫做多面体的 19 ___ 公共点 叫做 叫做多面体的棱，棱和棱的 21 _______ 不在同一面上 的两 多面体的顶点，连结 22 ______________ 个顶点的线段叫做多面体的对角线.
•
•故∠BCH=30°.所以所求二面角B-AC-A1的 大小为30°.
BC
2
•
2 (3)因为BH= 2
2 2
，
2 2
•
所以 VB-AA C C 1 S AA C C BH
3 1 1 2 1 (1 2 ) 2 3 2 2 2
•
故所求几何体的体积为
V VB-AA2C2C V A1B1C1 - A2 BC2 3 . 2