专题27 直线的方程及两条直线的位置关系(纯答案)

专题27 直线的方程及两条直线的位置关系 答案
题型一、直线方程与斜率 例1、
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为α，则sin α＝
10
10
(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1
3.
故所求直线方程为y ＝±1
3(x ＋4).
即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y
12－a ＝1，
又直线过点(－3,4)，
从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.
故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，
则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.
由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝3
4.
故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 变式1、【答案】[
)0,π 0，2，3
【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[
)0,π，
一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[
)0,π，0或2或3． 变式2、【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭
⎫5π
6，π 【解析】由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－
3
3
cos α. ∪－1≤cos α≤1，∪－
33≤k ≤33
. 设直线的倾斜角为θ，则－
33≤tan θ≤3
3
. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π
2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π
6
≤θ<π.
变式3、【答案】 [－1,1] [0，π4]∪[3π
4
，π)
【解析】 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则 k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时， α＝0，k >0时，α为锐角. 又k P A ＝
－2－－1
1－0
＝－1，
k PB ＝
－1－1
0－2
＝1，∪－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π
4；
当－1≤k <0时，3π
4
≤α<π.
故倾斜角α的取值范围为α∪[0，π4]∪[3π
4，π).
题型二、直线的位置关系 例2、【答案】8
【解析】由题意直线1l 的斜率存在.
1
214
,,82a a
l l ∴=∴=.
直线2l 的方程为4880x y -+=，即22
0x y ，
∴
直线12,l l
的距离为5
d
=
=
. 故答案为：8. 变式1、
【答案】：
1
2
【解析】∪x ，y∪
R ，直线（a ﹣1）x+y ﹣1=0与直线x+ay+2=0垂直，
∪（a ﹣1）×1+1×a=0，解得a=
12
. ∪实数a 的值为
12
． 变式2、【答案】 充分必要
【解析】直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ay ＋1＝0的斜率都存在且相等时，a ＝±1，当 a ＝1时，两直线平行，当a ＝－1时，两直线重合，所以“a ＝1”是“直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ ay ＋1＝0
平行”的充分必要条件． 变式3【答案】-1 ..
【解析】直线12110l mx y l x my ---：＝
，：＝， 若12l l //，则21010m m ⎧-+=⎨-+≠⎩
，解得1m -＝；
直线11l mx y -：＝
过定点1(0)G ，， 化圆2
2
2240x x y ++-＝为()2
2125x y ++＝，
可知圆心坐标为()1
0C -，，半径为5.
如图，CG
则min AB =＝.
故答案为：-1
；. 变式4、
【答案】 垂直
【解析】 由a sin A ＝b
sin B ，得b sin A －a sin B ＝0.
∪两直线垂直. 题型三、直线的对称性 例3【答案】 y ＝6x －6
【解析】由题意得反射光线经过点M (－3,4)关于直线l 的对称点Q (x ，y )与点N (2,6)，由⎩⎪⎨⎪
⎧
y －4
x ＋3
＝－1，x －32－y ＋4
2＋3＝0.
解
得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝0.所以Q (1,0)，所以反射光线所在直线的方程为y －0x －1＝6－0
2－1，即y ＝6x －6.
变式1、
【答案】x －2y ＋3＝0.
【解析】设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)…
由00
002022
()
x x y y x x y y ++⎧-+=⎪⎨⎪-=--⎩
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上. ∪2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.
变式2、
解 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋5＝0，
3x －2y ＋7＝0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2. ∪反射点M 的坐标为(－1,2).
又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′∪l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.
而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛
⎭⎫x 0－52，y 02，
Q 点在l 上，∪3·x 0－52－2·y 0
2
＋7＝0.
由⎩⎨⎧
y 0x 0＋5
＝－2
3，
32
x 0－5－y 0＋7＝0.
得⎩⎨⎧
x 0＝－1713
，
y 0
＝－32
13
.
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.
方法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－2
3，
又PP ′的中点Q ⎝⎛
⎭⎫
x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，
∪3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 0－y x 0
－x ＝－23
，3×x ＋x
2－y ＋y
＋7＝0.
可得P 点的横、纵坐标分别为
x 0＝
－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋28
13
，
代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∪所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.
1、【答案】：x ＋y ＋1＝0.
【解析】直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 2、【答案】 35
【解析】 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝3
5
.
3、【答案】：.
52
【解析】因为两直线平行，所以m 1＝－4－2≠3
4
，解得m ＝2.
解法1(转化为点到直线的距离) 在直线l 1：x －2y ＋4＝0上取一点P(0，2)，P 到直线l 2：2x －4y ＋3＝0的距离为d ＝
|0－8＋3|22＋42
＝5
2. 解法2(平行线距离公式) 由l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x －2y ＋32＝0，根据平行线间的距离公式得d ＝|4－3
2
|
12＋22＝5
2.
4、【答案】：（－6，－8）
【解析】：设点关于直线的对称点为，由轴对称概念的中点
在对称轴上，且与对称轴垂直，则有
解得， 5、【答案】：()1,1-
(4,0)P 54210x y ++=111(,)P x y 1PP 1140
(
,)22
x y M ++54210x y ++=1PP 1111
454210224
45x y y x +⋅+⋅+==-⎧⎪⎨⎪⎩116,8,x y =-=-∴1(6,8)P --
【解析】已知直线进行变形，()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让,m n “失去作用”，则210
20
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩，
解得1
1x y =-⎧⎨
=⎩
，即定点为()1,1- 6、
4π
【解析】
依题意，原点O 到直线l 的距离为d ，
2|1|
1
m d m +=
=
+要距离最大值，则0m >，
211
2(1)2(1)2(1)21
m d m m m m +=
=
+-++++-+
1
2≤
=
，当且仅当1m =，等号成立， 所以原点O 到直线l
； ()22110mx m y m +---=，
平面内所有点(),x y 恒不在l 上，
∴关于m 的方程2(12)10ym m x y +--+=无解，
显然1(0,)2
不是直线l 的点
20,(12)4(1)0y x y y ∴≠∆=---+<，
即2
2
111()(),02
2
4x y y -+-<
≠和点1(0,)2
， 为(,)x y 所围成的图形，面积为
4
π
.
故答案为:
1
2
；
4
π
.。