安徽省黄山市屯溪第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

屯溪一中2015-2016学年高一年级第二学期数学期中测试卷
满分:150分 考试时间:120分钟
一．选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意.）
1．已知集合{}{}
21,40A x x a B x x x =-≤=-≥，若A
B =∅，则实数a 的取值X 围是（ ）
A ．(1,3)
B ．(0,3)
C ．(0,4)
D ．(2,3)
2．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若1,3,30a b A ===,则B ∠等于( ) A.60 B.60或120 C.30或150 D.120
3.已知A,B,C 三点共线，OB a a OC a n 122OA }{+=为等差数列，且 则的值为11153a a a -+()
A. 1
B. -1
C.
21 D.2
1
- 4．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式不成立的是（ ） A ．2b
＜2a
＜2
B ．
b C ． ab ＜b 2
＜1D ．ab ＜a 2
＜1
5. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若＜cosA ，则△ABC 为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形
C ． 锐角三角形
D ． 等边三角形
6若数列{a n }的通项公式是a n =（﹣1）n
（3n ﹣2），则a 1+a 2+…+a 10=（）
A ．﹣12
B ．12
C ．15
D ．
﹣15
7. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，c b =，且满足
sin 1cos sin cos B B
A A
-=
．若点O 是ABC ∆外一点，θ=∠AOB (0)θπ<<,22OA OB ==，平面四边形OACB 面积的最大值是( )A ． 3 B 453+453+ D 853
+8. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0
y ≥m
，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则
实数m 的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．－12
9. 已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( )
A ．log 2a >0
B ．log 2a ＋log 2b <－2
C ．2
a －b
<1
2
D ．2a b ＋b a <1
2
10. 如图，已知B A O ,,是平面内不共线的三点，且OB y OA x OP +=，直线AB OB OA ,,将平面区域分成7部分，若点P 落在区域①中（含边界），则y x z +=2的最大值为( ) A ．1B ．2C.3D.4
二.填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 2
2－4，则a n ＝_____
12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1
4a,2sin B ＝3sin C ，
则cos A 的值为: ____．
13. 数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n n
n a n n π=-⋅+⋅，其前n 项和为n S ，则10S 等于____
14．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，
若,s t 满足不等式22
(2)(2)f s s f t t -≤--.则当14s ≤≤时，S-2t 的最小值为是____ 15.给出下列命题：
①若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100，S 200﹣S 100，S 300﹣S 200成等比数列； ②已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足
=，则=；
③已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2，0)的距离相等，则2x
＋4y
的最小值为4 2 ④若关于x 的不等式（a 2
﹣1）x 2
﹣（a ﹣1）x ﹣1＜0的解集为R ，则a 的取值X 围为．
⑤若ac b =2
且B C A cos 23)cos(-=-， 则3
π
=B
其中正确的是（把你认为正确的命题序号都填上）．
三．解答题（本题共6小题，满分75分）（答案必须写在答题卡指定的区域内，否则不得分） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝2，c ＝2 3. (1)若A ＝5π
6
，求a ；
(2)若C ＝π
2＋A ，求角A .
17.（本小题满分12分）设数列{}n a 是等差数列，355,9,a a ==数列{}n b 的前n 项和为n S ， 122(*).n n S n N +=-∈
(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)若(*),n n n c a b n N =⋅∈n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ．
18（本小题满分12分）经过长期的观测得到：在交通繁忙的时段内，某某市某某中路某路段汽车的车流量y （千辆/h ）与汽车的平均速度v （km/h ）之间的函数关系为: y=
（v ＞5）．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/h ）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/h ，则汽车的平均速度应在什么X 围内？
19．（本小题满分12分）已知集合A ＝{y|y 2
－(a 2
＋a ＋1)y ＋a(a 2
＋1)＞0}，B ＝{y|y ＝12
x 2
－x ＋
5
2
，0≤x≤3}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；
(2)当a 取使不等式x 2
＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B.
20. （本小题满分13分）某某市经开区某企业， 2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金dn 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. (1)用d 表示a 1,a 2,并写出1n a +与a n 的关系式；
（2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)。

21. （本小题满分14分）
已知数列).2(2,2}{1121≥+===-+n a a a a a a n n n n 满足 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）当;3111:
,221<+++≥n
a a a n 求证时 （3）若函数))(()]([)1(,)1(:)(*
2
1N n n f n f n f a f x f ∈+=+=满足，
求证 :
∑
=<+n
k k f 1
.2
11)(1
2015—2016学年度第二学期屯溪一中
高一年级期中考试 数学参考答案
一．选择题:（每题5分，共计50分）
二.填空题:（每题5分，共计25分） （11）2n-1 （12）:-1
4 （13）687
（14） 4 （15）②③⑤
三.解答题:本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16（本小题满分12分）
解：(1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A
＝22＋(2 3)2
－2×2×2 3cos 5π6
＝28.
