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《线性代数》 教 案
编 号：
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 导入（10分钟）本章主要内容和知识点 新授课内容（75分钟） 二、三阶行列式的定义
一、二阶行列式的定义
从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222
211
212111b x a x a b x a x a
用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得 21
1222111
212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=
令
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则
如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有
22
2
1211a b a b D =
按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221a b a b -,这就是公式（2）中1x 的表达式的分子。

同理将D 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b 1,b 2 ,可得到另一个行列式,用字母2D 表示,于是有
2
1
21112b a b a D =
按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211b a b a -,这就是公式（2）中2x 的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2
211 其中 例1. 解线性方程组 .1
212
2321
21⎪⎩⎪
⎨
⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++33332321
3123232221211
313212111b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里
可采用如下的定义.
二、三阶行列式的定义
设三元线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++33332321
3123232221211313212111b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
用消元法解得
0≠D
定义 设有9个数排成3行3列的数表
33
32
31232221
131211
a a a a a a a a a 记 33
32
31
2322
2113
12
11
a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则
三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即
例2. 计算三阶行列式 2
431224
21
----=D .(-14)
例3. 解线性方程组 .55730422⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x
解 先计算系数行列式
5
73
411
1
1
2--=D 069556371210≠-=----+-=
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n n nn
a =n n nn
a =阶行列式的等价定义为：
n n nn
a =
1：
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其中行列式mn
m m n
n
a a a a a a a a a
21
22221
11211
D =
为按行列式的运算规则所得到的一个数；而
n m ⨯矩阵是 n m ⨯个数的整体,不对这些数作运算。

例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。

设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(都是n m ⨯ 矩阵，当
则称矩阵A 与B 相等,记成B A =。

二、特殊形式
n 阶方阵： n n ⨯ 矩阵
行矩阵 ：n ⨯1矩阵（以后又可叫做行向量），记为
),,,(,21n a a a A =
列矩阵 ：1⨯m 矩阵（以后又可叫做列向量），记为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m b b b B 21
零矩阵 ：所有元素为0的矩阵,记为O 矩阵的运算
一、加法
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教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等） 复习（5分钟） 新授课内容（80分钟）
对角阵 ：对角线元素为n λλλ,...,,21,其余元素为D 的方阵，记为
结论：同阶对角阵的和、数乘、乘积仍是同阶对角矩阵
数量矩阵：a
a
A a ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
结论：同阶数量阵的和、数乘、乘积仍是同阶数量矩阵
1⎪⎭
三角形矩阵：
nn a ⎪⎭00nn a ⎫⎪⎪⎭
同阶同型三角阵的和、数乘、乘积仍是同阶同型三角矩阵
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1
0⎪⎭
称为矩阵A的等价标准形．补充矩阵行阶梯形的定义并讲授如何利用初等行变换化简矩阵为行阶梯形
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）可由向量组（
A）与向量组（
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,ξξ为（
12
齐次方程组⑴的每个解都可由ξ。