解得a ＝2 7.………………….. 5分
(2)∵C ＝π
2
＋A ，
∴B ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A －A ＝π2－2A . 由正弦定理，得b sin B ＝c
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋A .
∴
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝ 2 3
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋A ，
∴3cos2A ＝cos A ，cos A ＝3(2cos 2
A －1)，
解得cos A ＝32或－3
3
.………………. 10分
∵A 为锐角， ∴cos A ＝32，A ＝π
6
.…………… 12分
17（本小题满分12分）
（18）18.（本小题满分12分）
解答：解：（1）令v1=v﹣5，由于y==（v1＞0），且v1+≥2，当且仅当v1=，即v=35时等号成立，
所以y≤≈10.8，即当汽车的平均速度为v=35km/h时，车流量最大
且最大车流量为10.8千辆/h．…………………7分…（2）由条件知＞10，解得25＜v＜50…………………11分
所以汽车的平均速度X围应在：（25,50）………..12分
19（本小题满分13分）
解:A＝{y|y＜a或y＞a2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．………….4分
(1)当A∩B＝∅时，
214
2
a
a
⎧+≥
⎨
≤
⎩
3≤a≤2或3
∴a的取值X围是(3∪3，2]．…………….6分(2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0，
依题意Δ＝a2－4≤0，
∴－2≤a≤2.
∴a 的最小值为－2.
当a ＝－2时，A ＝{y|y ＜－2或y ＞5}．
∴∁R A ＝{y|－2≤y≤5}；……………………….11分 ∴(∁R A)∩B ＝{y|2≤y≤4}……………….12分
(20)（本小题满分13分）
解：(1)由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-,
2113
(150%)2a a d a d =+-=
-, 13
(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.…………5分
(2)由(Ⅰ)得132n n a a d -=-2233()22n a d d -=--233
()22n a d d -=--=
12213333()1()()222
2n n a d --⎡⎤
=-++++⎢⎥⎣⎦
. 整理得 1
13
3()
(3000)2()12
2n n n a d d --⎡⎤
=---⎢⎥⎣⎦
13
()(30003)22
n d d -=-+. 由题意,13
4000,()(30003)24000,2
n n a d d -=∴-+=
解得13()210001000(32)2332()12
n n n n n
n d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)
32
n n n n
+--时,经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为4000元.…………………13分
(21)（本小题满分13分）
解（1）∵112n n n a a a +-=+，∴112()(2)n n n n a a a a n +-+=+≥
∴1{}n n a a ++是以2为公比，124a a +=为首项的等比数列 故112n n n a a +++=①
又由112n n n a a a +-=+得：112(2)(2)n n n n a a a a n +--=--≥ ∴1{2}n n a a +-是以－1为公比，2122a a -=-为首项的等比数列 故122(1)n n n a a +-=⋅-②
①－②得：32[2(1)]n n n a =-- （n ≥2） 又a 1 = 2也适合上式 ∴所求通项为2[2(1)]3
n
n n a =
--…………………5分
（2）解：当n 为偶数时，1
111111311322()2221212221
n n n n n n n n n a a -----++=+=⋅+-⋅+- 111322311
()(2)222222
n n n n n n n ---+<⋅=+⋅≥ ∴21211131113
(1)33222
22n n
n a a a +++<++++
=-< 当n 为奇数时，2[2(1)]03
n
n n a =-->，∴10n a +>，又n + 1为偶数 ∴由（1）知，
12
12
1
11111113n n n a a a a a a a +++<+++
+<…………….10分 （3）证：∵2(1)()[()]0f n f n f n +-=≥
∴(1)()f n f n +≥，由此得：(1)()(1)(1)20f n f n f n f +-=>≥≥≥
又2
11111
(1)()[()1]()()1[()]()f n f n f n f n f n f n f n ===-++++ ∴
111
()1()(1)
f n f n f n =-
++ 故1
11111
11
[][][
]()1(1)(2)(2)(3)
()(1)
n
k f k f f f f f n f n ==-+-+
+-++∑
1111
(1)(1)(1)2
f f n f =
-<=+………………….14分 ．。